29.5 正多邊形與圓 同步練習(xí)

第二十九章直線與圓的位置關(guān)系29.5正多邊形與圓基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)1正多邊形與圓的關(guān)系1.如圖，△ABC為☉O的內(nèi)接正三角形，如果正三角形的邊心距為3，知識點(diǎn)2與正多邊形有關(guān)的概念和計算2.如圖，☉O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長為1，則BC的長為()A.14π B.13π C.23π[變式·改為求圓周角]如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O，點(diǎn)M在AF上，則∠BME的度數(shù)為()A.72° B.45° C.60° D.90°3.在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受到了中國人的浪漫.如圖，將“雪花”圖案(邊長為4的正六邊形ABCDEF)放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，-3)，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A.(2-23，3) B.(0，1+23) C.(2-3，3) D.(2-23，2+3)4.如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，半徑OC=4，OG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，則正六邊形的中心角=，邊長=，邊心距=.5.已知正五邊形ABCDE，請僅用無刻度的直尺作圖.(1)在圖1中作點(diǎn)P，使得△BDP是等腰三角形；(2)在圖2中作點(diǎn)O，使點(diǎn)O為正五邊形ABCDE的中心.圖1 圖2知識點(diǎn)3正多邊形的畫法6.如圖，在網(wǎng)格紙中，O、A都是格點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，用無刻度的直尺完成以下畫圖：畫圓O的一個內(nèi)接正六邊形ABCDEF.能力提升全練7.(2022四川成都中考)如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O，若☉O的周長等于6π，則正六邊形的邊長為()A.3 B.6 C.3 D.238.(2023河北石家莊橋西質(zhì)檢)如圖所示，正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A，B在射線OM上，頂點(diǎn)E在射線ON上，∠AEO=2∠DEN，則∠O的度數(shù)為()A.80° B.72° C.60° D.50°9.(2023河北衡水二模)如圖，BD，DF是正六邊形ABCDEF的兩條對角線，已知四邊形ABDF的面積為8，則陰影部分的面積為()A.2 B.4 C.23 D.3310.(2023河北石家莊四十四中模擬)如圖1，將一個正方形紙片沿虛線對折兩次，得到圖2，按照圖2所示剪去一個腰長為2的等腰直角三角形，展開后得到一個如圖3所示的正八邊形ABCDEFGH，將剪下的四個等腰直角三角形拼成一個正方形JKMN，放在正八邊形內(nèi)部，MN與BA重合，L為EF的中點(diǎn)，連接LK.(1)正方形JKMN的邊長為；

(2)將正方形JKMN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)度，JN與HA重合，旋轉(zhuǎn)前LK的長為.

11.(2022浙江金華中考)如圖1，正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：作法：如圖2.1.作直徑AF.2.以F為圓心，F(xiàn)O的長為半徑作圓弧，與☉O交于點(diǎn)M，N.3.連接AM，MN，NA.(1)求∠ABC的度數(shù).(2)△AMN是正三角形嗎？請說明理由.(3)從點(diǎn)A開始，以DN的長為半徑，在☉O上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值.圖1 圖2素養(yǎng)探究全練12.(2023浙江紹興一模)根據(jù)以下素材，操作探索以下任務(wù)：素材1六邊形KHGFED就是所求的正六邊形素材2如圖所示的是一張邊長為4cm的正方形紙片ABCD，將正方形作如下折疊：①沿對角線折疊，得到折痕AC.②把∠BAC折疊，使點(diǎn)B落在AC上，記為點(diǎn)E，得到折痕AF.③沿CE的中垂線折疊，得到折痕MN(M，N分別是該折痕與BC，CD的交點(diǎn))根據(jù)提供的素材2，解決問題任務(wù)1確定角度求出∠BAF的度數(shù)任務(wù)2探索比值求出CMBC任務(wù)3思考方法根據(jù)素材2的方法，M，N就是正八邊形的兩個頂點(diǎn)，類似地，我們可以折出正八邊形的其余六個頂點(diǎn).深入思考：請利用正方形的對稱性思考，將正方形紙片折出正八邊形的八個頂點(diǎn)，最少需要次折疊

第二十九章直線與圓的位置關(guān)系29.5正多邊形與圓答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.解析如圖，連接OB，連接AO并延長交BC于D，在Rt△OBD中，∠OBD=30°，OB=2OD=23即☉O的半徑為232.B連接OB、OC(圖略)，由題意得BC=1，∵正六邊形ABCDEF是☉O的內(nèi)接正六邊形，∴中心角∠BOC=360°6=60°，又∵OB=OC∴△BOC是等邊三角形，∴OB=OC=BC=1，則BC的長為60π×1180=13π[變式]D連接OB，OC，OD，OE，如圖，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC=∠COD=∠DOE=60°，∴∠BOE=3∠COD=180°，∴∠BME=123.A如圖，連接BD，CF，BD與CF交于點(diǎn)M，易得點(diǎn)B(2，1)，在Rt△BCM中，BC=4，∠BCM=12×120°=60°，∴CM=12BC=2，BM=32BC=23，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2-23，縱坐標(biāo)為1+2=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2-23，4.60°；4；2解析在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，∠COD=360°6=60°，∵OC=OD，∴△OCD是等邊三角形∴BC=CD=OC=4.∵OG⊥BC，∴CG=12BC=2，∵∠COG=12∠COD=30°，∴OG=3故答案為60°；4；235.解析(1)如圖所示，點(diǎn)P即為所求.(提示：利用正五邊形的對稱性，直線CP上的點(diǎn)均符合(CP與BD的交點(diǎn)除外)，答案不唯一)(2)如圖所示，點(diǎn)O即為所求.(提示：利用正五邊形的性質(zhì)，得到其兩條對稱軸，進(jìn)而得出其中心點(diǎn)O的位置)6.解析設(shè)AO的延長線與圓O交于點(diǎn)D，根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，點(diǎn)D即為所求作的正六邊形的一個頂點(diǎn)，且該正六邊形的邊長等于圓O的半徑，故AO的垂直平分線與圓O的交點(diǎn)即為正六邊形的頂點(diǎn)B和F.同理，OD的垂直平分線與圓O的交點(diǎn)即為正六邊形的頂點(diǎn)C和E，連接AB、BC、CD、DE、EF、FA，如圖，正六邊形ABCDEF即為所求.能力提升全練7.C連接OB，OC(圖略)，∵☉O的周長等于6π，∴☉O的半徑為3，∵∠BOC=16×360°=60°，OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC=OB=3，∴正六邊形ABCDEF的邊長為3，8.C∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠AED=∠EAB=180°×(5?2)5=108°∵∠AEO=2∠DEN，∠DEN+∠AED+∠AEO=180°，∴3∠DEN+108°=180°，∴∠DEN=24°，則∠AEO=2∠DEN=48°.∵∠EAB=∠O+∠AEO，∴∠O=∠EAB-∠AEO=108°-48°=60°，故選C.9.B連接AD，過點(diǎn)B作BG⊥AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，如圖所示，正六邊形每個內(nèi)角的度數(shù)為4×180°6=120°∴∠BAF=∠CDE=120°，∵正六邊形ABCDEF關(guān)于直線AD對稱，∴∠BAD=∠CDA=12×120°=60°∵BG⊥AD，CH⊥AD，∴∠AGB=∠CHD=90°，∴∠ABG=∠DCH=90°-60°=30°，∴AG=DH=12AB=12∵∠ABC+∠BAD=120°+60°=180°，∴BC∥AD，∴∠GBC=180°-90°=90°，∴∠GBC=∠BGH=∠GHC=90°，∴四邊形BCHG是矩形，∴GH=BC，BG=CH，∴AD=AG+GH+DH=2BC，∴S△BCDS△ABD=1根據(jù)對稱性可知S△AFD=S△ABD，S△DEF=S△BCD，∴S陰影=S△DEF+S△BCD=12S△ABD+12S△ADF=1210.(1)22(2)45；32解析本題綜合考查了折疊、旋轉(zhuǎn)與正八邊形的性質(zhì).(1)設(shè)正方形JKMN的中心為O，由題意得OA=OB=2，∴正方形JKMN的邊長MN=22+2(2)連接AD，BE，如圖，正八邊形的內(nèi)角∠HAB=(8-2)×180°8=135°，正方形的內(nèi)角∠JAB=∠ABK=90°∴∠HAJ=135°-90°=45°，即將正方形JKMN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45度，JN與HA重合.同理∠KBC=45°，∴∠KBC+∠BCD=180°，∴BK∥CD，由正八邊形的性質(zhì)知BE∥CD，∴B、K、E在同一直線上，同理A、K、D也在同一直線上，∴四邊形BCDK是平行四邊形，∵BK=AB=BC，∴四邊形BCDK是菱形，∴DK=BK=DE=22，∠KDC=∠KBC=45°，∴∠KDE=90°，∴△DKE是等腰直角三角形，∴KE=(22)2+(22)2=4，∠KEL=135°-45°=90°，∴KL=42+(11.解析(1)五邊形的內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°，∵五邊形ABCDE是正五邊形，正五邊形的五個內(nèi)角都相等，∴∠ABC=540°5(2)△AMN是正三角形，理由如下：如圖，連接ON，F(xiàn)N，由作圖知FN=FO，∵ON=OF，∴ON=OF=FN，∴△OFN是正三角形，∴∠OFN=60°，∴∠AMN=∠OFN=60°，同理∠ANM=60°，∴△AMN是正三角形.(3)如圖，連接OD，由(2)知∠AMN=60°，∴∠AON=2∠AMN=120°.∵AD=2AE，∴∠AOD=2×360°5=144°，∵DN=AD-AN，∴∠NOD=144°-120°=24°，∴n=360素養(yǎng)探究全練12.解析任務(wù)1：∵四邊形ABCD是正方形，且AC是對角線，∴∠BAC=45°.∵點(diǎn)B，E關(guān)于直線AF對稱，∴∠BAF=12任務(wù)2：連接EM，EN，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，且AC是對角線，∴∠BCA=∠DCA=45°，∵點(diǎn)E，C關(guān)于直線MN