高等數(shù)學(xué)課件：向量代數(shù)與空間解析幾何

向量代數(shù)與空間解析幾何

第一節(jié)空間直角坐標(biāo)系 第二節(jié)向量的線性運(yùn)算 第三節(jié)向量的數(shù)量積、向量積第四節(jié)曲面及其方程 第五節(jié)空間曲線及其方程 第六節(jié)平面和空間直線的方程向量代數(shù)與空間解析幾何

在中學(xué)中，我們?cè)鴮W(xué)過平面解析幾何.通過建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，可將平面上的點(diǎn)與一個(gè)有序數(shù)組對(duì)應(yīng)起來；將平面上的一條直線或曲線，與一個(gè)代數(shù)方程對(duì)立起來，這樣就可以用代數(shù)方法來研究平面幾何問題.而空間解析幾何是平面解析幾何的進(jìn)一步發(fā)展，它是在三維空間里利用代數(shù)方法研究幾何問題.第一節(jié)空間直角坐標(biāo)系、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)。在研究空間解析幾何的開始，我們首先建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.如圖4-1，在空間中，任意固定一點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，做三條等長且相互垂直的直線，對(duì)于這三條直線，分別確定他們的正向，使他們成為坐標(biāo)軸OX，OY，OZ.OX軸又稱為x軸或橫軸，OY軸又稱為y軸或縱軸，OZ稱為z軸或豎軸，三條坐標(biāo)軸單位長度相同.習(xí)慣上，總把x軸，y軸放在水平面上，z軸放在垂直位置上。x軸，y軸，z軸方向的按右手法則確定，即以右手握住z軸，大拇指方向?yàn)閦軸的正方向，其余四指從x軸正向旋轉(zhuǎn)90度，所指方向便為y軸正向.圖4-1這種坐標(biāo)系又稱為空間直角右手坐標(biāo)系。相應(yīng)的還有一個(gè)左手坐標(biāo)系，但不常用，在我們這本教材中，里面使用的全部都是右手坐標(biāo)系.在上圖中，我們可以確定三個(gè)坐標(biāo)平面，即三個(gè)坐標(biāo)面，他們相互垂直，其中，垂直于OX軸的叫做YOZ平面或Oyz平面，其他類似.三個(gè)坐標(biāo)平面把整個(gè)空間分成了八個(gè)部分，每個(gè)部分叫做卦限，八個(gè)卦限的排列順序如圖4-2IVVIVVII0xyVIIIIIIIIIz圖4-2：八個(gè)卦限分布空間直角坐標(biāo)系建立以后，我們就可以建立空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為此先介紹空間點(diǎn)的坐標(biāo).對(duì)于空間任意一點(diǎn)M，過M做三個(gè)平面，分別垂直于x軸，y軸和z軸，他們與之的交點(diǎn)分別記做P、Q、R（如圖4-3）.這三個(gè)點(diǎn)分別在x軸，y軸和z軸上的坐標(biāo)依次為x，y，z.這樣點(diǎn)M就唯一的確定了一個(gè)有序數(shù)組（x，y，z），這組數(shù)（x，y，z）就叫做M點(diǎn)的坐標(biāo)，并依次稱x，y和z為M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，通常記為M（x，y，z）.圖4-3：點(diǎn)M坐標(biāo)倒過來，對(duì)任意一個(gè)有序數(shù)組（x，y，z），空間總有唯一的點(diǎn)M，其坐標(biāo)就是（x，y，z）。事實(shí)上，在x軸上，取坐標(biāo)為x的點(diǎn)P，在y軸上，取坐標(biāo)為y的點(diǎn)Q，在z軸上，取坐標(biāo)為z的點(diǎn)R。經(jīng)過P、Q、R分別作平行于坐標(biāo)面YOZ，ZOX，XOY的平面，這三個(gè)平面相互垂直，且交于一點(diǎn)M。顯然，M點(diǎn)且僅有M點(diǎn)是以有序組（x，y，z）為坐標(biāo)的點(diǎn).從上面兩個(gè)方面，我們知道，在建立空間直角坐標(biāo)系后，空間的點(diǎn)M和有序數(shù)組（x，y，z）之間建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，（x，y，z）可以叫做M點(diǎn)的直角坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)畫點(diǎn)時(shí)，可按圖2的路線進(jìn)行.坐標(biāo)面和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，其坐標(biāo)各有一些特征，很簡單，這里就不詳寫了.下面我們講卦限劃分：各卦限內(nèi)的點(diǎn)（除去坐標(biāo)面上的點(diǎn)外）的坐標(biāo)符號(hào)如下：Ⅰ（+，+，+），Ⅱ（-，+，+），Ⅲ（-，-，+），Ⅳ（+，-，+，）Ⅴ（+，+，-），Ⅵ（-，+，-），Ⅶ（-，-，-），Ⅷ（+，-，-）不過，我們很少用到卦限的概念二、空間上兩點(diǎn)間的距離我們知道：在數(shù)軸上，M1（x1），M2（x2）兩點(diǎn)之間的距離為D=.在平面上，M1（x1，y1），M2（x2，y2）兩點(diǎn)之間的距離為：

D=.那么，在空間上任意兩點(diǎn)M1（x1，y1，z1），M2（x2，y2，z2）之間的距離是多少呢？我們可以證明：D=事實(shí)上，過M1，M2，各作分別垂直于三條坐標(biāo)軸的平面，這六個(gè)平面圍成一個(gè)以M1，M2，為對(duì)角線的長方體（圖4-4）.圖4-4∴D2=

==∴D=這就是空間兩點(diǎn)的距離公式。【特別的】：（1）點(diǎn)M（x，y，z）與坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0，0）的距離為

d=（2）M1，M2兩點(diǎn)之間的距離等于0M1=M2，兩點(diǎn)重合，也即x1=x2，y1=y2，z1=z2。（3）=例1：已知三角形的頂點(diǎn)為A（1，2，3），B（7，10，3）和C（-1，3，1）。試證明A角為鈍角.證：===可見，>+由余弦定理，就可知A角為鈍角.例2：在z軸上，求與A(-4,1,7)和B(3,5,-2)兩點(diǎn)等距離的點(diǎn).解：設(shè)M為所求的點(diǎn)，因?yàn)镸在z軸上，故可設(shè)M的坐標(biāo)為：（0，0，z）根據(jù)題意，及=去根號(hào)，整理得：z=14/9∴M（0，0，14/9）.例3：試在xoy平面上求一點(diǎn)，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各點(diǎn)的距離相等.解：設(shè)M為所求。故依題意可設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y，0），又由題意知：

|MA|=|MB|=MC|，即：==

化簡可得∴所求的點(diǎn)為M（16，-5，0）.第二節(jié)向量的線性運(yùn)算

、向量概念在物理學(xué)中，有許多量不僅有大小而且有方向，比如力、磁場(chǎng)強(qiáng)度等.我們將這些量稱為向量（矢量）.定義：向量是既有大?。ㄓ梢粋€(gè)大于等于零的數(shù)表示）又有方向的量.在數(shù)學(xué)中，往往用一條有方向的線段，又稱有向線段來表示向量。有向線段的長度表示該向量的大小，有向線段的方向表示該向量的方向.以M1為起點(diǎn)，M2為終點(diǎn)的有向線段表示的向量，記為。有時(shí)也用一個(gè)粗體字母或者上面帶有尖頭的字母來表示向量，比如：或者a，j，k，v等等.向量大小叫做向量的模。向量的模即該有向線段的長度.向量，，a的模依次記做，，|a|.我們要注意，|·|不是絕對(duì)值.對(duì)于向量，我們也可以對(duì)其進(jìn)行類似數(shù)字一樣的加、減、乘法運(yùn)算.在數(shù)字中有0和1，相應(yīng)的為了進(jìn)行向量運(yùn)算亦需要“0”和“1”，所以作如下定義：（1）模為1的向量稱為單位向量.（2）模為0的向量稱為零向量，記做0，.零向量的方向可以是任意，但規(guī)定一切零向量都相等.另外，在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)O為始點(diǎn)，M為終點(diǎn)的向量，稱為點(diǎn)M對(duì)點(diǎn)O的向徑，由粗體字r表示.在實(shí)際問題中，有的向量與始點(diǎn)無關(guān)（比如指南針），而有的與始點(diǎn)有關(guān)（比如點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度）.而我們現(xiàn)在只考慮前一種，即與始點(diǎn)無關(guān)的向量，并稱為自由向量，簡稱向量.由于我們不考慮始點(diǎn)的所在位置，因而規(guī)定，兩個(gè)方向相同，長度一樣的向量a或b稱為相等向量，或a和b相等，記為a=b。又說：如果兩個(gè)向量經(jīng)過平行移動(dòng)后能夠完全重合，就稱為兩個(gè)向量相等。如圖4-5圖4-5：兩個(gè)相等的向量若向量a，b，長度相等，方向相反，就稱為它們互為負(fù)向量，如圖4-6，用a=-b或者b=-a表示；若a，b方向相同或者相反，則稱a，b為平行向量，記為a//b.圖4-6：負(fù)向量二、向量的加減法及向量與數(shù)的乘法在研究物體受力時(shí)，作用于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的兩個(gè)力可以看作兩個(gè)向量.而它的合力就是以這個(gè)力作為邊的平行四邊形的對(duì)角線上的向量.我們現(xiàn)在討論向量的加法就是對(duì)合力這個(gè)概念在數(shù)學(xué)上的抽象和概括.向量的加法(i)平行四邊形法則：設(shè)已知向量，，以任意點(diǎn)O為始點(diǎn).一般講，任意二向量未必同始點(diǎn)，但是利用自由向量的特點(diǎn)可以做到同一始點(diǎn)，且分別以A，B為終點(diǎn).=，=，再以O(shè)A，OB為邊作平行四邊形OACB，對(duì)角線的向量=，這就是，之和，記做+=（如圖4-7）圖4-7：向量加法四邊形法則由，求+的過程叫做向量的加法，上述利用平行四邊形的對(duì)角線上向量來規(guī)定兩向量之和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.若兩個(gè)向量，在同一直線上（或者平行），則它們的和規(guī)定為：（1）若，同向，其和向量的方向就是，的共同方向，其模為的模和的模之和.（2）若，反向，其和向量的方向?yàn)?，中較長的向量的方向，其模為，中較大的模與較小的模之差.

(ii)三角形法則：設(shè)已知向量，，現(xiàn)在以任意點(diǎn)O為始點(diǎn)，做=，再以的終點(diǎn)A為始點(diǎn)，做=，連接OC，且令=，則+=，如圖4-8.對(duì)于任意向量，我們有：+（-）=；+=+=向量的加法滿足：（1）交換律：+=+（2）結(jié)合律：（+）+=+（+）圖4-8：向量加法三角形法則一般地，對(duì)于n個(gè)向量,,,…,,它們的和可記做+++…+。它們之間不須加括號(hào)，根據(jù)交換律，各向量次序可以任意顛倒。由三角形法則，依次將后一個(gè)向量的起點(diǎn)與前一個(gè)向量的中點(diǎn)連接，最后再將第一個(gè)向量的起點(diǎn)與最后一個(gè)向量的終點(diǎn)相連接，所得向量即這n個(gè)向量的和。例如，記=,=，…=得到一系列折線A1AA2…An-1An，連接OAn，

O得：=+++…+向量的減法

規(guī)定：

(1)平行四邊形法則.將、－之一平移,使起點(diǎn)重合,作以、為鄰邊的平行四邊形,對(duì)角線向量,為，如圖4-9

(2)三角形法則.將、之一平移,使起點(diǎn)重合,由的終點(diǎn)向的終點(diǎn)作一向量,即為，如圖4-10圖4-9：向量減法的平行四邊形法則圖4-10向量減法的平行三角形法則3、向量與數(shù)量的乘法設(shè)是一個(gè)數(shù)量，向量與的乘積規(guī)定為：（1）當(dāng)>0時(shí)，表示一向量，其方向與方向相同，其模為的倍，即.（2）當(dāng)=0時(shí)，為零向量，即（3）當(dāng)<0時(shí)，表示一向量，其方向與方向相反，其模為的倍，即.特別的：當(dāng)=-1時(shí)，（-1）與互為負(fù)向量，故有（-1）=.數(shù)和向量的乘積滿足下列運(yùn)算規(guī)則：（1）結(jié)合律：（2）分配律：證明從略兩個(gè)非零向量平行，則它們方向相同或相反，所以有：//設(shè)ea是方向與a相同的單位向量，則根據(jù)向量與數(shù)量乘法的定義，可以將a寫成a＝｜a｜ea

這樣就把一個(gè)向量的大小和方向都明顯地表示出來.由此也有ea＝

(2)就是說把一個(gè)非零向量除以它的模就得到與它同方向的單位向量.例1.已知平行四邊形兩鄰邊向量，，其對(duì)角線交點(diǎn)為M，求

解：

如圖4-11所示，顯然，又∴又∵

即

∴

又A

B

C

D

M圖4-11三、向量的坐標(biāo)表示利用平行四邊形法則或三角形法只能計(jì)算向量的和差，且只能用幾何的方法研究向量，很難利用先進(jìn)的計(jì)算工具--如計(jì)算機(jī)程序--進(jìn)行處理。在空間直角坐標(biāo)系下，我們可以將向量用坐標(biāo)表示，用分析的方法研究向量，解決上述難題1.向量在軸上的投影為了用分析方法來研究向量，需要引進(jìn)向量在軸上的投影的概念.（1）兩向量的夾角.設(shè)有兩個(gè)非零向量a，b，任取空間一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則稱這兩向量正向間的夾角θ為兩向量a與b的夾角（圖4-12），記作圖4-12θ＝（）或θ=（），0≤θ≤π.(1)當(dāng)a與b同向時(shí)，θ＝0；當(dāng)a與b反向時(shí)，θ＝π.（2）點(diǎn)A在軸u上的投影過點(diǎn)A作與軸u垂直的平面，交軸u于點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′稱為點(diǎn)A在軸u上的投影（圖4-13）.圖4-13圖4-14（3）向量在軸u上的投影首先我們引進(jìn)軸上的有向線段的值的概念設(shè)有一軸u,是軸u上的有向線段.如果數(shù)λ滿足|λ|=||,且當(dāng)與u軸同向時(shí)λ是正的，當(dāng)與u軸反向時(shí)λ是負(fù)的，那么數(shù)λ叫做軸u上有向線段的值，記作AB，即λ=AB.設(shè)A、B兩點(diǎn)在軸u上的投影分別為A′，B′（圖4-14），則有向線段的值A(chǔ)′B′稱為向量在軸u上的投影，記作Prju＝A′B′,它是一個(gè)數(shù)量.軸u叫做投影軸.這里應(yīng)特別指出的是：投影不是向量，也不是長度，而是數(shù)量，它可正，可負(fù)，也可以是零.關(guān)于向量的投影有下面兩個(gè)定理：定理1向量在軸u上的投影等于向量的模乘以u(píng)與向量的夾角的余弦，即Prju＝｜｜c(diǎn)os.(2)證過A作與軸u平行且有相同正向的軸u′，則軸u與向量間的夾角α等于軸u′與向量間的夾角（圖4-15）.從而有圖4-15Prju＝Prju′＝AB″＝｜｜c(diǎn)os.顯然，當(dāng)是銳角時(shí)，投影為正值；當(dāng)是鈍角時(shí)，投影為負(fù)值；當(dāng)是直角時(shí)，投影為0.定理2兩個(gè)向量的和在某軸上的投影等于這兩個(gè)向量在該軸上投影的和，即Prju（a1＋a2）＝Prjua1＋Prjua2.(3)證設(shè)有兩個(gè)向量a1，a2及某軸u,由圖4-16可以看到圖4-16Prju（a1＋a2）＝Prju（+）＝Prju＝A′C′,而Prjua1+Prjua2＝Prju+Prju＝A′B′＋B′C′＝A′C′，所以Prju（a1＋a2）＝Prjua1＋Prjua2.顯然，定理2可推廣到有限個(gè)向量的情形，即Prju（a1＋a2＋…+an）＝Prjua1＋Prjua2＋…＋Prjuan.(4)2.向量的坐標(biāo)表示利用向量在坐標(biāo)軸上的投影，我們可以給出向量的坐標(biāo)表示形式.（1）向量的分解設(shè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz，以i，j，k分別表示沿x軸、y軸、z軸正向的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標(biāo)系的基本單位向量.始點(diǎn)固定在原點(diǎn)O、終點(diǎn)為M的向量r＝稱為點(diǎn)M的向徑.設(shè)向徑的終點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y,z）.過點(diǎn)M分別作與三個(gè)坐標(biāo)軸垂直的平面，依次交坐標(biāo)軸于P，Q，R（圖4-17），根據(jù)向量的加法，有圖4-17r＝＝＋＋，但＝，＝，所以r＝＋＋.向量，，分別稱為向量r＝在x，y，z軸上的分向量，根據(jù)數(shù)與向量的乘法得＝xi,＝y(tǒng)j，＝zk.因此有＝r＝xi＋yj＋zk.(5)這就是向量r在坐標(biāo)系中的分解式.其中x,y,z三個(gè)數(shù)是向量r＝在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影.一般地，設(shè)向量a＝,M1、M2的坐標(biāo)分別為M1（x1,y1,z1）及M2（x2,y2,z2），如圖4-18所示，由于圖4-18＝－＝－,而＝x2i＋y2j＋z2k,＝x1i＋y1j＋z1k,所以a＝＝（x2i＋y2j＋z2k）－（x1i＋y1j＋z1k）＝（x2－x1）i＋（y2－y1）j＋（z2－z1）k.(6)這個(gè)式子稱為向量按基本單位向量的分解式.其中三個(gè)數(shù)量ax＝x2－x1,ay＝y(tǒng)2－y1,az＝z2－z1是向量a＝在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影.我們也可以將向量a的分解式寫成a＝axi＋ayj＋azk.(7)（2）向量的坐標(biāo)表示.定義:向量a在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影ax，ay，az叫做向量a的坐標(biāo)，并將a表示為a＝（ax,ay,az），上式叫做向量a的坐標(biāo)表示式.從而基本單位向量的坐標(biāo)表示式是i＝（1,0,0）,j＝（0,1,0）,k＝（0,0,1）.零向量的坐標(biāo)表示式為0=（0,0,0）.起點(diǎn)為M1（x1,y1,z1）、終點(diǎn)為M2（x2,y2,z2）的向量的坐標(biāo)表示式為＝（x2－x1,y2－y1,z2－z1），(8)特別地，向徑的坐標(biāo)就是終點(diǎn)的坐標(biāo)，即＝（x,y,z）

（3）向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式.向量可以用它的模和方向來表示，也可以用它的坐標(biāo)來表示，為了找出向量的坐標(biāo)與向量的模、方向之間的聯(lián)系，我們先介紹一種表達(dá)空間方向的方法.與平面解析幾何里用傾角表示直線對(duì)坐標(biāo)軸的傾斜程度相類似，我們可以用向量a＝與三條坐標(biāo)軸（正向）的夾角α，β，γ來表示此向量的方向，并規(guī)定0≤α≤π、0≤β≤π、0≤γ≤π（圖4-19），α，β，γ叫做向量a的方向角.過點(diǎn)M1，M2各作垂直于三條坐標(biāo)軸的平面，如圖4-19所示，可以看出由于∠PM1M2＝α,又M2P⊥M1P，所以圖4-19同理ax＝M1P＝｜｜c(diǎn)osα＝｜a｜c(diǎn)osα，

ay＝M1Q＝｜｜c(diǎn)osβ＝｜a｜c(diǎn)osβ，az＝M1R＝｜｜c(diǎn)osγ＝｜a｜c(diǎn)osγ.（7）公式（7）中出現(xiàn)的不是方向角α，β，γ本身而是它們的余弦，因而，通常也用數(shù)組cosα、cosβ、cosγ來表示向量a的方向，叫做向量a的方向余弦.

而向量a的模為｜a｜＝｜｜＝由此得向量a的模的坐標(biāo)表示式｜a｜＝(8)再把上式代入（8）式，可得向量a的方向余弦的坐標(biāo)表示式cosα＝，

cosβ＝cosγ＝

(9)把公式（9）的三個(gè)等式兩邊分別平方后相加，便得到cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，即任一向量的方向余弦的平方和等于1.由此可見，由任一向量a的方向余弦所組成的向量（cosα,cosβ,cosγ）是單位向量，即ea＝cosαi＋cosβj＋cosγk.（4）用坐標(biāo)進(jìn)行向量的線性運(yùn)算利用向量的分解式，向量的線性運(yùn)算可以化為代數(shù)運(yùn)算.設(shè)λ是一數(shù)量，a＝axi＋ayj＋azk,b＝bxi＋byj＋bzk;則a±b＝（axi＋ayj＋azk）±（bxi＋byj＋bzk）＝（ax±bx）i＋（ay±by）j＋（az±bz）k;λa＝λ（axi＋ayj＋azk）＝λaxi＋λayj＋λazk或（ax,ay,az）±（bx,by,bz）＝（ax±bx,ay±by,az±bz）,λ（ax,ay,az）＝（λax,λay,λaz）.這就是說，兩向量之和（差）的坐標(biāo)等于兩向量同名坐標(biāo)之和（差）；數(shù)與向量之積，等于此數(shù)乘上向量的每一個(gè)坐標(biāo).

利用向量的坐標(biāo)，向量b//a

b

a

即b//a

(bx

by

bz)

(ax

ay

az)

于是b//a

例3設(shè)已知兩點(diǎn))和B(1,3,0)

計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角

解

第三節(jié)向量的數(shù)量積、向量積一.兩向量的數(shù)量積在物理學(xué)中，我們知道當(dāng)物體在力F的作用下（圖4-20），產(chǎn)生位移s時(shí)，力F所作的功圖4-20W＝｜F｜c(diǎn)os（）·｜s｜

=｜F｜｜s｜c(diǎn)os（）.這樣，由兩個(gè)向量F和s決定了一個(gè)數(shù)量｜F｜｜s｜c(diǎn)os（）.根據(jù)這一實(shí)際背景，我們把由兩個(gè)向量F和s所確定的數(shù)量｜F｜｜s｜c(diǎn)os（）定義為兩向量F與s的數(shù)量積.定義1兩向量a與b的模與它們的夾角余弦的乘積，叫做a與b的數(shù)量積或點(diǎn)積，記為a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os（）.(1)因其中的｜b｜c(diǎn)os（）是向量b在向量a的方向上的投影，故數(shù)量積又可表示a·b＝｜a｜Prjab，同樣a·b＝｜b｜Prjba.數(shù)量積滿足下列運(yùn)算性質(zhì)：（1）a·b＝b·a；（交換律）（2）

a·（b＋c）＝a·b＋a·c；（分配律）（3）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）.（結(jié)合律）由數(shù)量積的定義，容易得出下面的結(jié)論：（1）a·a＝｜a｜2；（2）兩個(gè)非零向量a與b互相垂直的充要條件是a·b＝0.數(shù)量積的坐標(biāo)表示式設(shè)a＝axi＋ayj＋azk,b＝bxi＋byj＋bzk,根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)可得a·b＝（axi＋ayj＋azk）·（bxi＋byj＋bzk）=axbxi·i＋axbyi·j＋axbzi·k＋aybxj·i+aybyj·j＋aybzj·k+azbxk·i＋azbyk·j＋azbzk·k.由于基本單位向量i,j,k兩兩互相垂直，從而，i·j＝j(luò)·k＝k·i=j·i＝k·j＝i·k＝0.又因?yàn)閕,j,k的模都是1，所以i·i＝j(luò)·j＝k·k＝1，因此a·b＝axbx＋ayby＋azbz.（2）即兩向量的數(shù)量積等于它們同名坐標(biāo)的乘積之和.由于a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os（），當(dāng)a，b都是非零向量時(shí)有

cos（）＝＝.(3)這就是兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式.從這個(gè)公式可以看出，兩非零向量互相垂直的充要條件為axbx＋ayby＋azbz＝0.(4)例1已知三點(diǎn)M(1

1

1)、A(2

2

1)和B(2

1

2)

求

AMB

解從M到A的向量記為a

從M到B的向量記為b

則

AMB

就是向量a與b的夾角

a

{1

1

0}

b

{1

0

1}

因?yàn)?/p>

a

b

1

1

1

0

0

1

1

所以

從而二.兩向量的向量積在研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)問題時(shí)，不但要考慮此物體所受的力，還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩.下面舉例說明表示力矩的方法.設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn)，有一個(gè)力F作用于這杠桿上P點(diǎn)處，F(xiàn)與的夾角為θ.由物理學(xué)知道，力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一向量M，它的模圖4-20｜M｜＝｜OQ｜｜F｜＝｜｜｜F｜sinθ.

而M的方向垂直于與F所確定的平面（即M既垂直于，又垂直F），M的指向按右手規(guī)則，即當(dāng)右手的四個(gè)手指從以不超過π的角轉(zhuǎn)向F握拳時(shí)，大拇指的指向就是M的指向.由兩個(gè)已知向量按上述規(guī)則來確定另一向量，在其他物理問題中也會(huì)遇到，比如洛倫磁力的計(jì)算.把這一計(jì)算形式抽象出來，就是兩個(gè)向量的向量積的概念.定義5兩向量a與b的向量積是一個(gè)向量c，記為c＝a×b，它的大小與方向規(guī)定如下：（1）｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin（），即等于以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積；（2）a×b垂直于a,b所確定的平面，并且按順序a，b，a×b符合右手法則（見圖4-21）.圖4-21向量積滿足下列規(guī)律：（1）a×b＝－b×a（向量積不滿足交換律）.（2）（a＋b）×c＝a×c＋b×c.（3）（λa）×b＝a×（λb）＝λ（a×b）由向量積的定義，容易得出下面的結(jié)論：（1）a×a＝0.（2）兩個(gè)非零向量a與b互相平行的充要條件是a×b＝0.3.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)a＝axi＋ayj＋azk,

b＝bxi＋byj＋bzk.則a×b＝（axi＋ayj＋azk）×（bxi＋byj＋bzk）＝axbx（i×i）＋axby（i×j）＋axbz（i×k）＋aybx（j×i）＋ayby（j×j）＋aybz（j×k）＋azbx（k×i）＋azby（k×j）＋azbz（k×k）.由于i×i＝j(luò)×j＝k×k＝0，

i×j＝k,j×k＝i,k×i＝j(luò)，j×i＝－k，k×j＝－i,i×k＝－j.所以a×b＝（aybz－azby）i＋（azbx－axbz）j＋（axby－aybx）k.(5)這就是向量積的坐標(biāo)表示式.這個(gè)公式可以用行列式（行列式的定義及簡單運(yùn)算見本書后附錄）寫成下列便于記憶的形式：a×b＝

(6)從這個(gè)公式可以看出，兩非零向量a和b互相平行的條件為aybz－azby＝0,azbx－axbz＝0,axby－aybx＝0,或(7)第四節(jié)曲面及其方程一、曲面方程在空間解析幾何中

任何曲面都可以看作點(diǎn)的幾何軌跡

在這樣的意義下

如果曲面S與三元方程F(x

y

z)0(1)有下述關(guān)系

(1)曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x

y

z)0

(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(x

y

z)0

那么

方程F(x

y

z)

0就叫做曲面S的方程

而曲面S就叫做方程F(x

y

z)

0的圖形

例1建立球心在點(diǎn)M0(x0

y0

z0)、半徑為R的球面的方程

解設(shè)M(x

y

z)是球面上的任一點(diǎn)

那么|M0M|

R

即或(x

x0)2(y

y0)2(z

z0)2R

這就是球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程

而不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程

所以(x

x0)2(y

y0)2(z

z0)2R2

就是球心在點(diǎn)M0(x0

y0

z0)、半徑為R的球面的方程

特殊地

球心在原點(diǎn)O(00

0)、半徑為R的球面的方程為

x2

y2z2R2

例2設(shè)有點(diǎn)A(1

2

3)和B(2

1

4)

求線段AB的垂直平分面的方程

解由題意知道

所求的平面就是與A和B等距離的點(diǎn)的幾何軌跡

設(shè)M(x

y

z)為所求平面上的任一點(diǎn)

則有|AM|

|BM|

即等式兩邊平方

然后化簡得2x

6y

2z

7

0

這就是所求平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程

而不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程

所以這個(gè)方程就是所求平面的方程

二、旋轉(zhuǎn)曲面設(shè)在yOz面上有一已知曲線C，它的方程為f（y,z）＝0，將這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個(gè)以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面.現(xiàn)在來求這個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面的方程（見圖4-22）.圖4-22在旋轉(zhuǎn)曲面上任取一點(diǎn)M（x,y,z），設(shè)這點(diǎn)是母線C上的點(diǎn)M1（0,y1,z1）繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的.點(diǎn)M與M1的z坐標(biāo)相同，且它們到z軸的距離相等，所以因?yàn)辄c(diǎn)M1在曲線C上，所以f（y1,z1）＝0.將上述關(guān)系代入這個(gè)方程中，得f（±,z）＝0.（2）因此，旋轉(zhuǎn)曲面上任何點(diǎn)M的坐標(biāo)x,y,z都滿足方程（2）.如果點(diǎn)M（x,y,z）不在旋轉(zhuǎn)曲面上，它的坐標(biāo)就不滿足方程.所以方程（2）就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程.在上述推導(dǎo)過程中可以發(fā)現(xiàn)：只要在曲線C的方程f（y，z）=0中，將變量y換成±，便可得曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程

f（±,z）＝0.（3）同理，如果曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為

f（y,±）＝0.（4）對(duì)于其他坐標(biāo)面上的曲線，繞該坐標(biāo)面內(nèi)任一坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程可用類似的方法求得.例3將zOx坐標(biāo)面上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周

求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程

解繞x軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為這兩種曲面分別叫做雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面

三、柱面柱面：平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L形成的軌跡叫做柱面

定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線

動(dòng)直線L叫做柱面的母線

我們只研究母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。如圖4-23,若柱面的母線平行于z軸，準(zhǔn)線c是xOy面上的一條曲線，其方程為F(x,y)=0，則該柱面的方程為F(x,y)=0;因?yàn)槟妇€平行于坐標(biāo)軸的柱面的特點(diǎn)為：平行于某軸，則在其方程中無此坐標(biāo)項(xiàng)。其幾何意義為：無論z取何值，只要滿足F(x,y)=0，則總在柱面上.同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空間中分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面.

圖4-23：母線平行z軸的柱面

例如，方程x2＋y2＝a2,,，x2＝2py分別表示母線平行于z軸的圓柱面、橢圓柱面、雙曲柱面和拋物柱面（見圖4-24）,因?yàn)樗鼈兊姆匠潭际嵌蔚?，所以統(tǒng)稱為二次柱面.圖4-24第五節(jié)空間曲線及其方程

一、空間曲線的一般方程空間曲線可以看作兩個(gè)曲面的交線

設(shè)

F(x

y

z)0和G(x

y

z)0

是兩個(gè)曲面方程

它們的交線為C

因?yàn)榍€C上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)方程

所以應(yīng)滿足方程組（1）反過來

如果點(diǎn)M不在曲線C上

那么它不可能同時(shí)在兩個(gè)曲面上

所以它的坐標(biāo)不滿足方程組

因此

曲線C可以用上述方程組來表示

上述方程組叫做空間曲線C的一般方程

例1方程組表示怎樣的曲線解方程組中第一個(gè)方程表示球心在坐標(biāo)原點(diǎn)O

半行為a的上半球面

第二個(gè)方程表示母線平行于z軸的圓柱面

它的準(zhǔn)線是xOy

面上的圓

這圓的圓心在點(diǎn)

半行為

方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線

二、空間曲線的參數(shù)方程空間曲線C的方程除了一般方程之外

也可以用參數(shù)形式表示

只要將C上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z表示為參數(shù)t的函數(shù)

（2）

當(dāng)給定t

t1時(shí)

就得到C上的一個(gè)點(diǎn)(x1

y1

z1)

隨著t的變動(dòng)便得曲線C上的全部點(diǎn)

方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程

例2如果空間一點(diǎn)M

在圓柱面x2

y2

a2上以角速度

繞z軸旋轉(zhuǎn)

同時(shí)又以線速度v

沿平行于z軸的正方向上升(其中

、v都是常數(shù))

那么點(diǎn)M構(gòu)成的圖形叫做螺旋線

試建立其參數(shù)方程

解取時(shí)間t為參數(shù)

設(shè)當(dāng)t

0時(shí)

動(dòng)點(diǎn)位于x軸上的一點(diǎn)A(a,0

0)處

經(jīng)過時(shí)間t

動(dòng)點(diǎn)由A運(yùn)動(dòng)到M(x

y

z)(圖4-25)

記M在xOy

面上的投影為B

B的坐標(biāo)為(x

y,0

)由于動(dòng)點(diǎn)在圓柱面上以角速度

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)

所以經(jīng)過時(shí)間t,∠AOB

t

從而

x

|OB|cos∠AOMB

acos

t

y

|OB|sin∠AOB

asin

t,由于動(dòng)點(diǎn)同時(shí)以線速度v

沿平行于

z

軸的正方向上升

所以

z

BM

vt.因此螺旋線的參數(shù)方程為

也可以用其他變量作參數(shù)

例如令

t

則螺旋線的參數(shù)方程可寫為其中

而參數(shù)為

圖4-25

三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影以曲線C為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面叫做曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面

投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線C在xOy

面上的投影曲線

或簡稱投影(類似地可以定義曲線C在其它坐標(biāo)面上的投影)

設(shè)空間曲線C的一般方程為設(shè)方程組消去變量z后所得的方程H(x

y)0(3)這就是曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面

這是因?yàn)?一方面,方程H(x

y)

0表示一個(gè)母線平行于z軸的柱面

另一方面方程H(x

y)

0是由方程組消去變量z后所得的方程

因此當(dāng)x、y、z滿足方程組時(shí)

前兩個(gè)數(shù)x、y必定滿足方程H(x

y)

0

這就說明曲線C上的所有點(diǎn)都在方程H(x

y)

0所表示的曲面上

即曲線C在方程H(x

y)

0表示的柱面上

所以方程H(x

y)

0表示的柱面就是曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面

曲線C在xOy

面上的投影曲線的方程為

(4)討論:曲線C關(guān)于yOz面和zOx

面的投影柱面的方程是什么?曲線C在yOz面和zOx

面上的投影曲線的方程是什么?例3已知兩球面的方程為x2

y2z21

(5)和x2

(y

1)2(z

1)21

(6)求它們的交線C在xOy面上的投影方程

解先將方程x2

(y

1)2(z

1)21化為x2

y2z22y

2z

1

然后與方程x2

y2z21相減得

y

z

1

這就是交線C關(guān)于xOy面的投影柱面方程將

z

1

y代入x2y2z21得x22y22y

0

兩球面的交線C在xOy面上的投影方程為第六節(jié)、平面和空間直線的方程平面和空間直線可以看做是曲面和空間曲線的特殊情況，在空間直角坐標(biāo)系下，可以給出平面和空間直線的解析形式.一、平面的方程定義1：垂直于平面的非零向量叫做該平面的法向量.容易看出，平面上的任一向量都與該平面的法向量垂直.1平面的點(diǎn)法式方程圖4-26我們知道，過空間一點(diǎn)可以作而且只能作一平面垂直于一已知直線，所以當(dāng)平面Π上的一點(diǎn)M0（x0,y0,z0）和它的法向量n＝（A,B,C）為已知時(shí)，平面Π的位置就完全確定了.設(shè)M0（x0,y0,z0）是平面Π上一已知點(diǎn)，n＝（A,B,C）是它的法向量（1），M（x,y,z）是平面Π上的任一點(diǎn)，那么向量必與平面Π的法向量n垂直，即它們的數(shù)量積等于零：n·＝0.由于n＝（A,B,C）,＝（x－x0,y－y0,z－z0）,所以有

A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0.（1）平面Π上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程（1），不在平面Π上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程（1）.所以方程（1）就是所求平面的方程.因?yàn)樗o的條件是已知一定點(diǎn)M0（x0,y0,z0）和一個(gè)法向量n＝（A,B,C），方程（1）叫做平面的點(diǎn)法式方程.例1求過點(diǎn)(2

3

0)且以n

(1

2

3)為法線向量的平面的方程

解根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程

得所求平面的方程為

(x

2)

2(y

3)

3z

0

即x

2y

3z

8

0

2平面的一般式方程將方程（1）化簡，得

Ax＋By＋Cz＋D＝0,(2)其中D＝－Ax0－By0－Cz0，由于方程（2）是x，y，z的一次方程，所以任何平面都可以用三元一次方程來表示.將方程（1）化簡，得

Ax＋By＋Cz＋D＝0,(2)其中D＝－Ax0－By0－Cz0，由于方程（2）是x，y，z的一次方程，所以任何平面都可以用三元一次方程來表示.反過來，對(duì)于任給的一個(gè)三元一次方程

Ax＋By＋Cz＋D＝0,(3)我們?nèi)M足該方程的一組解x0,y0,z0，則

Ax0＋By0＋Cz0＋D＝0.（4）由方程（3）減去方程（4），得A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0.（5）把它與方程（1）相比較，便知方程（5）是通過點(diǎn)M0（x0,y0,z0）且以n＝（A，B，C）為法向量的平面方程.因?yàn)榉匠蹋?）與（5）同解，所以任意一個(gè)三元一次方程(2)的圖形是一個(gè)平面.方程（2）稱為平面的一般式方程.其中x,y,z的系數(shù)就是該平面的法向量n的坐標(biāo)，即n＝（A，B，C）.例2求過三點(diǎn)M1(2

1

4)、M2(1

3

2)和M3(02

3)的平面的方程

解我們可以用作為平面的法線向量n

因?yàn)?/p>

所以根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程

得所求平面的方程為14(x

2)

9(y

1)

(z

4)

0

即14x

9y

z

15

0

例3已知平面Π在三坐標(biāo)軸上的截距分別