河北省秦皇島市青龍滿族自治縣部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024—2025學(xué)年第一學(xué)期青龍縣部分學(xué)校期中聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.本試卷共4頁，總分150分，考試時(shí)間150分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡相應(yīng)位置上.3.答選擇題時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，則A． B． C． D．2．已知向量，，且滿足，則（

）A．13 B． C．26 D．3．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．

C．

D．

4．給出四個(gè)等式：①；②；③；④，則不滿足任一等式的函數(shù)是（

）．A． B． C． D．5．已知函數(shù)是定義在上周期為的奇函數(shù)，若，則()A． B． C． D．6．不等式成立的充要條件是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且關(guān)于的方程恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．若，則的大小關(guān)系是（

）A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．已知，為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則與的虛部相等C．若，則或 D．若，則10．若的內(nèi)角，，對(duì)邊分別是，，，，且，則（

）A．外接圓的半徑為 B．的周長的最小值為C．的面積的最大值為 D．邊的中線的最小值為11．已知為常數(shù)，給出關(guān)于的不等式，則（

）A．當(dāng)，時(shí)，不等式的解集為B．當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或的形式，其中C．當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或的形式，其中，D．當(dāng)時(shí)，不等式的解集為的形式，其中第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．寫出一個(gè)滿足且不是常數(shù)函數(shù)的函數(shù)：．13．ΔABC中，若，，則．14．已知向量，若，則．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．設(shè)向量（I）若（II）設(shè)函數(shù)16．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足．(1)求的值；(2)已知的面積為，求a的值．17．將長為的鐵絲截成段，搭成一個(gè)正四棱柱的模型，以此為骨架做成一個(gè)容積最大的容器，則鐵絲應(yīng)怎樣截？18．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：．19．已知函數(shù)．（1）若在定義域內(nèi)恒成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)取（1）中的最大值時(shí)，求函數(shù)的最小值；（3）證明不等式．

答案1．A解析：根據(jù)集合的交集的計(jì)算得到：,故選.2．B解析：解：由題意得，∵，∴，即，解得．∴，則，故選：B．3．C解析：由函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故選：C.4．D解析：項(xiàng)滿足②；項(xiàng)滿足④；項(xiàng)滿足③；．故選.5．B解析：解：因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的周期為的奇函數(shù)，所以，所以；故選：B.6．A解析：，故，即，故.故選：.7．C解析：解：由在上單調(diào)遞減，得，又由且在上單調(diào)遞減，得，解得，所以，作出函數(shù)且在上的大致圖象，由圖象可知，在上，有且僅有一個(gè)解，故在上，同樣有且僅有一個(gè)解，當(dāng)，即時(shí)，聯(lián)立，即，則，解得：，當(dāng)時(shí)，即，由圖象可知，符合條件．綜上：．故選：C．8．B解析：，故選：B．9．AC解析：對(duì)于A，若，則和互為共軛復(fù)數(shù)，所以，故A正確；對(duì)于B，若，則與的虛部互為相反數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，所以或，可得或，故C正確；對(duì)于D，取，，可得，故D錯(cuò)誤.故選：10．ACD解析：對(duì)于A：，由正弦定理得，即，即，因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)?，則，令外接圓的半徑為,根據(jù)正弦定理可得，即，故A正確；對(duì)于C：由余弦定理知，，因?yàn)?，，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以的最大值為，故C正確；對(duì)于B：由C知，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，故B錯(cuò)；對(duì)于D：因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，，得，因?yàn)?，所以的最小值為，故D正確；故選：ACD.11．ACD解析：當(dāng)，時(shí)，，即，解得，A正確；設(shè)直線，聯(lián)立，得，由得或，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；由得或，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)；由得，直線與拋物線無交點(diǎn).作出函數(shù)，，的圖象，當(dāng)時(shí)，如圖一，由圖可知，此時(shí)不等式解集為，B錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，如圖二，由圖可知，C正確；

當(dāng)時(shí)，如圖三，由圖可知，D正確.故選：ACD

12．（答案不唯一）解析：解：若，則，故符合題意的函數(shù)可以為.故答案為：（答案不唯一，符合即可，其中且，其他滿足條件的函數(shù)亦可）.13．解析：由得：.將與分別平方作和得：，又

或當(dāng)時(shí)，，，，，不合題意，.故答案為：.14．解析：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得，故答案為?5．（I）（II）解析：(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，從而sinx＝，所以x＝.(2)sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，當(dāng)x∈時(shí)，－≤2x－≤π，∴當(dāng)2x－＝時(shí)，即x＝時(shí)，sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.16．(1)2(2)1或解析：（1）由正弦定理得：

,，

,，因?yàn)锳，C是三角形內(nèi)角，，所以，而由正弦定理得，∴，即；（2）由第一問可知，b=2a，設(shè)AB邊上的高為h，則三角形ABC的面積，作下圖：

過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為D，則CD=h，設(shè)AD=x

，則由勾股定理得到下列方程組：，解得，由公式法得，，a=1；17．鐵絲應(yīng)截成段等長的鐵絲，正四棱柱模型的容積最大.解析：解：設(shè)正四棱柱的底面邊長為，則該正四棱柱的高為，由，可得，則該正四棱柱的體積為，其中，所以，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，且，故當(dāng)鐵絲應(yīng)截成段等長的鐵絲，正四棱柱模型的容積最大.18．(1)(2)證明見解析解析：（1）因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）證明：要證，即證，即證，即證．令，則．由，可得，（舍去）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．所以，所以，結(jié)論得證．另解：證明：因?yàn)?，所以要證，即證，即證．設(shè)，則．令，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，故存在唯一的，使得，即，即，等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，即．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．所以，即，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，