上海市上海中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

上海中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)期中2024.11一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1.若集合,則.

2.已知全集,集合.若,則實數(shù)的取值范圍是.

3.已知冪函數(shù)的圖像過點,則的定義域為.

4.若函數(shù)是偶函數(shù),則.

5.已知,則的最小值為.

6.已知函數(shù):則不等式的解集為.

7.設(shè)都是正實數(shù),則""是""的條件.

8.已知函數(shù)在上是減函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是.

9.已知當時,不等式恒成立,則的取值范圍為.

10.已知函數(shù),當時，,若在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是.

11.設(shè)均為實數(shù),關(guān)于的方程在區(qū)間上有解,則的取值范圍是.12.設(shè),記,則它的最大值和最小值的差為.

二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題4分，第15-16題5分）

13.若,則下列不等式恒成立的是（）.

A.B.C.D.

14.已知函數(shù)是上的嚴格增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是（）.

A.B.C.D.

15.若是方程的兩相異實根,則有（）.

A.B.C.D.

16.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足,給出兩個命題:

（1）對任意,都有;

（2）若的值域為,則對任意都有.則下列判斷正確的是（）.

A.(1)(2)都是假命題B.(1)(2)都是真命題

C.(1)是假命題,(2)是真命題D.(1)是真命題，(2)是假命題

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.(本題滿分14分)已知三個集合:,.

（1）求;

（2）已知,求實數(shù)的取值范圍.

18.(本題滿分14分)記函數(shù)的定義域為的定義域為.

（1）求集合;

（2）若,求的取值范圍.

19.（本題滿分14分）某個體戶計劃經(jīng)銷兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，當投資額為萬元時，在經(jīng)銷商品中所獲得的收益分別為萬元與萬元，其中.已知投資額為零時,收益為零.

（1）試求出的值;

（2）如果該個體戶準備投入5萬元經(jīng)營這兩種商品，請你幫他制定一個資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收入的最大值.（精確到0.1萬元）

20.(本題滿分18分)已知函數(shù).

（1）若,求的最大值;

（2）若，求關(guān)于的不等式的解集；

（3）記，對于給定的實數(shù)，若存在滿足，求的取值范圍.

21.（本題滿分18分）若定義在上的函數(shù)和分別存在導(dǎo)函數(shù)和.且對任意均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的"導(dǎo)控函數(shù)".我們將滿足方程的稱為"導(dǎo)控點"

（1）試問函數(shù)是否為函數(shù)的"導(dǎo)控函數(shù)"?

（2）若函數(shù)是函數(shù)的"導(dǎo)控函數(shù)"，且函數(shù)是函數(shù)的"導(dǎo)控函數(shù)",求出所有的"導(dǎo)控點";

（3）若，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的"導(dǎo)控函數(shù)"，求證："的充要條件是"存在常數(shù)使得恒成立。".

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.充分不必要;8.;9.;10.；11.12.11.設(shè)均為實數(shù),關(guān)于的方程在區(qū)間上有解,則的取值范圍是.【答案】【解析】在區(qū)間上有零點,在區(qū)間上有解,在區(qū)間上有解,令,或,即或,

①當時,畫出關(guān)于的約束條件,如圖所示

則表示到可行域內(nèi)點的距離,當此時為最小值,即,

②當時,畫出關(guān)于的約束條件,如圖所示,此時,綜上所述,故答案為:.12.設(shè),記,則它的最大值和最小值的差為.【答案】【解析】解因為當或時等號成立,所以的最大值為1.

令,則下證所以,從而,

當時等號成立,所以的最小值為.二、選擇題13.D14.15.D16.B15.若是方程的兩相異實根,則有（）.

A.B.C.D.

【答案】D【解析】若取,則方程為,解得都錯；由題意可知,,則,由韋達定理可得,

所以與的大小關(guān)系不確定，C錯；所以對.故選：D.16.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足,給出兩個命題:

（1）對任意,都有;

（2）若的值域為,則對任意都有.則下列判斷正確的是（）.

A.(1)(2)都是假命題B.(1)(2)都是真命題

C.(1)是假命題,(2)是真命題D.(1)是真命題，(2)是假命題【答案】B【解析】對于(1),設(shè),在上遞增,

設(shè),遞減,遞增,,故(1)是真命題;

對于(2),由(1)得,單調(diào)遞增,,當時,,任取，由(1)得:對任意的,都有,故(2)是真命題.故選：B.三．解答題17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）A投3萬元，B投2萬元可獲得12.6萬元的最大收益20.(本題滿分18分)已知函數(shù).

（1）若,求的最大值;

（2）若，求關(guān)于的不等式的解集；

（3）記，對于給定的實數(shù)，若存在滿足，求的取值范圍.【答案】（1）（2）若,解集為;若,解集為;若,解集為.（3）【解析】（1）因為,可知的定義域為,此時,

若,則,,可得,

令,則,當且僅當時,等號成立,所以的最大值為.

（2）若,則,對于,即,

令,則,若,則,可得,解得,可得；

若,則,可得,解得,可得且;

若,則,可得,解得或,可得或;

綜上所述:若,解集為;若,解集為;若,解集為.

（3）因為由題意可知:的最小值,

令,則,取,則,即,解得;

若,則,可得因為在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞可知的最小值為或,且,符合題意;

若,則,可得,可知的最小值為0,符合題意;

若,則,可得因為在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,

可知的最小值為或,且,符合題意；

綜上所述:的取值范圍為.21.（本題滿分18分）若定義在上的函數(shù)和分別存在導(dǎo)函數(shù)和.且對任意均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的"導(dǎo)控函數(shù)".我們將滿足方程的稱為"導(dǎo)控點"

（1）試問函數(shù)是否為函數(shù)的"導(dǎo)控函數(shù)"?

（2）若函數(shù)是函數(shù)的"導(dǎo)控函數(shù)"，且函數(shù)是函數(shù)的"導(dǎo)控函數(shù)",求出所有的"導(dǎo)控點";

（3）若，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的"導(dǎo)控函數(shù)"，求證："的充要條件是"存在常數(shù)使得恒成立。".【答案】（1）是（2）2（3）見解析【解析】（1）因為,所以函數(shù)是函數(shù)的"導(dǎo)控函數(shù)"；

（2）由題意可知:恒成立,令,則,