2024學(xué)年?？谑懈叨?shù)學(xué)上學(xué)期11月期中考試卷附答案解析

學(xué)年?？谑懈叨?shù)學(xué)上學(xué)期11月期中考試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A. B.3 C.4 D.53.有一組樣本數(shù)據(jù)、、、，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)、、、，其，為非零常數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）①兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同②兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同③兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同④兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同A.③④ B.②③ C.②④ D.①③4.如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（）A. B. C. D.5.已知向量、滿足，，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.6.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知的面積為，則的值為（）A. B. C.2 D.47.在四面體中，，，，若點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.8.先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為，則下列事件發(fā)生的可能性最小的是（）A. B.C. D.方程有實(shí)數(shù)解二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）A.兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B.兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則C.直線的方向向量，平面的法向量是，則D.直線的方向向量，平面的法向量是，則10.對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，記事件為“兩次都擊中飛機(jī)”，事件為“兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)”，事件為“恰有一次擊中飛機(jī)”，事件為“至少有一次擊中飛機(jī)”，則（）A. B. C. D.11.如圖，是棱長(zhǎng)為的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.當(dāng)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變B.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C.當(dāng)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得直線與平面所成的角為的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.若是棱的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，的最小值是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線過(guò)定點(diǎn)______；13.已知事件A和B互斥，且，，則______.14.如圖所示的平行六面體中，已知，，，為上一點(diǎn)，且．若，則的值為_(kāi)_；若為棱的中點(diǎn)，平面，則的值為_(kāi)_．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），試求：（1）邊AC所在直線的方程；（2）BC邊上的中線AD所在直線的方程；（3）BC邊上的高AE所在直線的方程.16.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，平面，、分別為棱、的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.17.在中，、、分別為、、所對(duì)邊，滿足：且；（1）求；（2）若，求邊上的高.18.已知某著名高校今年綜合評(píng)價(jià)招生分兩步進(jìn)行：第一步是材料初審，若材料初審不合格，則不能進(jìn)入第二步面試；若材料初審合格，則進(jìn)入第二步面試．只有面試合格者，才能獲得該高校綜合評(píng)價(jià)的錄取資格，且材料初審與面試之間相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲、乙、丙三名考生報(bào)名參加該高校的綜合評(píng)價(jià)，假設(shè)甲、乙，丙三名考生材料初審合格的概率分別是，，，面試合格的概率分別是，，．（1）求甲考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率；（2）求甲、乙兩位考生中有且只有一位考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率；（3）求三人中至少有一人獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率．19.如下圖，在中，，，D是AC中點(diǎn)，E、F分別是BA、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且；將沿EF折起，將點(diǎn)B折至點(diǎn)P的位置，得到四棱錐；（1）求證：；（2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；（3）當(dāng)時(shí)，求直線PE與平面ABC所成角正弦值的取值范圍．2024學(xué)年?？谑懈叨?shù)學(xué)上學(xué)期11月期中考試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出給定直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.直線的斜率，則該直線的傾斜角為.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A. B.3 C.4 D.5【答案】D【分析】由題意可知：，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念以及乘法運(yùn)算求解.由題意可知：，所以.故選：D.3.有一組樣本數(shù)據(jù)、、、，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)、、、，其，為非零常數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）①兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同②兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同③兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同④兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同A.③④ B.②③ C.②④ D.①③【答案】A【分析】利用平均數(shù)公式可判斷①；利用中位數(shù)的定義可判斷②；利用標(biāo)準(zhǔn)差公式可判斷③；利用極差的定義可判斷④.對(duì)于①，設(shè)數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則，故①錯(cuò)；對(duì)于②，設(shè)數(shù)據(jù)、、、中位數(shù)為，數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，不妨設(shè)，則，若奇數(shù)，則，；若為偶數(shù)，則，.，故②錯(cuò)；對(duì)于③，設(shè)數(shù)據(jù)、、、的標(biāo)準(zhǔn)差為，數(shù)據(jù)、、、的標(biāo)準(zhǔn)差為，，故③對(duì)；對(duì)于④，不妨設(shè)，則，則數(shù)據(jù)、、、的極差為，數(shù)據(jù)、、、的極差為，故④對(duì).故選：A.4.如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量夾角的余弦公式求解即可．分別以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，所以設(shè)向量與的夾角為，則，所以直線和夾角的余弦值為，故選：C．5.已知向量、滿足，，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求出的值，再利用投影向量的定義可求得在上的投影向量.因?yàn)橄蛄?、滿足，，，則，可得，所以，在上的投影向量為.故選：D.6.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知的面積為，則的值為（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】利用三角形的面積公式和余弦定理即可求解.因?yàn)榈拿娣e為，所以，又∵，∴，則，故選:D.7.在四面體中，，，，若點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以射線，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求距離.由題意知，在四面體中，，，兩兩互相垂直，如圖，以為原點(diǎn)，以射線，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.∵，，，，∴A1,0,0，，，，，∴，，，，∴點(diǎn)到直線的距離.故選：D8.先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為，則下列事件發(fā)生的可能性最小的是（）A. B.C. D.方程有實(shí)數(shù)解【答案】A【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求出各選項(xiàng)中事件的概率，即可得出合適的選項(xiàng).樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)，以表示樣本空間中的一個(gè)樣本點(diǎn)，對(duì)于A選項(xiàng)，記事件“”，則，所以；對(duì)于B選項(xiàng)，記事件“”，則，所以；對(duì)于C選項(xiàng)，記事件“”，則，所以，；對(duì)于D選項(xiàng)，記事件“方程有實(shí)數(shù)解”，則，則，所以，.所以A選項(xiàng)中的事件發(fā)生的概率最小.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）A.兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B.兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則C.直線的方向向量，平面的法向量是，則D.直線的方向向量，平面的法向量是，則【答案】AB【分析】運(yùn)用空間線線平行，線面平行，線面垂直，面面垂直的向量證明方法,結(jié)合向量平行垂直的坐標(biāo)結(jié)論，逐個(gè)判斷即可.兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則，所以，A正確；兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則，所以，B正確；直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以或，C錯(cuò)誤；直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，D錯(cuò)誤．故選：AB10.對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，記事件為“兩次都擊中飛機(jī)”，事件為“兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)”，事件為“恰有一次擊中飛機(jī)”，事件為“至少有一次擊中飛機(jī)”，則（）A. B. C. D.【答案】ABC【分析】利用隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算直接判斷選項(xiàng)即可.對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，其樣本點(diǎn)有：“兩次都擊中飛機(jī)”，“兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)”，和“恰有一次擊中飛機(jī)”，所以，AC正確；事件和事件交集為，且，B正確，D錯(cuò).故選：ABC11.如圖，是棱長(zhǎng)為的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.當(dāng)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變B.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C.當(dāng)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得直線與平面所成的角為的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.若是棱的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，的最小值是【答案】AC【分析】A選項(xiàng)，考慮底面積和高均未變，所以體積不變；B選項(xiàng)，找到異面直線所成角即可判斷；C選項(xiàng)，找到的軌跡，計(jì)算即可；D選項(xiàng)，找到的軌跡，計(jì)算即可.對(duì)于A選項(xiàng)，底面正方形的面積不變，P到平面的距離為正方體棱長(zhǎng)，故四棱錐的體積不變，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，與所成的角即為與所成的角，當(dāng)在端點(diǎn)、時(shí)，所成的角最小，為，當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，所成的角最大，為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且直線與平面所成的角為，如圖①所示，因?yàn)槠矫嫫矫妫灾本€與平面所成的角為，因?yàn)槠矫妫瑒t與平面所成角為，因?yàn)槠矫?，則，所以，為等腰直角三角形，則，所以點(diǎn)在平面內(nèi)以為圓心、為半徑的圓弧，故的軌跡長(zhǎng)度為，故C正確；分別取、、、、的中點(diǎn)、、、、，由正方體的性質(zhì)可知、、、、、六點(diǎn)共面，且為正六邊形，由中位線定理，，平面，所以平面，同理平面，且，、平面，所以平面平面，所以所在的平面為如圖②所示的正六邊形，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)最小，為，故D錯(cuò)誤．故選：AC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線過(guò)定點(diǎn)______；【答案】2,3【解析】【分析】將直線方程變形為，由可求得直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).將直線方程化為，由可得，因此，直線過(guò)定點(diǎn).故答案為：.13.已知事件A和B互斥，且，，則______.【答案】0.4##【解析】【分析】根據(jù)互斥事件及對(duì)立事件的概率相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.∵事件A和B互斥，∴，又，∴，∴.故答案為：0.4.14.如圖所示的平行六面體中，已知，，，為上一點(diǎn)，且．若，則的值為_(kāi)_；若為棱的中點(diǎn)，平面，則的值為_(kāi)_．【答案】①.②.【分析】①，不妨取，利用，即可得出．②連接，與交于點(diǎn)．連接，交于點(diǎn)，連接．平面，可得．根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得點(diǎn)為的中點(diǎn)．延長(zhǎng)交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．利用平行線的性質(zhì)即可得出．解：①，不妨取，．．②連接，與交于點(diǎn)．連接，交于點(diǎn)，連接．平面，．點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．延長(zhǎng)交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．，．．，．則．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了向量三角形法則、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、線面平行的性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），試求：（1）邊AC所在直線的方程；（2）BC邊上的中線AD所在直線的方程；（3）BC邊上的高AE所在直線的方程.【答案】（1）3x﹣y+9＝0（2）2x﹣3y+6＝0（3）2x﹣y+6＝0【解析】【分析】（1）利用直線方程的兩點(diǎn)式，即可求解；（2）求出BC邊上的中點(diǎn)D坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出直線方程；（3）求出直線斜率，即可得到高的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式，即可求解.（1）∵A（﹣3，0），C（﹣2，3），故邊AC所在直線的方程為：，即3x﹣y+9＝0，（2）BC邊上的中點(diǎn)D（0，2），故BC邊上的中線AD所在直線的方程為，即2x﹣3y+6＝0，（3）BC邊斜率k，故BC邊上的高AE的斜率k＝2，故BC邊上的高AE所在直線的方程為y＝2（x+3），即2x﹣y+6＝0.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程，熟練掌握直線方程的各種形式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.16.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，平面，、分別為棱、的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，可知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，推導(dǎo)出平面，即可求得點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椤⒎謩e為棱、的中點(diǎn)，則，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，所以，，所以，、、、四點(diǎn)共面，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，平面平?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，平面，平面，所以，平面，所以，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)椋?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫矫?，則，所以，，所以，點(diǎn)到平面的距離等于.17.在中，、、分別為、、所對(duì)邊，滿足：且；（1）求；（2）若，求邊上的高.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理化簡(jiǎn)可得出，利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用余弦定理以及三角形的面積公式求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋瑒t，由余弦定理可得，整理可得，即，因?yàn)?，所以，，由余弦定理可得，因?yàn)?，則.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，．由余定理得，即，所以．于是，．設(shè)邊上的高為，則，即，得，即邊上的高為．18.已知某著名高校今年綜合評(píng)價(jià)招生分兩步進(jìn)行：第一步是材料初審，若材料初審不合格，則不能進(jìn)入第二步面試；若材料初審合格，則進(jìn)入第二步面試．只有面試合格者，才能獲得該高校綜合評(píng)價(jià)的錄取資格，且材料初審與面試之間相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲、乙、丙三名考生報(bào)名參加該高校的綜合評(píng)價(jià)，假設(shè)甲、乙，丙三名考生材料初審合格的概率分別是，，，面試合格的概率分別是，，．（1）求甲考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率；（2）求甲、乙兩位考生中有且只有一位考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率；（3）求三人中至少有一人獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】設(shè)事件A、B、C分別為“甲、乙、丙獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格”，根據(jù)獨(dú)立事件概率計(jì)算方法可直接求出、、.由此可得(1)題答案，(2)題概率為，(3)題可先計(jì)算其對(duì)立事件概率從而求解．【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件表示“甲獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格”，則；【小問(wèn)2詳解】設(shè)事件表示“乙獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格”，則，則甲、乙兩位考生有且只有一位考生獲得該高