數(shù)學(xué)學(xué)案：一次函數(shù)和二次函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。2一次函數(shù)和二次函數(shù)1．一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象(1）一次函數(shù)的概念函數(shù)y＝kx＋b（k≠0)叫做一次函數(shù)，又叫做線性函數(shù)；它的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽。一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象是直線，其中k叫做該直線的斜率,b叫做該直線在y軸上的截距．對(duì)一次函數(shù)的概念要注意以下三點(diǎn)：①k≠0.若k＝0，則函數(shù)就成為常數(shù)函數(shù)．②x的最高次項(xiàng)次數(shù)為1。否則,也不是一次函數(shù)．③b為任意常數(shù)．（2)一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）分類k＞0k＜0圖象定義域RR一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0)值域RR單調(diào)性在(－∞，＋∞)上遞增在（－∞，＋∞)上遞減奇偶性b＝0時(shí)為奇函數(shù)，b≠0時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)特殊點(diǎn)與x軸的交點(diǎn)為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(b,k），0)）,與y軸的交點(diǎn)為（0，b）斜率k＝eq\f（Δy，Δx)＝eq\f（y2－y1,x2－x1）（x2≠x1)(3）圖象的畫(huà)法因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，所以畫(huà)一次函數(shù)的圖象時(shí),只要描出兩個(gè)點(diǎn)，再連成直線即可．(4）圖象的特點(diǎn)①正比例函數(shù)y＝kx的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0）的一條直線．②一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象是經(jīng)過(guò)y軸上點(diǎn)（0，b)的一條直線．(5）畫(huà)法技巧①畫(huà)正比例函數(shù)y＝kx的圖象，通常?。?,0),(1，k）兩點(diǎn)，然后連線．②畫(huà)一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象，通常取它與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(0，b)，eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（b，k），0)），然后連線．原因是上述兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,描點(diǎn)較準(zhǔn)確．但由于－eq\f(b，k)多數(shù)情況下是分?jǐn)?shù),故在描點(diǎn)時(shí)，我們也可以取x和y都是整數(shù)的點(diǎn)．談重點(diǎn)對(duì)截距b含義的理解(1）b的取值范圍：b∈R。(2)b的幾何意義：直線y＝kx＋b與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)．(3）點(diǎn)(0，b）是直線y＝kx＋b與y軸的交點(diǎn)．當(dāng)b＞0時(shí)，此交點(diǎn)在y軸的正半軸上；當(dāng)b＜0時(shí)，此交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上；當(dāng)b＝0時(shí)，此交點(diǎn)在原點(diǎn)，此時(shí)的一次函數(shù)就是正比例函數(shù)．（4)截距與距離是兩個(gè)不同的概念．截距可正可負(fù)可以為零，但距離不可能為負(fù)．【例1－1】一次函數(shù)y＝kx－k，若y隨x的增大而增大,則它的圖象過(guò)（)A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D(zhuǎn)．第二、三、四象限解析：由題意知k＞0，所以－k＜0，故y＝kx－k的圖象過(guò)第一、三、四象限．答案：B【例1－2】函數(shù)的解析式為x－2y＋7＝0，則其對(duì)應(yīng)直線的斜率與縱截距分別為（)A．B．1,－7C．1，D．解析：∵x－2y＋7＝0，∴,∴斜率，縱截距,故選A。答案:A【例1－3】在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出一次函數(shù)y＝2x＋1和y＝－2x＋1的圖象．解:列表．x…0－0。5…y…10…x…00。5…y…10…描點(diǎn)(0,1），（－0.5,0)，(0，1），(0。5,0)．連線，即得y＝2x＋1和y＝－2x＋1的圖象，如圖．【例1－4】已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(3,5)和B(－4，－9）兩點(diǎn)，求該一次函數(shù)的解析式．分析：一次函數(shù)的圖象是一條直線，可設(shè)解析式為y＝kx＋b（k≠0)，又因?yàn)槠鋱D象過(guò)A,B兩點(diǎn),所以A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程，由此解出k和b.解:設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx＋b（k≠0)．∵當(dāng)x＝3時(shí),y＝5；當(dāng)x＝－4時(shí),y＝－9，∴①－②，得7k＝14，∴k＝2.把k＝2代入①，得b＝－1?！噙@個(gè)一次函數(shù)的解析式為y＝2x－1。2．二次函數(shù)的定義函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0)叫做二次函數(shù)，它的定義域是R。特別地，當(dāng)b＝c＝0，則函數(shù)變?yōu)閥＝ax2（a≠0）．點(diǎn)技巧學(xué)習(xí)二次函數(shù)的定義應(yīng)注意的兩點(diǎn)（1）對(duì)二次函數(shù)的定義,要特別注意a≠0這個(gè)條件．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c只有在a≠0的條件下才是二次函數(shù),且x的最高次數(shù)是2,b，c可取任意實(shí)數(shù)．(2)任何一個(gè)二次函數(shù)的解析式都可化成y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，因此把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函數(shù)的一般形式．3．二次函數(shù)的圖象變換及參數(shù)a，b，c，h，k對(duì)其圖象的影響（1)函數(shù)y＝x2和y＝ax2（a≠0)的圖象之間的關(guān)系二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象可由y＝x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍得到，參數(shù)a的取值不同，函數(shù)及其圖象也有區(qū)別,a決定了圖象的開(kāi)口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開(kāi)口大小．當(dāng)a＞0時(shí),二次函數(shù)y＝ax2的圖象開(kāi)口向上，當(dāng)a＜0時(shí)，圖象開(kāi)口向下．而且,當(dāng)a＞0時(shí),a的值越大，函數(shù)y＝ax2的圖象開(kāi)口越小，a的值越小，函數(shù)y＝ax2的圖象開(kāi)口越大;當(dāng)a＜0時(shí)，a的值越小,函數(shù)y＝ax2的圖象開(kāi)口越小，a的值越大，函數(shù)y＝ax2圖象開(kāi)口越大．也就是說(shuō),｜a｜越大,拋物線的開(kāi)口越??；反之，｜a｜越小,拋物線的開(kāi)口越大．(2)函數(shù)y＝ax2和y＝a(x＋h）2＋k（a≠0）的圖象之間的關(guān)系函數(shù)y＝a（x＋h)2＋k(a≠0）的圖象可以由函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象向左（h＞0)或向右(h＜0）平移｜h｜個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上（k＞0）或向下（k＜0）平移｜k｜個(gè)單位長(zhǎng)度得到．h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移"；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”．可簡(jiǎn)記為“左加右減，上加下減"．由于只進(jìn)行了圖象的平移變換，所以函數(shù)y＝a(x＋h）2＋k（a≠0）的圖象與函數(shù)y＝ax2(a≠0）的圖象形狀相同，只是位置不同．（3）函數(shù)y＝ax2和y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象之間的關(guān)系二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）通過(guò)配方可以得到其恒等形式y(tǒng)＝a(x＋h)2＋k（a≠0），從而可以知道，由y＝ax2的圖象如何平移就得到y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象．在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0)，即y＝aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（b，2a)）)2＋eq\f(4ac－b2，4a)(a≠0)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定著函數(shù)圖象的開(kāi)口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開(kāi)口大小;b和a共同決定拋物線的對(duì)稱軸的位置，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝－eq\f(b，2a)，它是一條平行于y軸或與y軸重合的直線；a，b，c共同決定拋物線頂點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(b，2a），\f（4ac－b2,4a））)的位置，c的大小決定拋物線y＝ax2＋bx＋c與y軸交點(diǎn)的位置，當(dāng)c＝0時(shí),拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)c＞0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸，當(dāng)c＜0時(shí)，交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸．【例3－1】（1）由y＝－2x2的圖象，如何得到y(tǒng)＝－2(x＋1）2－3的圖象?（2）把y＝2x2的圖象，向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，能得到哪個(gè)函數(shù)的圖象？(3）將函數(shù)y＝4x2＋2x＋1寫(xiě)成y＝a（x＋h）2＋k的形式,并說(shuō)明它的圖象是由y＝4x2的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的？解：(1)把y＝－2x2的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度就得到y(tǒng)＝－2(x＋1)2－3的圖象．（2）把y＝2x2的圖象，向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到函數(shù)y＝2(x－3)2＋4，即y＝2x2－12x＋22的圖象．(3)y＝4x2＋2x＋1＝＝＝＝.把y＝4x2的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，就可得到函數(shù)y＝4x2＋2x＋1的圖象．【例3－2】（1）在同一坐標(biāo)系中作出下列函數(shù)的圖象：①y＝x2；②y＝x2－2;③y＝2x2－4x。（2)分析如何把y＝x2的圖象變換成y＝2x2－4x的圖象．分析：解答本題可就每個(gè)函數(shù)列表、描點(diǎn)連線,作出相應(yīng)圖象，然后利用圖象以及二次函數(shù)的平移變換規(guī)律分析y＝x2與y＝2x2－4x的圖象之間的關(guān)系．解：(1）列表:x…－3－2－10123…y＝x2…9410149…y＝x2－2…72－1－2－127…y＝2x2－4x…301660－206…描點(diǎn)、連線即得相應(yīng)函數(shù)的圖象，如圖所示．(2)y＝2x2－4x＝2（x2－2x）＝2(x2－2x＋1－1）＝2（x－1）2－2。由y＝x2到y(tǒng)＝2x2－4x的變化過(guò)程如下．方法一:先把y＝x2的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到y(tǒng)＝2x2的圖象，然后把y＝2x2的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝2x2－2的圖象，最后把y＝2x2－2的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝2(x－1）2－2，即y＝2x2－4x的圖象．方法二：先把y＝x2的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝（x－1）2的圖象，然后把y＝（x－1)2的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到y(tǒng)＝2(x－1)2的圖象,最后把y＝2（x－1)2的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度便可得到y(tǒng)＝2（x－1)2－2，即y＝2x2－4x的圖象．析規(guī)律二次函數(shù)圖象的變換規(guī)律所有二次函數(shù)的圖象均可以由函數(shù)y＝x2的圖象經(jīng)過(guò)變換得到,變換前，先將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式,再確定變換的步驟．常用的變換步驟如下:y＝x2eq\o(→,\s\up7(橫坐標(biāo)不變)，\s\do5（縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍)）y＝ax2eq\o（→，\s\up7(k>0，上移k個(gè)單位長(zhǎng)度），\s\do5(k〈0，下移|k｜個(gè)單位長(zhǎng)度））y＝ax2＋keq\o(→,\s\up7（h〉0，左移h個(gè)單位長(zhǎng)度),\s\do5（h<0,右移｜h｜個(gè)單位長(zhǎng)度)）y＝a(x＋h）2＋k，其中a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小(或縱坐標(biāo)的拉伸)；h決定左、右平移,k決定上、下平移．【例3－3】已知二次函數(shù)f(x）＝ax2＋bx＋c與函數(shù)y＝－2x2＋3x有相同的開(kāi)口方向和大小,與函數(shù)y＝x2－x＋1有相同的對(duì)稱軸，與函數(shù)y＝4x2－x－1在y軸上有相同的交點(diǎn)．(1)求f(x)．（2)由y＝x2的圖象能得到f（x）的圖象嗎？分析：(1）根據(jù)a，b，c對(duì)f（x)的圖象影響，由y＝－2x2＋3x確定a，由y＝x2－x＋1確定b，由y＝4x2－x－1確定c；(2）由y＝x2的圖象得f(x)的圖象要分步驟：y＝x2→y＝ax2→y＝a(x＋h)2→y＝a（x＋h)2＋k，因此先將f（x）的解析式化為f(x)＝a(x＋h）2＋k的形式．解：(1）∵f（x）與y＝－2x2＋3x有相同的開(kāi)口方向和大小,∴a＝－2.∵f（x）與函數(shù)y＝x2－x＋1有相同的對(duì)稱軸,∴。又∵a＝－2，∴b＝1?！遞(x)與函數(shù)y＝4x2－x－1在y軸上有相同的交點(diǎn)（0,－1)，∴c＝－1。∴f（x)＝－2x2＋x－1.（2）f(x)＝。將函數(shù)y＝x2圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的－2倍得到函數(shù)y＝－2x2的圖象；將函數(shù)y＝－2x2的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，即函數(shù)y＝－2x2＋x－1的圖象．析規(guī)律二次函數(shù)的圖象變換應(yīng)先配方解決本題的關(guān)鍵是明確a，b，c對(duì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0）圖象的影響以及利用配方法將y＝ax2＋bx＋c化為y＝a(x＋h)2＋k的形式,這是一項(xiàng)基本要求，往往由于配方過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤導(dǎo)致后面解答全部錯(cuò)誤．4．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c可以通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f(b，2a）))2＋eq\f（4ac－b2，4a），結(jié)合圖象觀察得到其主要性質(zhì),如下表:函數(shù)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）圖象a＞0a＜0函數(shù)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0）性質(zhì)（1)拋物線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸（1)拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸（2)對(duì)稱軸是直線x＝－eq\f（b，2a）,頂點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(b，2a）,\f(4ac－b2,4a）））（2)對(duì)稱軸是直線x＝－eq\f(b，2a)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（b，2a）,\f(4ac－b2，4a））)(3）在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(－∞，－\f（b,2a)）)上是減函數(shù)，在區(qū)間eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（b,2a),＋∞））上是增函數(shù)(3)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(－∞，－\f（b,2a））)上是增函數(shù)，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(b，2a)，＋∞）)上是減函數(shù)(4）拋物線有最低點(diǎn),當(dāng)x＝－eq\f（b，2a）時(shí)，y有最小值，ymin＝eq\f(4ac－b2，4a)（4)拋物線有最高點(diǎn),當(dāng)x＝－eq\f(b，2a)時(shí)，y有最大值，ymax＝eq\f(4ac－b2,4a)由上表可以看出,函數(shù)的性質(zhì)就是函數(shù)圖象特征的具體描述，因此可借助于圖象特征來(lái)理解記憶二次函數(shù)的主要性質(zhì)．以上大部分性質(zhì)在初中都已了解，新增加的是單調(diào)區(qū)間，所以,教科書(shū)首先通過(guò)圖象觀察得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用單調(diào)性的定義進(jìn)行了嚴(yán)格的證明，用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟在前面已經(jīng)學(xué)過(guò)．【例4－1】分別指出下列二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸方程，寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最大值或最小值:(1）y＝x2－4x＋9；(2）y＝－2x2＋4x－3.分析：首先將所給的二次函數(shù)解析式配方化成頂點(diǎn)式，然后利用圖象研究其性質(zhì)．解：（1）y＝x2－4x＋9＝(x－2）2＋5，由于x2的系數(shù)是正數(shù)，所以函數(shù)圖象開(kāi)口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5)；對(duì)稱軸方程為x＝2;函數(shù)在區(qū)間（－∞，2］上是減函數(shù)，在區(qū)間［2，＋∞)上是增函數(shù)；函數(shù)有最小值，沒(méi)有最大值，函數(shù)的最小值是5。（2)y＝－2x2＋4x－3＝－2(x－1)2－1,由于x2的系數(shù)是負(fù)數(shù)，所以函數(shù)圖象開(kāi)口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－1);對(duì)稱軸方程為x＝1;函數(shù)在區(qū)間（－∞，1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，＋∞）上是減函數(shù)；函數(shù)有最大值，沒(méi)有最小值，函數(shù)的最大值是－1。談重點(diǎn)配方法的重要作用配方法是研究二次函數(shù)最值及對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)等的基本方法，在探究出二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0)的對(duì)稱軸以后,其圖象的對(duì)稱性及其單調(diào)性可直觀的反應(yīng)在大腦中，解題中應(yīng)注意多總結(jié)這些性質(zhì),以便拓展自己的思維空間．【例4－2】拋物線y＝8x2－(m＋1)x＋m－7的頂點(diǎn)在x軸上，則m＝________。解析：因?yàn)閽佄锞€y＝8x2－（m＋1)x＋m－7的頂點(diǎn)在x軸上,所以其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),即m2－30m＋225＝0，所以(m－15）2＝0，所以m＝15.答案：15點(diǎn)技巧牢記二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（b,2a)，\f（4ac－b2,4a))），當(dāng)頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，其縱坐標(biāo)eq\f（4ac－b2,4a）＝0；當(dāng)頂點(diǎn)在y軸上時(shí)，其橫坐標(biāo)－eq\f（b，2a)＝0.【例4－3】若函數(shù)y＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4］上是減函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(－∞，－3］B．［－3，＋∞)C．（－∞，5]D．[5,＋∞)解析：易知函數(shù)y＝x2＋2(a－1）x＋2是二次函數(shù)，其圖象的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線x＝1－a,此函數(shù)在區(qū)間(－∞，1－a］上是減函數(shù)，若函數(shù)在(－∞，4］上是減函數(shù),則1－a≥4，所以a≤－3.答案：A5．二次函數(shù)解析式的求法求二次函數(shù)的解析式,應(yīng)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地運(yùn)用解析式的形式,選取最佳方案，用待定系數(shù)法求之．(1）當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)所求二次函數(shù)為一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a,b,c為常數(shù)，a≠0)，然后列出三元一次方程組求解．(2)當(dāng)已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大（?。┲担瑒t設(shè)所求二次函數(shù)為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x＋h）2＋k(其頂點(diǎn)是（－h(huán),k），a≠0)．(3）當(dāng)已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,0),（x2，0），則設(shè)所求二次函數(shù)為交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x－x1)（x－x2)（a≠0)．【例5－1】如圖，坐標(biāo)系中拋物線是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，則下列式子能成立的是（）A．a(chǎn)bc＞0B．b＜a＋cC．a(chǎn)＋b＋c＜0D．2c＜3b解析：圖中出現(xiàn)的點(diǎn)(1,0）和（－1，0)要注意觀察．A中,∵拋物線開(kāi)口向下,∴a＜0.∵拋物線與y軸的交點(diǎn)（0，c）在x軸上方，∴c＞0.又∵，∴b＞0.∴abc＜0。因此A是錯(cuò)誤的．B中，∵當(dāng)x＝－1時(shí)，y＜0(拋物線上橫坐標(biāo)為－1的點(diǎn)在x軸下方)，∴a－b＋c＜0（把x＝－1代入函數(shù)得y＝a（－1）2＋b（－1）＋c＝a－b＋c），∴b＞a＋c.因此B是錯(cuò)誤的．C中，∵拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)在x軸上方，即y＞0，又∵當(dāng)x＝1時(shí),函數(shù)y＝a·12＋b·1＋c＝a＋b＋c，∴a＋b＋c＞0。因此C是錯(cuò)誤的．D中，由上得b＞a＋c.又∵，∴.∴2c＜3b.因此D正確．答案：D【例5－2】已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,－3)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,0)，求這個(gè)函數(shù)的解析式．分析:本題已知圖象上兩點(diǎn)的坐標(biāo)（1，－3）和（2，0),若不考慮已知點(diǎn)的特點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)的一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c（a≠0）似乎差一個(gè)條件，但注意到點(diǎn)（1,－3）是拋物線的頂點(diǎn)，再利用對(duì)稱軸方程，就可以列出關(guān)于a,b，c的三元一次方程組,從而得解；根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，－3)，也可設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－1)2－3(a≠0),只需將點(diǎn)P(2,0)的坐標(biāo)代入，即可求出a；若看到P(2，0)點(diǎn)是圖象與x軸的交點(diǎn)，利用對(duì)稱性即可求出圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)的交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x－x1）(x－x2）也能求解．解：(方法1)設(shè)所求函數(shù)的解析式為y＝ax2＋bx＋c（a≠0)，由題意,得解得∴所求函數(shù)的解析式為y＝3x2－6x。（方法2)設(shè)所求函數(shù)的解析式為y＝a(x－1)2－3（a≠0)，由圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2,0)，得a(2－1）2－3＝0,解得a＝3?！嗨蠛瘮?shù)的解析式為y＝3（x－1)2－3，即y＝3x2－6x.(方法3)∵二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－3）,∴其對(duì)稱軸為直線x＝1.又∵圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,0)，∴由對(duì)稱性可知，圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)．∴可設(shè)所求函數(shù)的解析式為y＝a(x－0）(x－2）（a≠0）．∵圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，－3)，∴a（1－0)（1－2)＝－3,解得a＝3。∴所求函數(shù)的解析式為y＝3x(x－2)，即y＝3x2－6x。析規(guī)律由二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)求解析式若二次函數(shù)y＝f（x)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0）和(x2，0)，則其對(duì)稱軸方程為x＝eq\f(x1＋x2,2）,由此可以看出，已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸及其與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)．6．二次函數(shù)圖象的草圖畫(huà)法畫(huà)二次函數(shù)的圖象時(shí)，重點(diǎn)體現(xiàn)拋物線的特征“三點(diǎn)一線一開(kāi)口"．“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn),另兩個(gè)點(diǎn)是拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線"是指對(duì)稱軸這條直線；“一開(kāi)口"是指拋物線的開(kāi)口方向．根據(jù)這些特征，在坐標(biāo)系中可快速畫(huà)出拋物線的草圖，使畫(huà)圖的操作更簡(jiǎn)便，使圖象更精確．【例6】畫(huà)出函數(shù)y＝2x2－4x－6的草圖．解：y＝2x2－4x－6＝2（x2－2x）－6＝2(x2－2x＋1－1)－6＝2［（x－1）2－1]－6＝2（x－1)2－8.函數(shù)圖象的開(kāi)口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－8)，對(duì)稱軸為直線x＝1。令y＝0，得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0,解得x＝－1或x＝3，故函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)，(3,0）．畫(huà)法步驟：①描點(diǎn)畫(huà)線：在平面直角坐標(biāo)系中，描出點(diǎn)（1，－8）,（－1，0），(3，0)，畫(huà)出直線x＝1；②連線：用光滑的曲線連點(diǎn)(1,－8），（－1,0），（3，0）,在連線的過(guò)程中,要保持關(guān)于直線x＝1對(duì)稱,即得函數(shù)y＝2x2－4x－6的草圖，如圖所示．7．待定系數(shù)法一般地，在求一個(gè)函數(shù)時(shí)，如果知道這個(gè)函數(shù)的一般形式，可先把所求函數(shù)寫(xiě)為一般形式,其中系數(shù)待定，然后再根據(jù)題設(shè)條件求出這些待定系數(shù)，這種通過(guò)求待定系數(shù)來(lái)確定變量之間關(guān)系式的方法叫做待定系數(shù)法．待定系數(shù)法求解析式的基本步驟如下：(1）設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式；（2)根據(jù)恒等條件，列出含待定系數(shù)的方程或方程組；(3)解方程或方程組求出待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決．【例7】若f（x)為一次函數(shù)，且滿足f［f(x)］＝1＋2x，則f(x)的解析式為_(kāi)_______．解析：已知f（x)為一次函數(shù)，可以使用待定系數(shù)法．設(shè)f(x）＝kx＋b(k≠0），則f［f(x)］＝f（kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可求得，或，.答案：或8．給定區(qū)間上二次函數(shù)的最值或值域的求法求二次函數(shù)的最值或值域，基本的方法是配方法，當(dāng)限定在某個(gè)閉區(qū)間上時(shí)，關(guān)鍵是確定函數(shù)圖象的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置，結(jié)合函數(shù)圖象確定該函數(shù)的單調(diào)性、最大值或最小值是在端點(diǎn)處取得還是在頂點(diǎn)處取得．一般地，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c（a＞0)在閉區(qū)間[p,q］上的最值有下列四種情況：（1)當(dāng)－eq\f(b，2a)＜p,即對(duì)稱軸在區(qū)間[p，q］的左邊時(shí)，畫(huà)出草圖如圖①，從圖象上易得f（x）在[p，q]上是增函數(shù)，則f(x）min＝f（p)，f（x）max＝f（q)．(2）當(dāng)p≤－eq\f(b，2a)≤eq\f（p＋q,2），即對(duì)稱軸在區(qū)間[p,q］的左端點(diǎn)與區(qū)間中點(diǎn)之間時(shí),畫(huà)出草圖如圖②。從圖象上易得f（x)在[p，q］上的最值情況是f(x)min＝feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(b,2a）))＝eq\f（4ac－b2，4a），f（x）max＝f（q）．(3)當(dāng)eq\f（p＋q，2）＜－eq\f(b，2a）≤q，即對(duì)稱軸在區(qū)間［p，q］的中點(diǎn)與右端點(diǎn)之間時(shí)，畫(huà)出草圖如圖③。從圖象上易得f（x)在［p，q]上的最值情況是f（x)min＝feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（b,2a）))＝eq\f(4ac－b2，4a)，f（x）max＝f（p)．（4）當(dāng)－eq\f（b，2a)＞q,即對(duì)稱軸在區(qū)間[p，q]的右邊時(shí),畫(huà)出草圖如圖④.從圖象上易得f(x)在[p，q］上是減函數(shù)，則f(x）min＝f（q)，f（x)max＝f(p）．【例8】已知函數(shù)f（x)＝x2＋2ax＋2，x∈［－5,5]．(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f（x)的最大值和最小值；（2)用a表示出函數(shù)在[－5,5］上的最值；(3）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f（x)在［－5，5］上是單調(diào)函數(shù)．分析：f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a）2＋2－a2。（1）當(dāng)a＝－1時(shí)，由于對(duì)稱軸x＝1在區(qū)間[－5,5］內(nèi),則由圖象知函數(shù)f(x）的最大值是f（－5),最小值是f(1）；（2）中對(duì)稱軸x＝－a，要根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間[－5，5]的相對(duì)位置來(lái)討論最值，因此要對(duì)對(duì)稱軸的位置分類討論；（3)切入點(diǎn)是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合圖象可知對(duì)稱軸不能在區(qū)間［－5，5]內(nèi)部，因此也要討論對(duì)稱軸的位置．解:(1）當(dāng)a＝－1時(shí)，f（x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5］,當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）取得最小值，即f(x）min＝f（1)＝1。當(dāng)x＝－5時(shí)，f（x)取得最大值，即f(x)max＝f（－5)＝（－5－1）2＋1＝37。所以函數(shù)f（x）的最大值為37，最小值為1.（2)函數(shù)y＝f（x)＝（x＋a）2＋2－a2圖象的對(duì)稱軸為x＝－a.當(dāng)－a≤－5，即a≥5時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[－5,5］上是增函數(shù)，所以f（x)max＝f（5)＝27＋10a,f（x)min＝f（－5)＝27－10a；當(dāng)－5＜－a≤0，即0≤a＜5時(shí)，f(x）max＝f（5）＝27＋10a,f(x)min＝f（－a）＝2－a2；當(dāng)0＜－a≤5，即－5≤a＜0時(shí)，f（x)max＝f(－5）＝27－10a，f（x)min＝f（－a)＝2－a2；當(dāng)－a＞5，即a＜－5時(shí),函數(shù)在區(qū)間［－5,5]上是減函數(shù),所以f（x）min＝f(5)＝27＋10a，f(x）max＝f（－5)＝27－10a.故當(dāng)a≥5時(shí)，f（x)max＝27＋10a，f(x）min＝27－10a；當(dāng)0≤a＜5時(shí)，f（x）max＝27＋10a，f(x)min＝2－a2；當(dāng)－5≤a＜0時(shí)，f(x)max＝27－10a，f(x)min＝2－a2；當(dāng)a＜－5時(shí)，f（x）max＝27－10a，f(x)min＝27＋10a.（3)由(2）可知若函數(shù)f（x）在區(qū)間[－5,5］上是單調(diào)函數(shù)，則有a≤－5或a≥5.釋疑點(diǎn)如何在給定區(qū)間求二次函數(shù)的最值或值域當(dāng)函數(shù)的解析式中含有參數(shù)或給定的區(qū)間不固定時(shí),求二次函數(shù)在此區(qū)間上的最值,應(yīng)按開(kāi)口方向或?qū)ΨQ軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置進(jìn)行正確合理的討論,一要考慮二次函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間的某側(cè)還是在區(qū)間內(nèi),從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)部時(shí)，還要考慮區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)與對(duì)稱軸的距離的遠(yuǎn)近，當(dāng)開(kāi)口向上時(shí)，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越??；反之,當(dāng)開(kāi)口向下時(shí)，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn),函數(shù)值越小，離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越大．9．一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系是方程與函數(shù)關(guān)系的特例，是研究函數(shù)與方程關(guān)系的典范．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值為0時(shí)的自變量x的值，從圖象上看，就是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．當(dāng)一元二次方程的判別式Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),其解析式又可寫(xiě)成兩根式的形式：y＝a(x－x1)·(x－x2)，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離｜x2－x1｜＝eq\r（（x2－x1）2)＝eq\r（（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(b，a))）2－\f(4c,a））＝eq\f（\r（b2－4ac），|a｜）。當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,此時(shí)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,此時(shí)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．當(dāng)a＞0時(shí),它們之間的關(guān)系如下圖所示：Δ＞0