數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)案：平面向量共線的坐標(biāo)表示

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1。向量共線條件的坐標(biāo)表示【例1】平面內(nèi)給定三個向量a=（3,2），b=（—1，2）,c=(4,1),若(a+kc）∥（2b-a）。求實(shí)數(shù)k的值.a+kc與2b-a是同向還是反向？思路分析:將a、b、c的坐標(biāo)代入a+kc和2b-a并分別求出其坐標(biāo)，利用兩向量共線的條件即可求得k值.a+kc與2b—a是同向還是反向可表示為a+kc=λ(2b—a），依據(jù)λ的正負(fù)判斷。解：∵（a+kc）∥（2b—a），又a+kc=(3,2)+k（4，1)=（3，2）+（4k，k)=（3+4k,2+k），2b—a=2(-1,2)-(3，2)=（—2,4）-(3，2)=（—5,2），∴2×(3+4k)—（-5）（2+k）=0。∴k=。此時a+kc=(3，2）+(）(4,1)=（，)，2b—a=2(—1，2)-(3，2)=(5，2），∴a+kc=(2b-a)?！撸?,∴a+kc與2b—a反向.溫馨提示兩向量共線的條件有兩種形式，在解題時應(yīng)根據(jù)情況適當(dāng)選用。2。向量共線條件的應(yīng)用【例2】如果向量=i-2j,=i+mj，其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量,試確定實(shí)數(shù)m的值使A、B、C三點(diǎn)共線.思路分析：根據(jù)向量共線的條件，解關(guān)于m的方程即可.解法1：∵A、B、C三點(diǎn)共線，即、共線，∴存在實(shí)數(shù)λ使得=λ，即i—2j=λ（i+mj）.∴∴m=-2，即m=—2時，A、B、C三點(diǎn)共線。解法2：依題意知i=(1,0)，j=（0，1)，則=（1，0）-2（0，1）=（1，-2），=(1，0）+m（0，1）=（1,m)而,共線，∴1×m+2=0。故當(dāng)m=-2時，A、B、C三點(diǎn)共線.溫馨提示證明三點(diǎn)共線，只需構(gòu)造兩向量，證明它們共線即可.3。向量共線條件的綜合運(yùn)用【例3】已知兩點(diǎn)A（3,—4），B（-9，2），在直線AB上求一點(diǎn)P,使||=|｜。思路分析：由||=|｜是線段長度之間的比例關(guān)系,又由于P在AB上所以可得=或=—.解：∵P在AB上且||=｜｜可得=或=—。設(shè)P（x，y），若=，則（x-3,y+4)=(—9-3，2+4)=(—4，2)，∴∴P(-1，—2）.若=-,則（x-3,y+4)=—（—9—3，2+4）=（4,—2），∴∴P（7,-6）.各個擊破類題演練1若a=（1，2），b=（-3,2),當(dāng)k為何值時，ka+b與a—3b平行?平行時是同向還是反向?解:ka+b=（k—3，2k+2),a—3b=（10,—4)，∵a-3b與ka+b平行,∴（k—3）×(-4)—10(2k+2)=0。解得k=-.此時ka+b=(—-3,—+2)=—(a-3b），∴當(dāng)k=-時，ka+b與a-3b平行,并且反向。變式提升1若向量a=（x，1）,b=（4，x),則當(dāng)x=_____________時，a與b共線且方向相同。解析：∵a∥b，∴x·x-4=0.∴x=±2.當(dāng)x=2時，a,b方向相同,當(dāng)x=-2時，a、b方向相反。答案:2類題演練2向量=（k，12），=（4，5)，=（10，k）當(dāng)k為何值時，A、B、C三點(diǎn)共線？解法1:∵=—=（4，5）—（k，12）=（4—k,—7),=—=(10,k）-（4,5）=(6,k-5）.∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴=λ,即(4—k,-7）=λ（6，k-5)=（6λ,（k-5）λ）。∴解可得k=11,或k=-2.解法2：接法1，∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴（4-k）(k—5)=6×(—7）,解得k=11,或k=—2。變式提升2已知A（—2，—3）、B（2,1）、C（1，4)、D（—7,-4），試問：與是否共線?解：=（2,1）—（—2，-3)=（4，4），=（—7，—4）—（1，4）=(—8,—8).所以=—2，所以與共線。類題演練3如右圖,已知A（—1，2），B（3,4）連結(jié)A、B并延長至P,使|｜=3｜｜，求P點(diǎn)坐標(biāo)。解：設(shè)P（x,y），由題意=3，代入坐標(biāo)得（x+1,y-2）=3(x—3，y—4），∴∴P(5,5）。變式提升3已知點(diǎn)A（4，0)，B（5，5），C（2，6）。求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：設(shè)=λ=λ（5,5）=（5λ，5λ)，則=（5λ-4