控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差

穩(wěn)定性過渡過程性能(動態(tài)性能)

準確性第1頁/共73頁h(t)t時間tr上升峰值時間tpAB超調量σ%=AB100%調節(jié)時間ts第2頁/共73頁主要內容誤差的基本概念-偏差與誤差穩(wěn)態(tài)誤差系數動態(tài)誤差系數提高穩(wěn)態(tài)精度的措施第3頁/共73頁一階系統(tǒng)單位階躍響應誤差第4頁/共73頁一階系統(tǒng)單位階躍響應誤差第5頁/共73頁一階系統(tǒng)加速度響應誤差第6頁/共73頁R(s)-B(s)E(s)N(s)+C(s)圖1典型反饋系統(tǒng)結構圖1/H(s)-e’(t)C(t)r(t)b(t)e(t)系統(tǒng)的誤差e(t)的基本定義為輸出量的希望值與實際值之差

一、穩(wěn)態(tài)誤差的概念典型系統(tǒng)結構如圖所示第7頁/共73頁其誤差定義有兩種形式：（1）輸入端定義法：其中：r(t)為給定輸入，b(t)為系統(tǒng)反饋信號。通常將e(t)稱為系統(tǒng)的偏差信號。其中：Cr(t)為系統(tǒng)輸出量的希望值，C(t)為實際輸出值。（2）輸出端定義法：第8頁/共73頁希望值情況下偏差信號：對于擾動信號N(s)而言,希望的情況就是擾動信號引起的輸出為0（R=0，E=0）,即系統(tǒng)的希望輸出Cn(t)一點都不受擾動的影響?！跋Ｍ怠钡幕靖拍睿合Ｍ臓顟B(tài)一則系統(tǒng)在輸入信號作用下的希望輸出為：第9頁/共73頁

從系統(tǒng)輸出端定義的穩(wěn)態(tài)誤差，概念清晰，物理意義明確，也符合基本定義，但在實際系統(tǒng)中無法測量，因而，一般只有數學意義。而從系統(tǒng)輸入端定義的穩(wěn)態(tài)誤差，它在系統(tǒng)中是可以測量的，因而具有實用性。對于單位反饋系統(tǒng)，要求輸出量C(t)的變化規(guī)律與給定輸入r(t)的變化規(guī)律一致，所以給定輸入r(t)也就是輸出量的希望值，即。此時，上述兩種定義統(tǒng)一為：第10頁/共73頁對于非單位反饋系統(tǒng)，若設定義2的誤差為E’(s),定義1的誤差為E(s)，則E’(s)與E(s)的關系：可見，兩種定義對非單位反饋系統(tǒng)是存在差異的，但兩種定義下的誤差之間具有確定的關系，即誤差E’(s)可以直接或間接地由E(s)來確定。從本質上看，它們都能反映控制系統(tǒng)的控制精度。通常采用第1種誤差定義，e(t)通常也稱為系統(tǒng)的誤差響應，它反映了系統(tǒng)在輸入信號和擾動信號作用下整個工作過程中的精度。誤差響應中也包含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩個部分，如果所研究的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么當時間t趨于無窮大時，瞬態(tài)分量趨近于零，剩下的只是穩(wěn)態(tài)分量。第11頁/共73頁穩(wěn)態(tài)誤差的定義：對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，以表示?；竟降?2頁/共73頁二、穩(wěn)態(tài)誤差的計算

對于線性系統(tǒng)，響應具有疊加性，不同輸入信號作用于系統(tǒng)產生的誤差等于每一個輸入信號單獨作用時產生的誤差的疊加。對于圖所示系統(tǒng)，控制信號r(t)和擾動信號n(t)同時作用于系統(tǒng)。第13頁/共73頁系統(tǒng)在控制信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差：瞬態(tài)過程結束后誤差e(t)的穩(wěn)態(tài)分量第14頁/共73頁系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差：瞬態(tài)過程結束后誤差e(t)的穩(wěn)態(tài)分量第15頁/共73頁從上式得出兩點結論：1.穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)輸入信號r(t)或擾動信號n(t)的形式有關；2.穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結構及參數有關。第16頁/共73頁如果不計擾動輸入的影響，只求系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差。此時，系統(tǒng)的結構圖簡化為。E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)-三、給定輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差第17頁/共73頁

在給定輸入作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結構、參數和輸入信號的形式有關，對于一個給定的系統(tǒng)，當給定輸入的形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將取決于開環(huán)傳遞函數描述的系統(tǒng)結構。分析穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結構的關系，關鍵是根據開環(huán)傳遞函數G(s)H(s)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)個數所規(guī)定的控制系統(tǒng)類型。設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數一般形式為：

第18頁/共73頁開環(huán)傳遞函數的分類：以分母中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)個數來定義開環(huán)傳遞函數的型。當……時，分別稱系統(tǒng)為0型、1型、2型……系統(tǒng)。而G(s)H(s)中其它零、極點對分類沒有影響。下面分析系統(tǒng)在不同典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。開環(huán)傳遞函數：第19頁/共73頁因此，在單位階躍輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于系統(tǒng)的位置誤差系數。1、單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差對于單位階躍輸入，R(s)=1/s,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為令稱Kp為穩(wěn)態(tài)位置誤差系數。穩(wěn)態(tài)誤差可表示為第20頁/共73頁（1）對于0型系統(tǒng)，

（2）對于1型系統(tǒng)（或高于1型的系統(tǒng)）第21頁/共73頁

可見，由于0型系統(tǒng)中沒有積分環(huán)節(jié)，它對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，誤差的大小與系統(tǒng)的開環(huán)放大系數K成反比，K越大，越小，只要K不是無窮大，系統(tǒng)總有誤差存在。對實際系統(tǒng)來說，通常是允許存在穩(wěn)態(tài)誤差的，但不允許超過規(guī)定的指標(如5％)。為了降低穩(wěn)態(tài)誤差，可在穩(wěn)定條件允許的前提下，增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數，若要求系統(tǒng)對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則必須選用1型或高于1型的系統(tǒng)。第22頁/共73頁R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)step(feedback(tf(10*[1],conv([1,0],[1.67,1])),1),0:.01:35)step(feedback(tf(1*[1],[1.67,1]),1),0:.01:35)第23頁/共73頁2、單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差因此，在單位斜坡輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于速度誤差系數。對于單位斜坡輸入，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為令Kv稱為穩(wěn)態(tài)速度誤差系數。穩(wěn)態(tài)誤差可表示為：第24頁/共73頁(1)對于0型系統(tǒng)(2)對于1型系統(tǒng)第25頁/共73頁上面的計算表明，在單位斜坡輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為，而1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數成反比。為了使穩(wěn)態(tài)誤差不超過規(guī)定值，可以增大系統(tǒng)的K值。2型或高于2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差總為零。因此，對于單位斜坡輸入，要使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值或為零，必需，也即系統(tǒng)必須有足夠積分環(huán)節(jié)。(3)對于2型系統(tǒng)（或高于2型的系統(tǒng)）第26頁/共73頁輸入K=5K=1K=0.3階躍響應階躍響應：零穩(wěn)態(tài)誤差斜坡響應：穩(wěn)態(tài)誤差為常數指令：t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*[1],conv([1,0],[1.67,1])),1),u,t)第27頁/共73頁(1)對于0型系統(tǒng)，于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為3、單位拋物線輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差對于單位拋物線輸入，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為令稱為穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數。穩(wěn)態(tài)誤差可表示為：第28頁/共73頁(2)對于1型系統(tǒng)，(3)對于2型系統(tǒng)，第29頁/共73頁(4)對于3型系統(tǒng)（或高于3型的系統(tǒng)）以上計算表明，在單位拋物線輸入作用下，0型和1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為，2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數成反比。對3型或高于3型的系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。但是，此時要使系統(tǒng)穩(wěn)定則比較困難。第30頁/共73頁誤差第31頁/共73頁穩(wěn)態(tài)誤差系數和穩(wěn)態(tài)誤差減小和消除穩(wěn)態(tài)誤差方法提高系統(tǒng)的開環(huán)增益增加開環(huán)傳遞函數中積分環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性第32頁/共73頁4、給定輸如下的穩(wěn)態(tài)誤差計算（1）線性疊加原理給定輸入信號增加多少倍，則穩(wěn)態(tài)誤差也增加相同的倍數；若給定輸入信號是上述典型信號的線性組合，則系統(tǒng)相應的穩(wěn)態(tài)誤差就由疊加原理求出。例如，若輸入信號為則系統(tǒng)的總穩(wěn)態(tài)誤差為第33頁/共73頁R(s)-C(s)1.先判穩(wěn)例1

設圖示系統(tǒng)的輸入信號r(t)=10+5t，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并求出其穩(wěn)態(tài)誤差。解（2）穩(wěn)態(tài)誤差系數、、和描述了系統(tǒng)對減小和消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，因此，它們是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性的一種表示方法，可以理解為穩(wěn)態(tài)性能指標。提高開環(huán)放大系數K或增加開環(huán)傳遞函數中的積分環(huán)節(jié)數，都可以達到減小或消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的目的。但是，這兩種方法都受到系統(tǒng)穩(wěn)定性的限制。因此，對于系統(tǒng)的準確性和穩(wěn)定性必須統(tǒng)籌兼顧、全面衡量。由圖求得系統(tǒng)的特征方程為：第34頁/共73頁由特征方程列勞斯表

21+0.5K3K

要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須

K>0,1+0.5K>0,3(1+0.5K)－2K>0解得K>0，K>-2，K<6所以，當0<K<6時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。K2.再求穩(wěn)態(tài)誤差由圖可知，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為第35頁/共73頁

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

上述結果表明，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與K成反比，K值越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小，但K值的增大受到穩(wěn)定性的限制，當K>6時，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。求穩(wěn)態(tài)誤差求穩(wěn)態(tài)誤差系數系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數分別為：第36頁/共73頁例2

系統(tǒng)結構如圖所示，求當輸入信號r(t)=2t+t2時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess。首先判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由開環(huán)傳遞函數知，閉環(huán)特征方程為根據勞斯判據知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。第37頁/共73頁第二步，求穩(wěn)態(tài)誤差ess，因為系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)，根據線性系統(tǒng)的齊次性和疊加性，有

故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess=ess1+ess2=0.1。第38頁/共73頁例3解：第39頁/共73頁第40頁/共73頁五、干擾信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差擾動信號n(t)作用下的系統(tǒng)結構圖如圖所示

擾動信號n(t)作用下的誤差函數為

第41頁/共73頁穩(wěn)態(tài)誤差

若，則上式可近似為干擾信號作用下產生的穩(wěn)態(tài)誤差essn除了與干擾信號的形式有關外，還與干擾作用點之前(干擾點與誤差點之間)的傳遞函數的結構及參數有關，但與干擾作用點之后的傳遞函數無關。第42頁/共73頁例4

設控制系統(tǒng)如圖2所示，其中給定輸入，擾動輸入（和均為常數），試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。R(s)-+N(s)C(s)圖2第43頁/共73頁解當系統(tǒng)同時受到給定輸入和擾動輸入的作用時，其穩(wěn)定誤差為給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動穩(wěn)態(tài)誤差的疊加。所以給定穩(wěn)態(tài)誤差為令n(t)=0時，求得給定輸入作用下的誤差傳遞函數為

令r(t)=0時，求得擾動輸入作用下的誤差傳遞函數為第44頁/共73頁由上式計算可以看出，r(t)和n(t)同是階躍信號，由于在系統(tǒng)中的作用點不同，故它們產生的穩(wěn)態(tài)誤差也不相同。此外，由擾動穩(wěn)態(tài)誤差的表達式可見，提高系統(tǒng)前向通道中擾動信號作用點之前的環(huán)節(jié)G1(s)的放大系數（即），可以減小系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。所以擾動穩(wěn)態(tài)誤差為該系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為第45頁/共73頁為了分析系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)對穩(wěn)態(tài)誤差的影響，我們假設圖2中給定輸入和擾動輸入保持不變。這時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按上述相同的方法求出，即：第46頁/共73頁系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為

比較以上兩次計算的結果可以看出，若要消除系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差，則系統(tǒng)前向通道中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)都起作用。若要消除系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差，則在系統(tǒng)前向通道中只有擾動輸入作用點之前G1(s)的積分環(huán)節(jié)才起作用。因此，若要消除由給定輸入和擾動輸入同時作用于系統(tǒng)所產生的穩(wěn)態(tài)誤差，則串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)應集中在前向通道中擾動輸入作用點之前(即G1(s)中）。第47頁/共73頁解：給定信號下的穩(wěn)態(tài)誤差擾動信號下的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差：例5第48頁/共73頁例6:控制系統(tǒng)的結構圖為試分別求出H(s)=1和H(s)=0.5時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。-第49頁/共73頁解:當H(s)=1時,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為當H(s)=0.5時,則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差第50頁/共73頁

若上列在H(s)=1時,系統(tǒng)的允許誤差為0.2,問開環(huán)增益k應等于多少?當時,上例的穩(wěn)態(tài)誤差又是多少?因為0型系統(tǒng)在速度輸入和加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大,根據疊加原理,ess=∞第51頁/共73頁穩(wěn)態(tài)誤差小結：1.公式小結（1）（2）（3）（4）（5）（1）基本公式給定輸入單獨作用時第52頁/共73頁擾動單獨作用時給定輸入和擾動共同作用時（6）（7）（8）（9）（10）（11）第53頁/共73頁R(s)-B(s)E(s)N(s)+C(s)r(t)b(t)e(t)1.穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)輸入信號r(t)或擾動信號n(t)的形式有關；2.穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結構及參數有關。第54頁/共73頁穩(wěn)態(tài)誤差系數和穩(wěn)態(tài)誤差減小和消除穩(wěn)態(tài)誤差方法提高系統(tǒng)的開環(huán)增益增加開環(huán)傳遞函數中積分環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性第55頁/共73頁sE(s)的極點不全部分布在[S]平面的左半部終值定理例7第56頁/共73頁六、動態(tài)誤差系數方法

前面研究的穩(wěn)態(tài)誤差主要討論的是典型輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差，對于部分非典型信號（如正弦信號）下，求穩(wěn)態(tài)誤差的極限計算方法可能不能用。另外，我們可能還需要了解輸出響應在進入穩(wěn)態(tài)（t>ts)后變化的規(guī)律如何。這些問題用前面介紹的方法都不方便。因此，下面再介紹一種適應范圍更廣泛的方法：動態(tài)誤差系數法（又稱廣義誤差系數法）。根據定義誤差信號的拉氏變換式為：將誤差傳遞函數Φe（s）在s=0的鄰域內展開成泰勒級數，得第57頁/共73頁得誤差信號拉氏變換的一般表達式為：在零初始條件下，對上述級數求拉氏反變換，得穩(wěn)態(tài)誤差隨時間變化得函數關系如下：定義為動態(tài)誤差系數。第58頁/共73頁

特別稱C0為動態(tài)位置誤差系數；

C1為動態(tài)速度誤差系數；

C2為動態(tài)加速度誤差系數。說明：

“動態(tài)”二字的含意是指這種方法可以完整描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差ess(t)隨時間變化的規(guī)律。定義為動態(tài)誤差系數。第59頁/共73頁動態(tài)誤差系數的計算方法：多項式除法：1）將分子多項式和分母多項式分別按升冪排列；2）用多項式除法逐項求出C0，C1，C2，…開環(huán)傳遞函數分母除分子，得：誤差傳遞函數第60頁/共73頁誤差：比較一下：也就是動態(tài)誤差系數第61頁/共73頁例8：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：系統(tǒng)一：系統(tǒng)二：求動態(tài)誤差系數。解：根據公式得：第62頁/共73頁用長除法系統(tǒng)一：動態(tài)誤差系數：C0=0，C1=0.1，C2=0.09，C3=-0.019，…………第63頁/共73頁用長除法系統(tǒng)二：系統(tǒng)二動態(tài)誤差系數：C0=0C1=0.1C2=0.19C3=-0.039…………第64頁/共73頁例9：