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文檔簡介

二重積分9.1.1二重積分的概念9.1.2二重積分的性質例9.1.1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xOy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.9.1.1二重積分的概念特例：平頂柱體的體積特點：平頂.柱體體積=底面積×高特點：曲頂.柱體體積=？解法:

無限分割的思想曲頂柱體的體積

解法:

無限分割的思想曲頂柱體的體積

解法:

無限分割的思想曲頂柱體的體積

解法:

無限分割的思想曲頂柱體的體積

解法:

無限分割的思想曲頂柱體的體積

“分割，近似，求和，取極限”①分割：③求和：④取極限:以它們?yōu)榈紫鄳厍斨w分為n個細曲頂柱體在代表區(qū)域

中任取一點②近似：用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域有一個平面薄片,在xOy

平面上占有區(qū)域

D,計算該薄片的質量M.度為設D的面積為

,則若非常數(shù),仍可用其面密“分割，近似，求和，取極限”解決.1)分割用任意曲線網(wǎng)分D為n個小區(qū)域相應把薄片也分為小塊.例9.1.2平面薄片的質量2)近似中任取一點3)求和4)取極限則第

i小塊的質量在令兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結構式相同“分割，近似，求和，取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質量:①分割：③求和：④

取極限:則稱此極限值為定義9.1.1設是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)作乘積任?、诮疲河萌我馇€網(wǎng)分D為n個區(qū)域如果極限值存在，在區(qū)域D

上的二重積分，記為個小區(qū)域，也表示該區(qū)域的面積，表示第即積分區(qū)域被積函數(shù)被積表達式面積元素積分和引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質量:如果在D上可積,元素d

也常記作二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積可用平行坐標軸的直線來劃當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．若函數(shù)在D上可積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則9.1.2二重積分的性質

為D的面積,則性質9.1.1性質9.1.2性質9.1.3特別,由于則性質9.1.4.若在D上性質9.1.5.設D的面積為

,則有性質9.1.6.(中值定理)證:

由性質9.1.5可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點在閉區(qū)域D上

為D的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此例9.1.3

比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它在與x軸的交點(1,0)處與直線從而而域D位于直線的上方,故在D上例9.1.4

不作計算，估計其中解:

積分域D的面積為由性質9.1.5知，的值，其中是橢圓閉區(qū)域這里在上，因為所以又因為僅在某些點處成立，從而復習xabA(x)x+dxxV平行截面面積是已知的立體的體積的求法xyy=f

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