高等數(shù)學(xué)課件：常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化二階線性微分方程：時(shí),稱為非齊次線性方程;時(shí),稱為齊次線性方程.一、二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程:是二階線性齊次方程的兩個(gè)解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1.注:不一定例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判定問(wèn)題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)概念.是所給二階方程的通解.？定義:是定義在區(qū)間I上的

n個(gè)函數(shù),使得則稱這n個(gè)函數(shù)在I

上線性相關(guān),否則稱為線性無(wú)關(guān).例如，

在(,)上都有故它們?cè)谌魏螀^(qū)間I上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間I上則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn),必需全為0,可見(jiàn)在任何區(qū)間I上都線性無(wú)關(guān).若存在不全為

0的常數(shù)兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間I

上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為0的使(不妨設(shè)線性無(wú)關(guān)常數(shù)思考:中有一個(gè)恒為0,則必線性相關(guān)定理2.是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特解,數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為推論.是n階齊次方程的n個(gè)線性無(wú)關(guān)特解,則方程的通解為則和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當(dāng)時(shí),②有兩個(gè)相異實(shí)根方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解:因此方程的通解為(r為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.二階常系數(shù)齊次線性微分方程:特征方程2.當(dāng)則微分方程有一個(gè)特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為時(shí),特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根特征方程3.當(dāng)時(shí),特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:利用解的疊加原理,得原方程的線性無(wú)關(guān)特解:因此原方程的通解為小結(jié):特征方程:實(shí)根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.求解初值問(wèn)題解:特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問(wèn)題的解為例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解為例3.求方程練習(xí)（1）解:特征方程特征根:因此原方程的通解為（2）解:特征方程特征根:因此原方程的通解為（3）解:特征方程特征根:因此原方程的通解為例4.一個(gè)質(zhì)量為m的物體，在準(zhǔn)彈性力F=-kx作用下作簡(jiǎn)諧振動(dòng).求其運(yùn)動(dòng)方程..解:由牛頓第二定律得方程變?yōu)榈仁絻啥送詍,設(shè)特征方程:特征根:原方程通解:例5.解:如圖所示，設(shè)鋼球靜止不動(dòng)時(shí)重心位置為原點(diǎn)，s表示鋼球上下振動(dòng)的位移量，

其中C為彈簧的彈性系數(shù).由牛頓第二定律得解得在一豎掛的彈簧下端系著一個(gè)質(zhì)量為m的鋼球作上下振動(dòng),假設(shè)彈簧的質(zhì)量與鋼球體的質(zhì)量可以忽略不計(jì),也不計(jì)空氣阻力，試求鋼球振動(dòng)的規(guī)律.t=0時(shí)，s=0,內(nèi)容