數(shù)學課堂導學案：兩角差的余弦公式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析1。兩角差的余弦公式【例1】已知sinα=，cosβ=,求cos(α-β)的值。思路分析：根據(jù)兩角差的余弦公式知,還須求cosα、sinβ.由條件可知，只要對α、β所處的象限進行討論即可.解:∵sinα=＞0，∴α為第一、二象限角。當α為第一象限角時，cosα=;當α為第二象限角時,cosα=—。∵cosβ=＞0,∴β為第一、四象限角.當β為第一象限角時，sinβ=；當β為第四象限角時，sinβ=—。∵cos（α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ，∴當α、β均為第一角限角時，cos(α—β）=×+×=;當α為第一象限角,β為第四象限角時，cos(α—β）＝×+×（-）=;當α為第二象限角,β為第一象限角時，cos（α-β）=（-)×+×=—;當α為第二象限角，β為第四象限角時，cos（α-β）＝(—)×+×（-)=-.溫馨提示(1）解題時，由結(jié)論出發(fā)分析題目作了哪些條件準備，還需再求什么,明確理解題的目標。(2)已知條件中給出某個角的三角函數(shù)值,但并未指出角α所在的象限時，一般要進行分類討論。2．靈活應用兩角差的余弦公式【例2】已知cos(α-)=—,sin（—β)=，且α∈（，π)，β∈(0，π2）,求cos的值.思路分析:本題是給值求值的問題，若不考慮條件,盲目地看cos無法求.為此尋求已知條件中角α—、-β與欲求式中角的關系,不難發(fā)現(xiàn)=（α—）-（-β），這樣將cos的值轉(zhuǎn)化為cos［(α-)—(-β)］的值，可利用兩角差的余弦公式求得。解：∵＜α＜π,0＜β＜，∴＜＜，0＜＜，＜α+β＜?！啵鸡?＜π,—＜—β＜,＜α+＜.又cos(α—)=-,sin（—β)=,∴sin（α-）=,cos(-β）=?！郼osα+=cos［(α—）-（—β)］=cos(α-)cos(—β)+sin(α—)sin(-β)=(-)×+×=—.溫馨提示像這類給值求值問題，關鍵是抓住已知條件中的角與所求式中角的聯(lián)系，即想辦法利用已知條件中角表示所求式中的角,這個過程我們稱作“角的變換”,同學們應注意總結(jié)，積累經(jīng)驗。3。兩角差的余弦公式的理解與變形是疑點【例3】以下命題：①cos（α-β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②對任意角cos（α—β)=cosαcosβ+sinαsinβ都成立；③cos（α—β）=cosα—cosβ；④cos70°cos10°+sin70°sin10°=。其中正確命題為________________.思路分析：①式錯誤；②式正確。③式錯誤,④式正確,逆用兩角差的余弦公式即可.答案：②④各個擊破類題演練1已知sinα=,cosβ=-，α、β均為第二象限角,求cos(α-β）.解：由sinα=，α為第二象限角,∴cosα=。又由cosβ=—，β為第二象限角,∴sinβ=∴cos(α—β）=cosαcosβ+sinαsinβ=（-）×（—)+×=。變式提升1（1）已知tanθ=,θ∈（0,)，求cos（—θ）。解：∵tanθ==，且sin2θ+cos2θ=1，θ∈(0,),sinθ＞0,cosθ＞0，解得：sinθ=,cosθ=，∴cos（-θ)=cos·cosθ+sin·sinθ=.（2)若將條件θ∈(0,）去掉，結(jié)果如何.解：由tanθ=，θ在第一或第三象限.若θ在第一象限，同（1）,若θ在第三象限，則sinθ=—,cosθ=—?！郼os（—θ)=-×（—)+×(-）=類題演練2已知α、β為銳角,cosα=，sin（α+β)=，求cosβ。解:∵α為銳角且cosα=，∴sinα=.又β為銳角，∴α+β∈(0,π）.又sin(α+β)=＜sinα，∴α+β∈(，π）?！郼os(α+β)==∴cosβ=cos［（α+β）-α］=cos（α+β）cosα+sin(α+β）sinα=()×+。變式提升2已知:cos（α+β)=，cos（α—β)=—，＜α+β＜2π，＜α—β＜π，求cos2β.解：∵＜α+β＜2π，cos（α+β）=,∴sin(α+β）=-,又∵＜α-β＜π,cos(α-β)=-，∴sin(α—β)=.cos2β=cos［（α+β)-(α—β）］=cos（α+β)cos（α—β）+sin(α+β）sin（α—β）=—1。類題演練3下列說法中錯誤的是（）A。存在這樣的α和β使cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβB.不存在無窮多個α和β使得cos(α-β）=cosαcosβ—sinαsinβC.對于任意的α和β，都有cos（α-β)=cosαcosβ+sinαsinβD。不存在α和β,使得c