數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：平面向量的坐標(biāo)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析1。向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例1】已知A（1，-2)、B（2，1)、C(3，2）和D（-2，3），以、為一組基底來表示++.思路分析：本題主要考查向量的坐標(biāo)表示、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量基本定理以及待定系數(shù)法等知識.求解時首先由點A、B、C、D的坐標(biāo)求得向量、、、、等的坐標(biāo)，然后根據(jù)平面向量基本定理得到等式++=m+n，再列出關(guān)于m、n的方程組，進(jìn)而解方程求出系數(shù)m、n。解：=（1,3），=(2，4)，=（-3,5），=（-4，2），=（-5，1)，∴++=（-3，5）+（-4,2）+（-5，1）=(—12，8）。根據(jù)平面向量基本定理，一定存在實數(shù)m、n，使得++=m+n,∴（—12，8)=m（1，3）+n（2，4).也就是(—12，8)=（m+2n，3m+4n）。可得?！?+=32-22。各個擊破類題演練1已知向量a=（3，—2),b=(—2，1）,c=（7,—4)，試用a和b來表示c。解:設(shè)c=ma+nb。即(7，-4）=m（3,—2）+n(—2，1)=(3m-2n，—2m+n)，于是有所以c=a—2b。變式提升1已知A（1，—2），B（2，1），C（3，2)和D（-2，3)，以、為一組基底來表示.解析：=（1,3），=（2，4)，=（-3，5）.設(shè)=m+n,即（-3，5)=m（1，3)+n（2，4)=(m+2n,3m+4n)于是有∴=11-7.2.共線向量的坐標(biāo)表示【例2】已知點A、B的坐標(biāo)分別為（2,-2)、（4，3），向量p的坐標(biāo)為（2k-1，7）,且p∥，則k的值是()A.B.C。D.思路分析：欲求k的值，只需建立k的方程,由共線向量定理的坐標(biāo)表示，利用p∥，得到k的方程，然后求解。解：∵A(2,—2），B(4，3),∴=（2，5）。又p∥，∴14—5(2k—1）=0,即k=。答案：B友情提示一般求字母的值時，往往將條件化為關(guān)于該字母的方程，然后通過解方程求得字母的值，所以解決這類問題的關(guān)鍵是從題目中找出等量關(guān)系。類題演練2已知四邊形ABCD是平行四邊形，其頂點A、B、C的坐標(biāo)分別是A（-2,1)、B（-1,3）、C（3,4），求D點的坐標(biāo)。解析：設(shè)D點坐標(biāo)為（x，y）,由題意可知,=（1，2），=（3—x，4—y）?！咚倪呅螢槠叫兴倪呅?，∴=,即∴D的坐標(biāo)為（2，2）變式提升2已知：A（—2,—3），B（2，1），C（1，4)，D（—7，-4），判斷與是否共線？解析：=(2，1）—（—2，—3）=（4，4）,=（-7，—4）-（1,4）=（—8，—8）?！?×（-8）-4×(—8)=0，∴∥。即與共線，或=—2.∥.∴與共線。3.向量坐標(biāo)形式的靈活應(yīng)用【例3】用坐標(biāo)法證明++=0。思路分析：本題沒有給出向量的坐標(biāo)，需要將各向量的坐標(biāo)設(shè)出來，然后進(jìn)行向量運(yùn)算.解:設(shè)A(a1，a2），B（b1,b2）,C(c1,c2),則=（b1—a1,b2-a2),=（c1-b1,c2-b2),=（a1-c1，a2—c2)，∴++=(b1—a1，b2—a2）+(c1—b1，c2—b2)+（a1—c1,a2-c2)=（b1-a1+c1—b1+a1—c1,b2—a2+c2—b2+a2—c2）=(0，0)=0?！?+=0.友情提示這個證明過程完全是三個點坐標(biāo)的運(yùn)算，無需考慮三個點A、B、C是否共線。同時,對這個結(jié)論的更一般的形式，即n個向量順次首尾相接，組成一條封閉的折線，其和為零向量，也就不難理解了：=0.類題演練3已知平面內(nèi)三個點A（1，—2)，B（7，0），C（—5，6），求,，+,2+。解析：∵A（1，—2），B(7,0)，C（—5，6)，∴=(7—1,0+2）=(6，2）,=(—5-1,6+2）=(-6，8），+=（6—6，2+8)=（0,10),2+=2(6，2）+(—6,8)=（12，4）+（—3,4）=(9，8）。變式提升3若點O（0，0）、A(1，2）、B(-1，3)，且=2，=3，則點A′的坐標(biāo)為________，點B′的坐標(biāo)為________,向量的坐標(biāo)為_________.解析:∵O(0，0），A（1,2），B(—1,3），∴=（1，2),=(—1，3），=2×(1,2)=(2，4)，=3×（—1,3）=（-3,9)?！郃′（2，4)，B′(—3,9),=(—3—2,9—4)=（-5，5）.答案:（2，4）（—3，9）（—5,5）【例4】如右圖，已知A（-1，2），B(3，4）連結(jié)A、B并延長至P，使｜AP|=3｜BP｜，求P點坐標(biāo)。思路分析:由、同向共線，得=3。這樣就可建立方程組,求出點P的坐標(biāo).解：設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y）,則=（x+1,y—2），=(x—3,y-4).由、同向共線，得=3，即(x+1，y—2)=3（x—3，y—4）.于是,解得因此，P點的坐標(biāo)為(5,5）.友情提示一般地，A、B、P三點中選哪一個點作起點，分點或終點都可以，但一經(jīng)確定兩點。第三點也隨之確定.雖然對各種情況的系數(shù)不同，但計算結(jié)果都一樣，可根據(jù)題目條件恰當(dāng)選擇起點、分點和終點，確定相應(yīng)的系數(shù)λ的值，優(yōu)化解題過程。而此類題目最大的弊病是分不清起點與終點,致使公式用錯。類題演練4已知A（-2，1），B（1，3），求線段AB中點M和三等分點P、Q的坐標(biāo).解析：因為==（1，3）—（-2，1）=（3，2）.所以=(+）=（—，2).=+=（-1,)。=+=（0，)。因此M(-，2），P（-1，)，Q(0，）.變式提升4在△ABC中，已知A（4，1）、B（7,5）、C（-4,7）