函數(shù)的對稱性與周期性問題【18類題型】-2025屆高考數(shù)學復習專項突破（新高考專用）

重難點專題1-1函數(shù)對稱性周期性問題

近4年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2023年新高考2卷，第6題對稱性與函數(shù)交點個數(shù)問題函數(shù)對稱性的識別

導函與原函數(shù)數(shù)對稱性問

2022年新高考1卷，第12題函數(shù)對稱性與周期性題的轉(zhuǎn)換，由平移關(guān)系得出

對稱性

函數(shù)軸對稱與中心對稱的

2022年全國乙卷，第12題函數(shù)對稱性與周期性抽象表示式，由對稱性得出

周期

由平移關(guān)系得出對稱性，再

2021年新高考2卷，第8題函數(shù)對稱性與周期性

由對稱性得出周期

由平移關(guān)系得出對稱性，由

2021年甲卷（理），第12題函數(shù)對稱性與周期性

對稱性得出周期

函數(shù)軸對稱與中心對稱的

2021年甲卷（文），第12題函數(shù)對稱性與周期性抽象表示式，由對稱性得出

周期

模塊一4熱點題型解生（目錄）

【題型1】識別對稱軸，對稱中心.................................................2

【題型2】由對稱求解析式........................................................4

【題型3】由平移前后關(guān)系得出原函數(shù)對稱性.......................................5

【題型4】與對稱性有關(guān)的材料題.................................................6

【題型5】通過周期性求值或解析式...............................................8

【題型6】由對稱性進而得出周期.................................................11

【題型7】類周期函數(shù)與倍增函數(shù)................................................21

【題型8】由中心對稱求出函數(shù)中間值...........................................26

【題型9】由對稱性求交點坐標的和..............................................29

【題型10］由解析式看出對稱性.................................................36

【題型11】由對稱性解函數(shù)不等式...............................................41

【題型12］由解析式看出對稱中心再解函數(shù)不等式................................43

【題型13］由解析式看出對稱軸再解函數(shù)不等式...................................46

【題型14］配湊后得出新函數(shù)的對稱性...........................................49

【題型15】已知一個對稱軸（中心）和周期.......................................49

【題型16］涉及導函數(shù)對稱性問題...............................................56

【題型17］兩個函數(shù)混合型......................................................68

【題型18］兩個函數(shù)混合且涉及導數(shù).............................................72

模塊二1核心題型?舉一反三（講與練）

【題型1】識別對稱軸，對稱中心

核心?技巧

若/（〃Z+X）=/（7Z-X）,且F~=b/（X）關(guān)于X=Z?對稱

/（m+x）+f（n-x）=2b,且=a/（x）關(guān)于（口力）對稱

1.設(shè)“X）是定義域為R的奇函數(shù)，且〃1+X）=〃T）.若/)

A.

【答案】C

【鞏固練習1】(多選題)己知函數(shù)“X)的定義域為R,/卜+。為奇函數(shù)，且對于任意xdR,都

有〃2—3x)=〃3x),則()

A./(%+1)=/(%)B.f=0

c./(X+2)為偶函數(shù)為奇函數(shù)

【答案】BCD

【解析】由〃2—3x)=〃3x),得((2—x)=f(x).

由/1x+3是奇函數(shù)，得了、+￡|=-即〃力=一/(1_司，

所以〃2-x)=-/(l-x),即/(x+l)=-/(x),所以/(x+2)=/(x),故選項A錯誤；

由y(x)=_/(i—x),得了［￡|=0,由/(x+i)=_/(x),得［］=一?/{1)，所以故

選項B正確；

由J(x+2)=/(x),/(2-x)=f(x),得〃2T)=〃2+X),即〃x+2)為偶函數(shù)，故選項C正確；

由/(x)=l/(l-x),/(x+2)=/(x),得=貝廳［一￡|=一/''

即,［x-g)為奇函數(shù)，故選項D正確.

【鞏固練習2】已知函數(shù)"x)=［匕的圖象關(guān)于點對稱，則。=()

A.1B.2C.eD.e2

【答案】C

【分析】利用函數(shù)中心對稱的性質(zhì)，代入化簡解方程即可求得a=e.

【詳解】由對稱中心性質(zhì)可知函數(shù)/(%)滿足〃％)+〃2-=

o112

即------1-TZ---=----,

eA+ae~x+ae+。

整理可得e3T+e%+1+2ae=2e2+ael+ae2T,即e(e2r+e*-2e)=a(e*+e2T-2e),

解得a=e.

【題型2】由對稱求解析式

核心?技巧/

一、把/(x)的圖像關(guān)于尤=。對稱，對稱后的函數(shù)為g(x),則g(x)=/(2。一x)

證明:設(shè)對稱后的點為(x,y),則點(2a-x,y)在/(x)上,i^y=f(2a-x),即g(x)=/(2a—x)

二、把/(x)的圖像關(guān)于(a,Z?)對稱，對稱后的函數(shù)為g。)，則g(x)=26-/(2a-x)

證明：設(shè)對稱后的點為(x,y),則點(2°-羽26-y)在/(x)上，代入可得—y=/(2a—x),則有,

y=2b-f(2a-x)即g(x)=2b-f(2a-x)

2.(2024?四川成都?三模)函數(shù)y=32,與y=3-2'的圖象()

A.關(guān)于x=2對稱B.關(guān)于x=l對稱

C.關(guān)于x=:對稱D.關(guān)于x對稱

【答案】D

［分析］首先得到曲線y=3?工關(guān)于x=a的對稱曲線為y=32(2a-x),再對比系數(shù)得到方程求出a,即

可得解.

【詳解】因為曲線＞=32,關(guān)于X=a的對稱曲線為y=32.r),即y=34a-2)

y=34"-2X與y=3「2'對比系數(shù)可知4a=1,解得a=：,

所以函數(shù)y=3”與y=3「2'的圖象關(guān)于龍=：對稱.

故選：D

【鞏固練習1】若函數(shù)y=g(x)的圖象與y=lnx的圖象關(guān)于直線％=2對稱，則g(x)=.

【答案】In(4—x)

【分析】利用對稱的定義求解即可.

【詳解】在函數(shù)y=g(x)的圖象上任取一點(%,y),則點(x,y)關(guān)于直線x=2對稱的點為(4

—x,y),且點(4—x,y)在函數(shù)y=lnx的圖象上，所以y=ln(4—x),

即g(x)=ln(4—x),

故答案為：ln(4-x)

【題型3】由平移前后關(guān)系得出原函數(shù)對稱性

核心?技巧

若已知/Onx+A)+c是奇(偶)函數(shù)求/(%)對稱性

/(/nx+a)+b是偶函數(shù)/(無)關(guān)于x=。對稱，/(mx+a)+b是奇函數(shù)/(x)關(guān)于(4力)對稱

舉個例子：

若/(2x+l)+3是奇函數(shù)

證：設(shè)/(x)關(guān)于對稱，通過函數(shù)圖像的平移和伸縮變換求出對6的值

/(X)/(%+1)/(2x+l)心+1)+3

對稱中心(a,Z?)(1-17=1

,b+3

12)[b=-3

2024?江蘇高郵?統(tǒng)考

3.定義在R上的函數(shù)丫=/(尤)和'=8(尤)的圖象關(guān)于丫軸對稱，且函數(shù)y=/Q-2)+l是奇函數(shù)，則

函數(shù)y=g(x)圖象的對稱中心為()

A.(2,1)B.(―2,—1)C.(-2,1)D.(2,-1)

【答案】D

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的對稱性求解即可.

【詳解】由題意得函數(shù)、=/(*-2)+1是奇函數(shù)，則y=/(元)關(guān)于(-2,-1)對稱，

另知函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖象關(guān)于>軸對稱，故y=g(x)關(guān)于(2,-1)對稱

【鞏固練習】已知函數(shù)/(X)的定義域為R,/。-2可為偶函數(shù)，/(x-l)為奇函數(shù)，貝ij()

A./(O)=OB./(-2)=0

C./(-3)=0D./(-5)=0

【答案】D

【詳解】函數(shù)/(x)的定義域為R,由洋1-2為是偶函數(shù),得/■(l+2x)=/(l-2x),即/(2-x)=/(x),

由/(x—1)為奇函數(shù)，得■/(-x-l)=-/(xT),f(―2—x)=—f(x),顯然/(-1)=。,

因此〃2-幻=一/(一2-幻，即此4+x)=-=x),有〃0)=/(2)=-〃一2),

/(-3)=-/(1),/(-5)=-/(-1)=0,而八0),/■⑴的值都不確定，ABC錯誤，D正確

【題型4】與對稱性有關(guān)的材料題

核心?技巧

結(jié)合材料得出結(jié)論，再解決問題

4.（多選）在學習了函數(shù)的奇偶性后，小明同學發(fā)現(xiàn):函數(shù)y=/（x）為奇函數(shù)的充要條件是y="X）

的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱，可以引申為：函數(shù)y=/（元+。）-6為奇函數(shù)的充要條件是

y=/（x）的圖象關(guān)于點尸⑼成中心對稱.已知函數(shù)/（力=彳3+儂2+2m-4的圖象關(guān)于（2,0）

成中心對稱，則下列結(jié)論正確的是（）

A."2）=1B./（4）=4

C.m+n=-1D./（2+x）+/（2-x）=。

【答案】BCD

【分析】函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于（2,0）成中心對稱，可得所以/（x+2）的圖象關(guān)于原點對稱，令％=0,

可求得利+〃=-1,故A錯誤,C正確；又/'（2+x）+/（2-x）=0,故D正確，令此式中無=2,可求得

/（4）,判斷出選項B.

【詳解】函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于（2,0）成中心對稱，且由函數(shù)可得定義域為R,

所以/（x+2）的圖象關(guān)于原點對稱，

則/（0+2）=/（2）=8+4加+4月一4=0,

所以機+〃=-1,故A錯誤,C正確；

所以對任意xeR,都有〃2+x）+〃2-x）=0,故D正確；

在/■（2+x）+/（2—x）=0中令x=2得

/（4）+/（0）=0,且/（O）=T,

所以7（4）=4,故B正確

【鞏固練習1】（多選）已知函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于P（a,?成中心對稱圖形的充要條件是

y=f（x+a）-b是奇函數(shù)，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=a成軸對稱圖形的充要條件是y=f（x+a）是

偶函數(shù).則下列說法正確的是（）

A./（刈=/-3彳2的對稱中心為（1,一2）

B./(x)=X，-4/+6f-4x關(guān)于x=l對稱

C./(冗)=2三x+?1的對稱中心為(1,-2)

x-1

x—2

D./(x)=一一二的圖象關(guān)于(-2,0)對稱

x-4.x+5

【答案】AB

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對稱性對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項，f(x)=x3-3x2,設(shè)g(%)=/(冗+l)+2=(x+l)3—3(%+1了+2

=d+3/+3%+1-3(X2+2%+1)+2=爐—3%,

g(-x)=(-x)3-3(-x)=-x3+3x=-^(x)為奇函數(shù)，

所以/(%)=/—3/的對稱中心為(1,-2),所以A選項正確.

B選項,/(x)=x4-4x3+6x2-4x,

設(shè)g(x)=/(x+l)=(x+l)4-4(x+l)3+6(x+l)2-4(x+l)

—x4+4%3+6X2+4x+1—4+3%2+3x+1)+6(%？+2%+1)—4x—4=%,一1,

g(—X)=x4_l=g(x)為偶函數(shù)，

所以fM=--4x3+6x2-4%關(guān)于x=l對稱，所以B選項正確.

"、年/，/、2x4-1、幾/、(i\c2(x+l)+l2x+34x+3

C選項，f(x)=—,僅g(x)=〃rx+l)+2=------------—F2=----F2=----,

x-lx+l-lXX

g(-%)=---------=---------w-g(x),所以g(%)不是奇函數(shù)，所以C選項錯誤.

—XX

D選項一⑺二/W，設(shè)g3="7)=(x_2二(：2)+5=總占，

g(-x)=——-———,所以g(x)不是奇函數(shù)，所以D選項錯誤

x+8x+17

【鞏固練習2】(2023上?湖南長沙?高一長沙一中?？?我們知道，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于坐標原

點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù),有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)

的圖象關(guān)于點尸(。,6)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)，=/(*+。)-6為奇函數(shù).

(D請你利用這個結(jié)論求得函數(shù)/("nJ+Bx2的對稱中心為.

_2

(2)已知函數(shù)g(x)=qr^丁一尤3―3/與一次函數(shù)y=Z(x+l)—3有兩個交點河(為,％),N(w，%)，

則為+%+%+%=.

【答案】(一1,2)-8

【分析】(1)將函數(shù)對稱中心設(shè)出來，利用條件列方程組，解方程組可以得到對稱中心坐標.

(2)利用結(jié)論進行分析，得到g(x)的對稱中心為(-L-3),再根據(jù)y=%(x+l)-3恒過點(-1,-3),

得到點(-1,-3)為兩個函數(shù)圖像交點的中點,利用中點坐標公式計算推出無?+%+々+%的值.

【詳解】(1)設(shè)點(。⑷為函數(shù)"％)=d+3無2圖象的對稱中心，

=/(%+?)—/?=(%+<2)3+3(X+6Z)2—b,貝1Jg(x)為奇函數(shù)，

所以g(—犬)=一g(%),艮!7(―x+^)3+3(——/?=——3(x+tz)2+b,

可得，3(〃+1)%?++3〃2—b=0,

所以(〃丁+l3=0/4=。,解得fa屋=—21，

所以函數(shù)=d+3x2的對稱中心為(T,2).

故答案為：(—1,2)

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點尸(。/)成中心對稱圖形則函數(shù)y=〃%+。)-人為奇函數(shù)，所以

=一/(x+a)+b,即/(_%+〃)+/(%+〃)=2Z?,

所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件可轉(zhuǎn)化為

〃一%+〃)+〃％+1)=2/7,

X3

因為g(-]+x)=(；+)；2_(_]+X)3_3(_]+x『_3___x+3X-2,

g(一]—x)=(；—-(-1-x)3-3(-l-x)2=3+x+工3_3工―2,

所以g(T+%)+g(T—x)=-6,

一丫+，

即g(X)=-------%—3x2對稱中心為(-1,-3),

因為函數(shù)丁=左(了+1)-3的圖像是恒過點(一1,-3)的直線，

所以交點“a,%),N(%，%)的中點為(T-3),

所以為+三=—1,%+%=_3,即%+必+尤2+%=-2-6=-8

22

【題型5】通過周期性求值或解析式

核心?技巧

(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)周期定義，從而求出函數(shù)的周期.

(2)利用函數(shù)的周期性，可以解決區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題.

周期函數(shù)的常見條件

一、若/(尤)+/(x+a)=c(c為常數(shù))，則/。)周期為2a.

證明：令尤=尤+。=>/(尤+a)+/(x+2a)=c,兩式相減得了(x+2a)-/(x)=0

即/(九+2。)=/(尤)，故7=2同

二、若/'(x+a)=二二，則T=2同(相對少見)

f(x)

證明：由/(x+a)=^~7，^/(x+2o!)=-~-=f(x)^T=2\a\

f(x)f(x+a)

三、其它周期條件

設(shè)函數(shù)y=/(x),xeR,a>Q,a1b.

(1)f[x+a)=f{x-a),則函數(shù)〃x)的周期為2a；

(2)若/(x+4)=-/(%),則函數(shù)的周期為2a；

若…一一焉,

(3)則函數(shù)的周期為2a;

(4)"+力看則函數(shù)/(X)的周期為2a;

(5)若〃x+a)=/(%+，)，則函數(shù)/(X)的周期為卜-年

(6)若函數(shù)“X)的圖象關(guān)于直線x="與x=b對稱，則函數(shù)“X)的周期為2弧-4；

(7)若函數(shù)“X)的圖象既關(guān)于點子,0)對稱,又關(guān)于點他,0)對稱，則函數(shù)“X)的周期為2|6-同；

(8)若函數(shù)“X)的圖象既關(guān)于直線％=。對稱，又關(guān)于點(仇0)對稱，則函數(shù)“X)的周期為4也-4；

(9)若函數(shù)/(%)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則/(x)的周期為2a；

(10)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則〃x)的周期為4a.

三、周期與對稱性的區(qū)分

1.若/'(%+a)=±/(x+J),則f(x)具有周期性;

2.若f(x+a)=±f(b-%),則f(x)具有對稱性:

口訣：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性”

5.(2024?陜西西安?二模)已知定義域為R的函數(shù)滿足/(x+2)=-/(x),且當0<x<2時,

f(x)=y-\nx,貝ljf(211)=.

【答案】-3

【解析】由已知可得/(x+2)+/(x)=0,所以/(x+4)+/(x+2)=0,

所以/(x+4)=/(x),即7=4是函數(shù)〃x)的一個周期，

所以f(211)=f(3)=_/(l)=-(3i_lnl)=_3.

【鞏固練習1】(多選)己知□(口)是定義在口上的函數(shù)，且對于任意實數(shù)□恒有口(口+2)=-□(□).當

□6[0,2]時，口(口)=一口2+2口.則()

A.口(口)為奇函數(shù)

B.□(口)在口e[2,4]上的解析式為口(口)=T-6—+8

C.□(口)的值域為[0,/]

D.□(7)+U(2)+_(3)+-+U(2022)=1

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題意，分析可得區(qū)間[-2,0)上，□(□)的解析式，再分析函數(shù)口(口)的周期性，可得口(口)

的圖象關(guān)于原點對稱，由此分析選項是否正確，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，□€[-2⑼時，口+26[0,2],因為口6[。2]時，口(□)=—口2+2口，

所以口(口+2)=-(□+2>+2(口+2)=—口？-2口，

又由□(□+2)=-□(□),則□(□)=一□(□+2)=Q2+2Q,

即口(口)=口2+2口，□e[-2,0],

若□€1-2,0],則一口6[。2],□(—口)=一口2—2口=—(口2+2□)=一口(□),

若口6[0,2],則一一C[—2,0],u(-u)=U2-2U=-(-U2+2U)=-□(□),

故在區(qū)間[一2,2]上□(一口)=-□(□),所以□(口)關(guān)于原點對稱，

又由□(□+2)=—則+4)=-□(□+2)=□(□),即函數(shù)□(口)是周期為4的周期函數(shù)，

故□(口)的圖象關(guān)于原點對稱，

由此分析選項：

對于A,□(口)的圖象關(guān)于原點對稱，口(口)為奇函數(shù)，故A正確；

對于B,當口€[2,4]時，則□一4€[—2,0],則□(□一4)=(□—4>+2(口—4)=口2—6口+8,

函數(shù)□(□)是周期為4的周期函數(shù)，則□(□)=□(□-4)=口2-6口+8,故B正確；

對于C,在區(qū)間[-2,0]上,口(□)=口2+2口=(口+/)2_/,則□(_/)=-/,口(一2)=在(0)=0,

所以一/三口(口)式0,故口(口)的值域一定不是[01],故C錯誤；

對于D,因為口6[。2]時，口(□)=一口2+2口，所以□(1)=/,0(2)=0,

又□(口+2)=-□(□),則□(口+2)+□(□)=0,

則有□(1)+口(3)=0,0(2)+□(4)=0,故□(1)+口(2)+口(3)+口(4)=0,

所以□(1)+口(2)+□⑶+-??+0(2022)

=[口⑺+口(2)+口(3)+□(4)]X505+0(2027)+0(2022)

=0(202；)+口(2022)

=□(/)+口(2)=1,故D正確

【鞏固練習2】設(shè)□(□)是定義在口上的周期為2的偶函數(shù)，已知口G[2,3]時，口(口)=U,則口G[-2,0]

時，□(口)的解析式為□(1)=()

A.□+4B.2-□

C.3—|口+/|D.2—|U+11

【答案】C

【分析】根據(jù)已知函數(shù)的奇偶性和周期性，結(jié)合口G[2,3]時，□(□)=□,分別討論口￡[-2,一4和

□e的兩種情況下對應(yīng)的解析式，綜合可得答案.

【詳解】:□(□)是定義在□上的周期為2的偶函數(shù)，口6[2,3]時，口(□)=□,

時，(2+口)€[。/),(4+口)€[2,3),

此時□(口)=口(4+□)=《+□,

當0]時,(—□)e[0,1],(2—口)e[2,3],

此時u(u)=U(-O)=D(2-U)=2-U,

所以□(□)=(4+□=3TU+/|,_2WU<T

,()-I2-口=3-|口+W□W0'

綜上可得：□G[-2,0]Ht,=5-|Q+/|

【題型6】由對稱性進而得出周期

核心?技巧

一、若/(X)關(guān)于x和(仇C)對稱，則T=4|a-4(類比三角函數(shù))

證明：由對稱軸可得/(%)=/(2。一九)，

由對稱中心可得/(x)+fQb一九)=2c=>/(尤)=2c-f(2b-x)

則有f(2a-x)=2c-f(2b-x),

令x=2a—x,則有f(x)=2c-f(2b-2a+%)=>/(%)+f(2b-2a+x)=2c,

^r=2|2a-2Z?|=4|a-Z?|

三、若了(九)關(guān)于(a,c)和(4c)對稱，則T=2|a-b|(類比三角函數(shù))

「/(—九)+/(九+2。)=2c,,

證明：由對稱性可得，,則/(x+2a)=/(x+2/?),故T=[2〃-2回

/(-x)+/(x+2Z?)=2c

四、若/(X)關(guān)于x=。和x=b對稱，則T=2|a

/(-%)=f(x-2d)

證明：由對稱性可得＜-)*2)加-犯故

2021全國甲卷(文)12題——由對稱性得出周期性求值

6.設(shè)〃力是定義域為R的奇函數(shù)，且/(1+力=/(—力.若貝了《)=(

)

5I5

A.B.C.D.

333

【答案】C

【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得了[3]的值.

故選：C.

2021新高考2卷第8題——由對稱性得出周期性求值

7.已知函數(shù)“尤)的定義域為R,/(x+2)為偶函數(shù)，/(2x+l)為奇函數(shù)，則()

A.=0B./(-1)=0C.〃2)=0D.44)=0

【答案】B

【分析】推導出函數(shù)/(尤)是以4為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出了。)=0,結(jié)合已知條件可得

出結(jié)論.

【詳解】因為函數(shù)“X+2)為偶函數(shù)，則八2+")=/(2-元)，可得/(x+3)=/(l—X),

因為函數(shù)〃2x+l)為奇函數(shù)，則"1—2x)=—/(2x+l),所以，/(l-x)=-/(x+l),

所以,/(x+3)=-/(x+l)=/(x-l),即〃x)=/(x+4),

故函數(shù)”X)是以4為周期的周期函數(shù)，

因為函數(shù)F(x)=f(2x+l)為奇函數(shù)，則F(0)=f(l)=0,

故/(-1)=一/(1)=0,其它三個選項未知.

2024?廣東省一模

8.(多選)已知偶函數(shù)Ax)的定義域為R,7(gx+1］為奇函數(shù)，且AM在［0,1］上單調(diào)遞增，則下

列結(jié)論正確的是()

A./f-|］<0B.C./⑶<0D.喂|>0

【答案】BD

【分析】根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)，首先推出函數(shù)為周期函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)

的符號，可得有關(guān)的結(jié)論.

【詳解】因為“X)為偶函數(shù)，所以/(T)=/(X)；

因為/(gx+lj是R上的奇函數(shù)，所以/'(1)=0,

且/［若2)的圖象是由/g)的圖象向左平移2個單位得到的，所以的圖象關(guān)于(2,0)點對稱,

進一步得/(x)的圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱，即/。+力=一〃1一到.

所以/(x+2)=/(l+(l+x))=-/(l-(l+x))=-/(-%)=-/(%),所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x).

所以函數(shù)/(X)是周期函數(shù)，且周期為4;

又〃％)在［0,1］上單調(diào)遞增，所以在［0』上,有f(x)<0.

所以函數(shù)的草圖如下：

2024?安徽蕪湖?二模

2024

9.已知函數(shù)〃尤)的定義域為R,且/(》+2)-2為奇函數(shù)，〃3x+l)為偶函數(shù)，"1)=0,則㈤

k=\

A.4036B.4040C.4044D.4048

【答案】D

【分析】根據(jù)題中/(%+2)-2為奇函數(shù)，/(3x+l)為偶函數(shù)，從而可得出為周期為4的函數(shù)，

從而可求解.

【詳解】由題意得/(%+2)—2為奇函數(shù)，所以/(x+2)—2+/(—x+2)—2=0,即

〃X+2)+〃T+2)=4,所以函數(shù)關(guān)于點(2,2)中心對稱，

由/'(3x+l)為偶函數(shù)，所以可得〃龍+1)為偶函數(shù)，則/(尤+1)=〃一尤+1),所以函數(shù)“X)關(guān)于直

線x=l對稱，

所以/(x+2)=/(-x)=-/(-x+2),從而得〃x)=〃x+4),所以函數(shù)為周期為4的函數(shù)，

因為/(1)=0,所以/()+/(3)=4,則"3)=4,

因為〃龍)關(guān)于直線x=l對稱，所以/(3)=〃—1)=4,

又因為關(guān)于點(2,2)對稱，所以/⑵=2,

又因為/(4)=/(-2)=-/(0)，又因為/(一2)=/(-2+4)=〃2)=2,所以

f(l)+/(2)+/(3)+/(4)=8,

所以Wy(%)=：x[〃l)+〃2)+/(3)+/(4)]=4048,故D正確.

k=\4

10.已知函數(shù)/(X)的定義域為R,4X-2)為偶函數(shù)，+1)=0,當xe[-L0]時，

19

f(x)=x+l,則￡/(左)=()

k=\

A.19B.0C.1D.-1

【答案】D

【分析】推導出函數(shù)/(X)是周期為4的周期函數(shù)，計算出了⑴、/'(2)、〃3)、7(4)的值，結(jié)合

19

函數(shù)的周期性可求得?化)的值.

k=l

【詳解】因為〃X—2)是偶函數(shù)，所以小-2)=〃*2),

將x換為x+2，得/(x)=/(T-x)①(即對稱軸x=-2),

又因為〃x-3)+/(—x+l)=。，所以/(x-3)=-/(—x+l),

將x換為x+3得/(x)=—/(—x—2)②(即對稱中心(-1,0)).

由①②得/(Yr)=—/(T—2),

令t=-x—2，則-4-x=/_2,所以/?-2)=-/,

將/換x得/(x-2)=—/(x)③，

將f換為為x-2得/(x-4)=-/(x-2)④.

由③④得f(x—4)=/(x),將x換為x+4得/(x)=/(x+4)⑤

所以函數(shù)/(X)是周期為4的周期函數(shù)(由對稱中心和對稱軸也可直接得到周期為4),

當xe[T，0]時，〃x)=x+l,貝了(0)=1,〃T)=0,

由③得/(—2)=—/(0)=—1,由④得〃-3)=_〃-1)=0,

根據(jù)周期性⑤得：

/(1)=/(-3)=0,/(2)=/(-2)=-1,/(3)=/(-1)=0,/(4)=/(0)=1,

所以/(1)+〃2)+/(3)+〃4)=0-1+0+1=0,

又因為19=4x4+3,故

19

^f(/:)=4[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(l)+/(2)+/(3)=4x0+0-l+0=-l.

k=l

2024?山東濟寧?一模

11.設(shè)函數(shù)八?定義域為R,〃2x-D為奇函數(shù),/(工-2)為偶函數(shù)，當xe[0,l]時，f(x)=x2-l,

則了(2023)_/(2024)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】由f(2xT)為奇函數(shù)得到函數(shù)的對稱中心，由/(x-2)為偶函數(shù)得到函數(shù)的對稱軸，進一步

求得函數(shù)的周期，然后將/(2023)與/(2024)轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間求解即可.

【詳解】因為函數(shù)f(x)定義域為R,/(2x-l)為奇函數(shù)，所以/'Qx-Dn-yX-Zx-l),所以函數(shù)f(x)

關(guān)于點(一1,0)中心對稱，且/(-1)=0,

因為/'。-2)為偶函數(shù)，所以/■(x-2)=/(-x-2),所以函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=-2軸對稱，

又因為/'(x)=-〃-2-x)=-F(-2+x)=-[-7'(-4+x)],所以函數(shù)/(x)的周期為4,

因為當xe[0,l]時，f(x)=x2-l,

所以/(2023)=/(4x506-l)=/(-l)=0,/(2024)=/(4x506)=/(0)=-l,

所以/(2023)-”2024)=1.

12.(多選)已知函數(shù)〃x)的定義域為R,若/(2x-l)+〃3-2x)=2,且/(x-2)為偶函數(shù)，42)=2,

則()

A.〃x+4)=〃x)B.”2024)=0

25

c./(3)+f(9)=2D.￡/(/)=25

1=1

【答案】BCD

【分析】首先根據(jù)函數(shù)既是中心對稱又是軸對稱，求得函數(shù)的周期，判斷A,再根據(jù)函數(shù)周期和對

稱性求值，并求函數(shù)值，判斷BCD.

【詳解】???/(2左一1)+/(3—2x)=2,.?./(X)關(guān)于(1,1)對稱

為偶函數(shù)，，“X)關(guān)于x=-2對稱

.??“X)的周期7=4口一(-2)]=12,故A錯；

〃2024)=〃T)0."(x)的周期為12)

/H)=/(O)(?.?“同關(guān)于“=一2對稱)

/(O)=2—〃2)=0關(guān)于(U)對稱)，故B正確；

/(9)=/(-3)(???/(X)的周期為12)

/(-3)=/(-1)(?."(力關(guān)于兀=—2對稱)

1)=2-"3)(?；〃x)關(guān)于(1,1)對稱)

/(-1)+/(3)=2,即/(9)+〃3)=2,故C正確；

?."(X)的周期為12

...〃2)+〃3)+…+/(13)=/(14)+〃15)+…+〃25),

/(3)+/(-1)=2,又/(一1)=/(11),所以/(3)+/。1)=2,

同理/(4)+〃10)=2,/(5)+/(9)=2,〃6)+〃8)=2,

/(7)+/(-5)=2,又/(-5)=/⑺，所以2/⑺=2,即/(7)=1,

由/■(2%一1)+〃3-2無)=2,令％=1,得2〃1)=2,/(1)=1,

/(12)=/(0)=0,

所以/。)+〃2)+/(3)+…+/(12)=12,所以/(13)+/(14)+…+124)=12,

/(25)=/(1)=1,

25

Z/(i)=24+l=25,故D正確.

1=1

故選：BCD

2024?浙江?Z20第二次聯(lián)考

13.函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足==以下結(jié)論正確的是(

A./⑶=0B."4)=0

20232023

C.2/伏)=0D.￡/(201)=0

k=lk=l

【答案】BC

【分析】首先由抽象函數(shù)的形狀判斷函數(shù)的周期，并求〃2),/(3),/(4)的值，即可求解.

【詳解】由條件“1—x)=〃l+x),可知"2+尤)=〃一力=一〃尤)，

所以f(x+4)=—/(x+2)=/(x),

所以函數(shù)/(X)是周期為4的函數(shù)，

/(3)=/(-1)=-/(1)=1,故A錯誤；/(4)=/(0)=0,故B正確；

由條件〃l—x)=〃l+x),可知〃2)=〃0)=0,所以/⑴+〃2)+/⑶+/⑷=0

2023

￡于也)=505[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+f(2021)+f(2022)+/(2023)"⑴+/⑵+”3)=0,故

k=l

C正確；

由函數(shù)的周期為4,且/⑴=一1,"3)=1,

2023

所以1)=/⑴+"3)+”5)+/⑺+…+”2021)+“2023)=0+/(2023)=/⑶=1,故D

k=l

錯誤.

2024?河北張家口?一模

14.已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足：/(x)+f(2-x)=2,f(x)-f(4-x)=0,且"0)=2.若

2024

feN*,則Z")=()

1=1

A.506B.1012C.2024D.4048

【答案】C

【分析】根據(jù)條件得到函數(shù)“X)是周期為4的函數(shù)，再根據(jù)條件得出“1)，7(2),/(3),/(4),即

可求出結(jié)果.

【詳解】?.?/(x)+/(2-x)=2,①

.?"(1+元)+/(2一(1+元))=2,

即/(l+x)+/(l-x)=2,所以〃1+同一1=一(〃1一%)-1),

所以函數(shù)“X)的圖象關(guān)于(L1)對稱,

令x=l,則/(1)+/(1)=2,所以

令龍=2,〃2)+〃0)=2,又〃0)=2,所以〃2)=0,

又,."⑺―〃4一刈=。，.-.f(2-x)=/(4-(2-x))=/(2+x),②

即函數(shù)“X)的圖象關(guān)于直線32對稱，〃3)=/⑴=1

且由①和②，得/(x)+/(2+x)=2=/(2+x)+/(4+x)=2,

所以f(x)=f(4+x),則函數(shù)的一個周期為4,

2024

則/(4)=7(0)=2,所以￡f(i)=506[/(1)+f(2)+f(3)+/(4)]=506x(1+0+1+2)=2024.

4=1

【鞏固練習1】(2024?湖南長沙.二模)已知定義在R上的函數(shù)/(%)是奇函數(shù)，對任意X6R都有

f(x+l)=f(l-x),當/(—3)=—2時，則/(2023)等于()

A.2B.-2C.0D.-4

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性推得函數(shù)/(x)的周期為4,利用周期性和奇函數(shù)特征即可

求得/'(2023)的值.

【解答過程】定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且對任意xeR都有f(x+l)=f(l—x),

故函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線％=1對稱，.*./(%)=f(2—%),故/(—%)=/(2+x)=—/(%),

.*./(%)=-f(2+%)=/(4+%),，/(%)是周期為4的周期函數(shù).

則“2023)=f(505X4+3)=/(3)=-/(-3)=2.

【鞏固練習2X2024.高三.遼寧營口?期末)設(shè)函數(shù)〃x)的定義域為R,〃尤+1)-3為奇函數(shù)，〃x+2)

2023

為偶函數(shù)，當xe［l,2］時，/(力=加+6.若+則/)

2

【答案】B

【解析】/(x+l)-3為奇函數(shù)，/(-X+1)+/(A：+1)=6,所以/(x)關(guān)于(1,3)對稱，所以

/(x)=6-/(2-x)0,且"1)=3,

又〃x+2)為偶函數(shù)，/(-x+2)=/(x+2),則/(x)關(guān)于x=2對稱，所以〃尤)=〃4一”②,

由①②可得/(4—x)=6-42—x),即f(x)=6-〃x+2),所以〃x+2)=6-/(x+4),

于是可得/(x)=/(x+4),所以/(x)的周期T=4,

則〃力=6-/(2-x)=6-/(2+x)=/(-x),所以/(x)為偶函數(shù)

則/(_1)+/(0)=/(1)+/(0)=1,所以/(0)=—2,所以/(2)=6-/(0)=8

_5

f(l]—a+b—3a3ri/、524

所以儲2)=4j3解得V所以當，中，2]時，小)=§龍+§

r3

【鞏固練習3］2021全國甲卷(理)12題

2

設(shè)函數(shù)“力的定義域為R,/(x+1)為奇函數(shù)，〃x+2)為偶函數(shù)，當xe［l,2］時，f(x)