二次函數(shù)（20大核心考點）-2024-2025學年九年級數(shù)學上冊單元速記（滬教版）（含答案）

第二十六章二次函數(shù)【單元卷?考點卷】（20大核心考點）

考點一根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)（共5題）

1.當函數(shù)>=（a+l）x2+6x+c是二次函數(shù)時，。的取值為（）

A.a=1B.a—C.1D.awl

2.若函數(shù)》=（3-〃g2+5工是二次函數(shù)，則加滿足的條件為（）.

A.機為常數(shù)，且加w0B.機為常數(shù)，且旭=3

C.m=3D.加可以為任意實數(shù)

3.若y=（〃-2）x帆+1是關于x的二次函數(shù)，則加=.

4.如果函數(shù)y=（w-3）x""T-x+2是二次函數(shù)，那么加的值為.

5.已知函數(shù)>=（加-3）x/-7（%是常數(shù)）.

⑴若該函數(shù)是一次函數(shù)，求機的值；

⑵若該函數(shù)是二次函數(shù)，求加的值.

考點二二次函數(shù)的圖象與性質（共5題）

6.二次函數(shù)y=—-2x-c的圖像經(jīng)過平面直角坐標系的四個象限，貝ijc的取值范圍為（）

A.o-lB.-l<c<0C.c>0D.c<2

7.如圖，二次函數(shù)yuaf+fev+c的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是-4,頂點坐標

為（-1,3）,則下列說法正確的是（）

A.二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=l

B.二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是1

C.當x<-l時，y隨x的增大而減小

Q

D.二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標是］

8.對于一個函數(shù)，自變量x取。時，函數(shù)值y也等于°,我們稱。為這個函數(shù)的不動點.如

試卷第1頁，共30頁

果二次函數(shù)y=-2%2+4x+c有兩個相異的不動點為，/，且占vlv%,則。的取值范圍

是.

9.二次函數(shù)〉=af+bx+c(qwO)的自變量》與函數(shù)V的部分對應值如下表:

X-5-4-3-2-10

y40-2-204

下列結論：①拋物線的開口向下；②當工>-3時，y隨工的增大而增大；③二次函數(shù)的最

小值是-2；④拋物線的對稱軸是直線x=-g,其中正確結論的序號是.

10.如圖，拋物線>=-；/+,仆+〃與x軸相交于8,C兩點(點8在點C的左邊)，與y軸

相交于點力,直線NC的函數(shù)解析式為y=-gx+2.

(2)求拋物線的解析式；

(3)在直線AC上方的拋物線上有一點M,求四邊形ABCM面積的最大值及此時點M的坐

標.

考點三二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號(共5題)

11.如圖，拋物線y=++6x+c與x軸交于點2(-2,0),8(6,0),與N軸交于點C.小紅同

學得出了以下結論：①/-4ac>0；②4a+6=0；③當時，-2<x<6；

試卷第2頁，共30頁

A.4B.3C.2D.1

12.如圖，拋物線>="2+及+。（。。0）的對稱軸為直線1=—2,并與1軸交于45兩點,

若OA=5OB,則下列結論中：

①abc>0；

②（q+c）2-b2=0；

③9a+c<0；

④若加為任意實數(shù)，則am2+bm+2b>4a,錯誤結論的個數(shù)是（）個

13.如圖，拋物線>="2+/+。（。<0）與％軸交于％,B兩點,與y軸的正半軸交于點C,

對稱軸是直線％=-1,其頂點在第二象限，給出以下結論:

①當加W—1時，a-b>am2+bm;

②若axf+bxx=axl+bx2且否wx2，則再+々二-1；

③若CM=OC,則08」；

a

其中說法正確的有.（填寫正確結論的序號）

14.已知二次函數(shù)〉="2+云+汽。30）的圖象如圖所示，有下列5個結論：①%>0；

②〃<4ac；③2c<36；④a+6>刃（加。+6）；⑤若方程辰?+bx+c|=1有四個根，貝！|這

四個根的和為4,其中正確的結論有.

試卷第3頁，共30頁

15.已知二次函數(shù)y=+bx-3a+2（"0）的圖象經(jīng)過點N（3,2）.

（1）求該拋物線的對稱軸，以及點工的對稱點2的坐標.

⑵若該拋物線與x軸交于尸（再,0）和06,0）兩點（其中再＜毛）.

①若尸。=6,求。的值；

②若再迎44網(wǎng)，求。的取值范圍.

考點四一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象判斷（共5題）

16.一次函數(shù)夕=辦+6與二次函數(shù)＞=OX2+6X+C在同一平面直角坐標系中的圖象可能是

B.

D.

17.一次函數(shù)了=ax+6和二次函數(shù)〉=0?+反+￡；（。*0）在同一平面直角坐標系中的圖象可

能是（）

試卷第4頁，共30頁

18.設我是關于x的方程無2+1-8=0的正數(shù)解，若則實數(shù)左的取值范圍

為一.

19.已知拋物線y=a/+6x+c開口向上且經(jīng)過點（1,1）,雙曲線>=,經(jīng)過點（。,兒）.給出下

2x

列結論：①6c>0；②b+c>0；③6/是關于x的一元二次方程無2+（"1）工+2=0的兩

個實數(shù)根.其中正確的結論是（填寫序號）.

20.已知二次函數(shù)%=-x?+bx+c（b,c是常數(shù)）與一次函數(shù)%=履+。（左是常數(shù)，

左w0）.

（1）若必的圖象與X軸只有一個交點（2,0）,求6,C的值；

（2）若必的圖象可由拋物線了="2+2。（°是常數(shù)，。40）向左平移2個單位，向上平移1

個單位得到，求出”的函數(shù)關系式；

（3）若上+6=3,當x22時，必<為恒成立，求左的取值范圍.

考點五二次函數(shù)的平移問題（共5題）

21.如圖，拋物線丁=-2尤2+8x-6與x軸交于點4B,把拋物線在x軸及其上方的部分記

作G，將。向右平移得G，G與X軸交于點8,D.若直線v=2x+加與G、c2共有3個

不同的交點，則加的取值范圍是（）

試卷第5頁，共30頁

7

B.-3<m<——

4

_11

C.—3<加<—2D.—6<m<----

2

22.如圖，將函數(shù)y=；（x-2）2+l的圖象沿了軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象其中點

4（1,加），8（4,〃）平移后的對應點分別為點H、B'.若曲線段掃過的面積為9（圖中的

陰影部分），則新圖象的函數(shù)表達式是（）

1

B.J;=-(X-2)92+7

1917

c.y=-(x-2)2-5D.J；=-(X-2)2+4

23.把拋物線了=2（彳-1）2+3的圖象先向上平移2個單位長度，再向右平移3個單長度，則

平移后拋物線的解析式是.

24.如圖，拋物線y=-2x2+8x-6與x軸交于點/、B,把拋物線在x軸及其上方的部分記

作G，將G向右平移得C?與X軸交于點2,D,若直線y=x+7〃與C],G共有3個不

同的交點，請你探究：

試卷第6頁，共30頁

(1)C?對應的函數(shù)表達式為;

(2)m的取值范圍是.

25.某同學將廣場上不斷變換的燈光秀抽象為線段和拋物線了=辰2-2履+3小20),并

將其一部分描畫在如圖所示的平面直角坐標系中，已知點8的坐標為(-2,0),拋物線經(jīng)過

點/(3,0).

(1)求拋物線的解析式及頂點坐標，并判斷點B是否在該拋物線上；

(2)若線段A8以每秒2個單位長度的速度向下平移，設平移的時間為/秒.

①當線段平移到點8落在拋物線上時，求/的值；

②若拋物線同時以每秒3個單位長度的速度向下平移，拋物線在〉軸及其右側的部分與

所在的直線總有兩個公共點，直接寫出/的取值范圍.

考點六二次函數(shù)的翻折問題(共5題)

26.如圖，將拋物線y=x2-2x-3在x軸下方部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，得到圖

形￡,當直線y=x+6(6為常數(shù))與圖形。恰有三個公共點時，則6的值是()

A.-1或-3B.1或一C.1或3D.3或-一

44

27.將二次函數(shù).y=-/+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖

象如圖所示，當直線＞=x+6與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點時，6的值為()

試卷第7頁，共30頁

28.已知拋物線y=xz-3x-4的圖象如圖①所示,先將拋物線在%軸下方的部分沿x軸翻折，

圖象其余部分不變，得到一個新圖象如圖②，當直線了=x+6與圖象②恰有兩個公共點時,

則b的取值范圍為一.

圖象的其余部分不變，得到一個新圖象（如圖所示），當直線了=加與新圖象有2個交點時,

m的取值范圍是.

30.如圖，已知拋物線y=a/+6x+c（a,b,c為常數(shù)，awO）交x軸于S（3,0）

兩點，交》軸于。（0,3）,將該拋物線位于直線>=加（加為常數(shù)，m>0）下方的部分沿直

線了=加翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象少”.

試卷第8頁，共30頁

⑴求該拋物線的表達式;

(2)若加=0時，直線V=x+"與圖象少有三個交點，求"的值；

⑶若直線y=x與圖象少有四個交點，直接寫出機的取值范圍.

考點七待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式(共5題)

31.一拋物線與拋物線〉=gx?-2x+3的形狀、開口方向相同，頂點為(-2,1),則此拋物線

的解析式為()

A.y-——(x-2)2+1B.y=-g(x+2)2-1

22

11

C.j/=—(x+2)7+1D.y=—(x—2)9—1

32.在“探索函數(shù)丁="2+加+<;的系數(shù)。，b,c與圖象的關系”活動中，老師給出了直角坐

標系中的四個點：題。,2),5(1,0),C(2,l),。(3,3).同學們探索了經(jīng)過這四個點中的三個

點的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對應的函數(shù)表達式各不相同，其中。的值最大為()

5

D.

6

33.已知二次函數(shù)^="2+及+。(〃、b、c為常數(shù)，QWO)的圖象與％軸交于4(-3,0),5(1,0)

兩點，貝!]5。-6+。=.

34.一拋物線的形狀、開口方向與拋物線歹=-；/一4%相同，頂點為(-3,2),則此拋物

線的解析式為.

試卷第9頁，共30頁

35.如圖，二次函數(shù)y=a/+6%+c經(jīng)過點B(3,O),C(0,-3),。為拋物線的

頂點.

SL1

MiBx

V

⑴求該二次函數(shù)的解析式；

(2)點尸在拋物線的對稱軸上，當尸/+PC最短時，的面積是

考點八二次函數(shù)與坐標軸的交點問題(共5題)

36.拋物線歹=-2(工-1)2-3與V軸交點的縱坐標是()

A.-5B.-3C.-2D.-1

37.拋物線y=a(x+加J(aw0,加w0)與坐標軸交點的個數(shù)().

A.必定是1個B.必定是2個

C.必定是3個D.可以是1個也可以是2個

38.拋物線＞=。/+歷:+＜?(420)與x軸的一個交點坐標為(-1,0),對稱軸為直線x=l,則

拋物線與x軸的另一個交點坐標為.

39.將拋物線＞=一+1向上平移2個單位后，得到的新拋物線與y軸交點的坐標

為.

40.如圖，二次函數(shù)y=(x+2)2的圖象與x軸交于點A,與V軸交于點B.

(1)求點A、B的坐標；

(2)在拋物線的對稱軸上找一點C使得BC+OC最小,并求出C點的坐標;

試卷第10頁，共30頁

(3)在拋物線上是否存在點P,使得△尸48的面積與的面積相等.若存在，直接寫出點尸

的坐標；若不存在，請說明理由.

考點九二次函數(shù)與方程、不等式關系(共5題)

41.對于一個函數(shù)，如果自變量》取。時，函數(shù)值y也等于那么我們稱。為這個函數(shù)的

不動點.如果二次函數(shù)y=-2/+4x+c有兩個相異的不動點看,無2，且不<1<%2，貝!|c的取

值范圍是()

89

A.c>—1B.c>—2C.c>—D.c>—

98

42.已知二次函數(shù)J=X2-X-2,若關于x的方程X?-X-2-左=0在-1<尤<3的范圍內有解,

則k的取值范圍是()

99

A.-3<^<4B.一3c后<4C.一一<k<4D.一一<k<4

44

43.已知二次函數(shù)y=一(3。+l)x+3(°是常數(shù)，且awO),

(1)若點(1,-2)在該函數(shù)的圖象上，則。的值為；

(2)當。=-1時，若-3WxV2,則函數(shù)值y的取值范圍是.

44.二次函數(shù)了=。尤2-2尤+1("0)的對稱軸為直線x=l,點/(2加,弘)，都在函

數(shù)y=ax2-2x+l(ar0)圖象上.

(1)a=；

(2)若必>％,則機的取值范圍為.

45.如圖，二次函數(shù).曠=如2+云+4。70)的圖象的頂點C的坐標為(T-3),與x軸交于

/(-3,0)、3(1,0),根據(jù)圖象回答下列問題:

⑴寫出方程辦2+bx+c=Q的根；

(2)寫出不等式ar2+bx+c>0的解集;

試卷第11頁，共30頁

（3）若方程"2+bx+c=左有實數(shù)根，寫出實數(shù)人的取值范圍.

⑷當-3Wx<0時，求y的取值范圍.

考點十二次函數(shù)的最值問題（共5題）

46.已知關于x的二次函數(shù)y=ax?-4ax+3a2—6當尤<0時，歹隨x的增大而減小.且當

-l<x<40t,y有最大值2.貝匹的值為（）

88

A.-B.1C.-1D.——

33

47.已知二次函數(shù)y=-/+2ax-q2+2（"為常數(shù)，且a^O）,當-3Wx41時，函數(shù)的最大

值與最小值的差為9,則。的值為（）

A.-6B.4C.一6或0D.0或一2

48.二次函數(shù)^=%2-2亦+°在04工42上有最小值-6,則a的值為

49.已知二次函數(shù)y=/+2x-3的圖象如下，在第三象限內的拋物線上有一動點尸，過點尸

作PN1.X軸，垂足為N,連接3C交PN于點。，則尸0+&C0的最大值是.

50.已知關于x的二次函數(shù)y=辦？+2辦+3.

⑴若該函數(shù)圖象經(jīng)過（-1，4）.

①求a的值；

②設拋物線與x軸正半軸交于點瓦交y軸于點C,點P是直線x=-l上的動點，求尸B+PC

的最小值及點P的坐標.

（2）在-24xf1時，該函數(shù)的最大值與最小值之差為12,求a的值.

考點十一二次函數(shù)的對稱軸、函數(shù)值等問題（共5題）

51.已知二次函數(shù)y=a無2+6無+。的y與x的部分對應值如下表.則這條拋物線的對稱軸是

（）

試卷第12頁，共30頁

52.用“描點法”畫二次函數(shù)7=辦2+云+<?（0#0）的圖象時，列出了如下表格:

1234

y=ax2+bx+c0-103

根據(jù)以上信息，當x=o時，》的值為（）

A.3B.-1C.-2D.-3

54.在平面直角坐標系中，拋物線了=加/-2加x+〃7-3與V軸正半軸有交點，則心的取值

13

范圍______，當0<x<”時，拋物線在x軸上方；當時，拋物線在x軸下方，則

----------22

m=.

55.在平面直角坐標系xQy中，點（2,"。和點（4,〃）在拋物線了=?2+法（a>0）上.

（1）若心=3,72=14,求該拋物線的對稱軸；

（2）若加="時，已知點（6,%）在該拋物線上.比較必，火的大小，并說明理由；

（3）若加〃<0,已知點（-3,%），（5,%）,（7,%）在該拋物線上.比較弘，y2,%的大小，并

說明理由.

考點十二圖形問題（共5題）

56.如圖，某中學綜合與實踐小組要圍成一個矩形菜園其中一邊靠墻，的

長不能超過25m,其余的三邊/BIC,。。用總長為40米的柵欄圍成.有下列結論：@AB

的長可以為7m；②N8有兩個不同的值滿足菜園的面積為182mZ③菜園面積的最

試卷第13頁，共30頁

大值為200m，正確結論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

57.建筑隊在工地一邊靠墻（不限長）處，用85米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形倉庫,

倉庫總面積為S平方米，為方便取物，在各個倉庫之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行

于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門，貝依的最大值為（）

58.用72米木料制作成一個如圖所示的“目”形長方形大窗框（橫檔所，G”也用木料）.其

中48〃E尸〃G7/〃CD,要使窗框ABCD的面積最大，則AB的長為,此時窗框ABCD

的面積為.

59.某農(nóng)場擬建一個矩形養(yǎng)殖場，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m,不超出墻），

另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形.已知柵欄的總長度為

10m,設較小矩形的寬為x（m）,則矩形養(yǎng)殖場總面積的最大值為

60.如圖1,有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為a為15米），圍成中

間隔有一道籬笆的長方形花圃.

試卷第14頁，共30頁

（1）如果要圍成面積為45平方米的花圃，42的長是多少米？

（2）如圖2,如果在平行于墻面的籬笆上開兩道1米寬的門，如果要圍成面積為56平方米的

花圃，的長是多少米？

（3）在（1）的條件下，能圍成面積比45平方米更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，

并說明圍法；如果不能，請說明理由.

考點十三圖形運動問題（共5題）

61.如圖1,在矩形A8C。中，BC=4,E是2C邊上的一個動點，AELEF,EF交CD于

點尸，設BE=x,CF=y,圖2是點￡從點8運動到點C的過程中，》關于x的函數(shù)圖象,

則43的長為（）

A.5B.6C.7D.8

62.如圖，在RtZ^45C中，ZC=90°,AC=6cm,5C=2cm,點F在邊力。上，從點4

向點C移動，點0在邊C5上，從點。向點8移動，若點尸，。均以lcm/s的速度同時出發(fā),

且當一點移動到終點時，另一點也隨之停止，連接尸。，則線段尸。的最小值是（）

D3m

2C

63.如圖，在△45。中，/B=90°,45=12mm,BC=24mm,動點尸從點4開始沿邊

試卷第15頁，共30頁

向8以2mm/s的速度移動（不與點3重合），動點。從點8開始沿邊5c向C以4mm/s的

速度移動（不與點C重合）.如果尸、。分別從48同時出發(fā)，設運動的時間為xs,四邊形

APQC的面積為.vmm2.則y關于x的函數(shù)解析式為.

64.如圖，在中，ZACB=9Q°,AC=3,BC=4.NC邊上有一動點P（不與N,C

重合），過點尸作于點。，連接CD.當△尸CD面積最大時，尸。的長為.

65.如圖，在ZUBC中，NB=9Q°,48=12mm,5C=24mm,動點尸從點A開始沿邊

向B以2mm/s的速度移動（不與點B重合），動點。從點B開始沿邊BC向C以4mm/s的速

度移動（不與點C重合）.點尸、。分別從A、B同時出發(fā)，若一動點運動到終點，則另一

動點也隨之停止，設運動的時間為xs.

（2）是否存在某一時刻，右尸8。與四邊形/P0C的面積相等，若存在，求出此時時間；若不

存在，請說明理由；

⑶設四邊形N尸。C的面積為戶皿2,求出y的最小值.

考點十四拱橋、投球和噴水問題（共5題）

66.在圓形噴水池的中央豎直安裝一根水管，其頂端安一噴頭，噴出水流的高度”m）與水

試卷第16頁，共30頁

c73

平距離x（m）之間滿足了=辦2+云+工，如圖所示，當龍二,時，水流達到最高點，當x=2時,

67.如圖是根據(jù)某拱橋形狀建立的直角坐標系，從中得到函數(shù)＞=在正常水位時水

面寬/5=30m,當水位上升5m時，水面寬CD=（）

A.8mB.10mC.15mD.20m

68.投擲鉛球是中考體育測試選擇項目之一，體育老師為提高小明同學的體育成績，對其推

鉛球的錄像進行技術分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進高度乂機）與水平距離M加）之間的關系為

17

J=-—（X-4）-+3,由此可知鉛球推出的距離是m.

69.某游樂場的圓形噴水池中心。有一雕塑從/點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線,

且形狀相同.如圖，以水平方向為x軸，點。為原點建立直角坐標系，點/在y軸上，x軸

上的點C,。為水柱的落水點，水柱所在拋物線第一象限部分的函數(shù)表達式為

70.如圖①，是一間學校體育場的遮陽蓬截面圖，某校數(shù)學興趣小組學習二次函數(shù)后，受

到該圖啟示設計了一個遮陽蓬截面模型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋

試卷第17頁，共30頁

物線的頂點在C處，對稱軸oc與橫梁相互垂直，且co=5,AS=10.

圖①圖②

（1）建立如圖②平面直角坐標系，求此拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若為了使遮陽蓬更加牢固，在遮陽蓬內部設計了一個矩形框架（如圖②所示），且

DE:EF=4:3,求￡尸的長；

⑶根據(jù)（1）中求解得到的函數(shù)表達式，若當p4x40+l時，函數(shù)的最大值與最小值的差為

1,求夕的值.

題型十五

71.市場調查表明：某種水果一周內的銷售率y（銷售率=售出數(shù)量+進貨數(shù)量）與價格倍

數(shù)價格倍數(shù)=售出價格+進貨價格）的關系滿足函數(shù)關系=+|（14x45.5）.根

據(jù)有關規(guī)定，該商品售價不得超過進貨價格的2倍，同時，一周內未售出的水果直接廢

棄.某商場希望通過銷售該種水果可獲取的最大利潤率是（）

A.120%B.80%C.60%D.40%

72.便民商店經(jīng)營一種商品，在銷售過程中，發(fā)現(xiàn)一周利潤y（元）與每件銷售價x（元）

之間的關系滿足y=-2（x-20）2+1558,由于某種原因，價格只能154XV22,那么一周可獲

得最大利潤是（）

A.20B.1508C.1550D.1558

73.某批發(fā)商以70元/千克的成本價購入了某暢銷產(chǎn)品1000千克，該產(chǎn)品每天的保存費用

為300元，而且平均每天將損耗15千克.根據(jù)市場預測，該產(chǎn)品的銷售價格y（元/千克）

與時間x（天）之間函數(shù)關系的圖像如圖中的折線段N8C所示.當批發(fā)商在進貨后第

天將這批產(chǎn)品一次性賣出，將獲得37500元的利潤.

試卷第18頁，共30頁

100彳

o\2040~x

74.某商廈將進貨單價為70元的某種商品，按銷售單價100元出售時，每天能賣出20個,

通過市場調查發(fā)現(xiàn)，這種商品的銷售單價每降價1元，日銷量就增加1個，為了獲取最大利

潤，該種商品的銷售單價應降元.

75.某數(shù)學興趣小組在暑假開展社會實踐活動，銷售某品牌書包，平均每天可以銷售20個,

每個盈利12元，為了擴大銷售，增加盈利，該小組決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn),

如果每個書包每降價1元，平均每天可以多賣5個.

（1）若每個書包降價x元，則可多賣個，每個盈利元；

（2）若該興趣小組同學想要一天盈利300元，每個書包應降價多少元；

（3）該興趣小組同學想要一天盈利最大，應降價多少元，所得最大利潤是多少元？

考點十六二次函數(shù)中角度問題（共5題）

76.如圖，拋物線＞=x2+bx+c與x軸交于點A,B（點A在點B左側），與V軸交于點

C（0,5）,拋物線的頂點為。，點用4,-3）在拋物線上.

⑴求拋物線的表達式；

⑵連接AE,DE,求證：ZAED=90°；

（3）點尸在拋物線上，當/尸=時，求點尸的坐標.

77.如圖，在二次函數(shù)〉=一爐+27內+2加+1（%是常數(shù)，且加＞0）的圖像與x軸交于

8兩點（點/在點2的左側），與y軸交于點C,頂點為D.其對稱軸與線段8c交于點￡,

與無軸交于點尸.連接/C,BD.

試卷第19頁，共30頁

(備用圖)

(1)求48兩點的坐標(用數(shù)字或含〃?的式子表示)，并求/08C的度數(shù)；

Q)若NACO=NCBD,求加的值；

78.如圖，拋物線y=f2+6x+c與x軸交于點/(-1,0)和2(3,0),與了軸交于點

(2)如圖1,若點M為直線BC上方拋物線一動點(與點3、C不重合)，作平行于y軸,

交直線2C于點N,當線段的長最大時，請求出點M的坐標；

(3)如圖2,若尸為拋物線的頂點，動點。在拋物線上，當NQCO=NP2c時，請求出點。

的坐標.

79.如圖，已知二次函數(shù)y=a/+2x+c的圖象與x軸交于43兩點，A點坐標為(-1,0),

與》軸交于點C(0,3).

⑴求二次函數(shù)的表達式;

試卷第20頁，共30頁

(2)在直線8c上方的拋物線上存在點0,使得=求點0的坐標.

80.如圖，拋物線了="+加+3與x軸交于點4(3,0),C(-l,0),與y軸交于點也

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知點G為拋物線在第一象限上的一點，且4CG=45。，求點G的坐標.

考點十七鉛垂高、水平寬求面積最值(共5題)

81.如圖，/、2為一次函數(shù)＞=-x+5的圖像與二次函數(shù)y=x2+6x+c的圖像的公共點，

點42的橫坐標分別為0、4.尸為二次函數(shù)y=x2+6x+c的圖像上的動點，且位于直線

⑵求的面積的最大值.

82.如圖，拋物線y=ox2+6x+c交無軸于4(一4,0),5(1,0),交＞軸于點C,且

OC=2OB.

試卷第21頁，共30頁

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)點E是該拋物線對稱軸上一點，且AEBC的周長最小，求點E的坐標；

(3)直線NC下方的拋物線上是否存在一點尸，使得AE4c的面積最大？如果不存在，說明理

由；如果存在，求點尸的坐標.

83.如圖，在直角坐標系中，二次函數(shù)>=；x2+6x+c的圖象與x軸相交于點4(—2,0)和點

8(6,0),與歹軸交于點C.

⑴求6、。的值；

(2)若點P是拋物線BC段上的一點，當△PBC的面積最大時求出點P的坐標，并求出APBC

面積的最大值.

84.如圖，已知拋物線>="2+6尤+3與x軸交于4、8兩點，過點/的直線/與拋物線交于

點C,其中4點的坐標是(1,0),C點坐標是(4,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點￡是(1)中拋物線上的一個動點，且位于直線4C的下方，試求的最大面積

及E點的坐標.

85.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線了=亦2+■+6與x軸相交于/(-2,0),5(6,0),與

V軸相交于點C,連接8c.

試卷第22頁，共30頁

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線3c上方拋物線上有一點尸，當△尸8c的面積最大時，求點尸的坐標及△P3C面積

的最大值；

考點十八二次函數(shù)存在性問題(共5題)

86.如圖，已知拋物線＞=-6x+c(a、c為常數(shù),且。*0)與x軸交于A,3(-1,0)兩

點(點A在點B左側)，與V軸交于點C,48=4.拋物線的對稱軸與X軸交于點。，與經(jīng)

過點B的直線＞=x+l交于點￡.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)在拋物線上是否存在點尸，使得AAPE是以BE為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有

得合條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

87.已知直線＞=x-4與拋物線＞=_4交于8,C兩點，點8在點C的左側.

⑴求2,C兩點的坐標；

(2)0是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點尸，使得以P,Q,B,C為頂點的

四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

88.在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+6x+c=與x軸交于點/(-5,0),B(點、A在點、B

的左側)，與y軸交于點C(0,5).

試卷第23頁，共30頁

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點P是第二象限內拋物線上一動點，求AP/C面積的最大值；

⑶在對稱軸上找一點。，使△BC。的周長最小，求點0的坐標；

(4)如圖2,若點M是拋物線上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，/、C,M,N為頂點的

四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標，請說明理由.

89.在平面直角坐標系中，已知拋物線了=◎2+云+4與》軸交于點/(4,0),

與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

⑵如圖1,點。是OC的中點，點￡為x軸上一點，尸為對稱軸上一點，一動點尸從點。

出發(fā)，沿D-E-F-C運動,若要使點P走過的路徑最短，請求出點￡、尸坐標，并求出最

短路徑；

(3)如圖2,直線V=x與拋物線交于點M,問拋物線上是否存在點。(點M除外)，使得

NQC4=NMC4?若存在，請求出點。坐標；若不存在，說明理由.

90.已知拋物線＞=辦2+區(qū)+3與x軸交于A,3兩點(點A在點3的左側)，與V軸交于點

C,拋物線的對稱軸為直線x=l,AB=4.

(1)求拋物線的表達式；

試卷第24頁，共30頁

（2）點M為拋物線上一點，若△MBC的面積與的面積相等，求出點M的坐標；

（3）點。（2,勿）在第一象限的拋物線上，連接AD,在對稱軸左側的拋物線上是否存在一點P,

使得NPBC=ND8C?若存在,請求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

考點十九二次函數(shù)新定義問題（共5題）

91.定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標互為相反數(shù)的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的

“琦點”.例如，點（L-D是函數(shù)＞=x-2的圖象的“琦點”.

⑴分別判斷函數(shù)y=-x+4,v=的圖象上是否存在“琦點，，？如果存在，求出“琦點”

的坐標；

⑵若拋物線y=6+2ax+6（a＞0）有兩個“琦點”為點/（I,加）,2（〃,-〃）,過點/作x軸的平行

線與拋物線交于點C（不與/點重合）.當△N8C的面積為10時，求拋物線解析式；

⑶若函數(shù)丁=-/+6的圖象記為小,將其繞點（0,⑼旋轉180。后的圖象記為明,當/，/兩

部分組成的圖象上恰有3個“琦點”時，求m的值.

92.有一則歷史放事：

說的是一個身在他鄉(xiāng)的小伙子得知父親病危的消息后，便日夜趕路回家.然而，當他氣喘吁

吁地來到父親的面前時，老人剛剛咽氣了.人們告訴他，在彌留之際，老人在不斷喃喃叨念：

“胡不歸？胡不歸？…”

我們一起來看看小伙子回家路況：

小伙子選擇了什么路線？很多同學都認為：兩點之間線段最短.

我們研究的不是最短路徑，而是最短時間，小伙子有沒有可能先在驛道上走一程后，再走沙

礫地，雖然多走了路，但反而總用時更短呢？如果存在這種可能，他又要在驛道上行走多遠

才最省時？

設在沙礫地行駛速度為匕，在驛道行駛速度為吟，顯然匕＜%.

假設從C處進入沙礫地，總共用時為貝打=生+江=工3C+五4C,因為匕及V2是

WV2VliV2）

確定的，所以只要［BC+F/C］最小.用時就最少，問題就轉化為要求的最

小值，我們可以畫一條以C為端點的線段，使其等于工/C,并且與線段5c位于的兩

V2

側，然后，根據(jù)兩點之間線段最短，不難找到最小值點，由三角函數(shù)的定義，以為一邊

試卷第25頁，共30頁

作=sina=匕，然后，作則?！?匕/。，最后，當點8、C、E

%%

在一條直線上時，8C+CE最小，即［3。+卜/。］的值最小，即用時最少、這類問題成為“胡

不歸”問題.

請根據(jù)上述信息解答下列問題:

(1)在RtZUBC中，ZC=90°,//=30。，BC=l,P是NC邊上一個動點，則+的

最小值為一;

⑵已知拋物線了=#+云+3與x軸交于/㈠⑼，8(3,0),C是拋物線的頂點，對稱軸與x

軸交于點D.

①求拋物線的解析式；

②若點尸是拋物線對稱軸上一點，tan/C2D=2,連接尸8,求PB+^PC的最小值.

93.對某一個函數(shù)給出如下定義：對于函數(shù)y,若當函數(shù)值N的取值范圍是

m<y<n,且滿足〃-加=/優(yōu)-〃)則稱此函數(shù)為“系郡園函數(shù)，

(1)已知正比例函數(shù)歹=”(14x44)為"1系郡園函數(shù)”，則。的值為多少？

(2)已知二次函數(shù)>=——+2辦+。2,當時，y是，”系郡園函數(shù)”，求/的取值范圍;

試卷第26頁，共30頁

(3)已知一次函數(shù)V=履+1(aWxW人且上＞0)為“2系郡園函數(shù)”，尸(x,y)是函數(shù)y=履+1

上的一點，若不論心取何值二次函數(shù)^=沉/+(加-2)x-2〃7+l的圖象都不經(jīng)過點尸，求滿

足要求的點尸的坐標.

94.定義：兩個二次項系數(shù)之和為1,對稱軸相同，且圖像與y軸交點也相同的二次函數(shù)互

為友好同軸二次函數(shù).例如＞=2/+4X-5的友好同軸二次函數(shù)為了=---2X-5.

(1)求函數(shù)V=-2X+3的友好同軸二次函數(shù)；

⑵當-1VXV4時，函數(shù)y=(l-。)/一2(1-a)x+3(亦0且awl)的友好同軸二次函數(shù)有

最大值5,求a的值.

95.定義：在平面直角坐標系中，如果一個點的縱坐標等于它的橫坐標的三倍，則稱該點為

“縱三倍點”.例如。，3),(-2,-6),(亞,3⑹都是“縱三倍點”.

(1)判斷下列函數(shù)圖象上是否存在“縱三倍點”，若存在，請求出滿足條件的“縱三倍點”；若不

存在，請說明理由.

①y=-2x+1；

(2)已知拋物線y=/+mx+"(加，〃均為常數(shù))與直線y=x+4只有一個交點，且該交點是

“縱三倍點”，求拋物線的解析式；

考點二十二次函數(shù)綜合(共5題)

96.如圖，在平面直角坐標系xQy中，拋物線y=a/+bx+2與x軸交于點和點

(1)求該拋物線的表達式及點C的坐標；

(2)已知點P(l,加)與點。都是拋物線上的點.

①求tan/PBC的值；

試卷第27頁，共30頁

②如果N°8P=45。，求點。的坐標.

97.已知拋物線y=gx2+bx+c與x軸交于42兩點(點A在點B的左側)，與V軸交于點

C,直線V=-x-6經(jīng)過點A與點C.

(1)求拋物線的表達式:

(2)點P在線段/C下方的拋物線上，過點P作BC的平行線交線段/C于點。，交y軸于點￡.

①如果C、尸兩點關于拋物線的對稱軸對稱，聯(lián)結。尸，當。尸，C