導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）

專(zhuān)題突破卷05導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

朦題生頸姒

極值點(diǎn)偏移解決零點(diǎn)問(wèn)題

題型一極值點(diǎn)偏移解決零點(diǎn)問(wèn)題

1.已知函數(shù)/(x)=lnx+l-ox有兩個(gè)零點(diǎn)%,%，且再<無(wú)2，則下列命題正確的是()

A.a>1B.再+、2<一

a

1,

C.再“2<1D.x~x>--1

2xa

【答案】D

【分析】根據(jù)零點(diǎn)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為。=電四，構(gòu)造g(x)=@E1,求導(dǎo)即可根據(jù)函數(shù)的單

xx

調(diào)性得函數(shù)的大致圖象，即可根據(jù)圖象求解A,根據(jù)極值點(diǎn)偏移，構(gòu)造函數(shù)

/2(x)=/f--xV/(x),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解B,根據(jù)再+Xz>2可得M卬2)>0,

\a)a

即可求解C,根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.

【詳解】由〃x)=0可得。=也土L令g(x)=里四，其中X>O,

xx

則直線》=。與函數(shù)g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，g\x)=~

由g'(x)>0可得0<x<l,即函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),

由g'(x)<o可得x>l,即函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8),

且當(dāng)0<x<_!■時(shí)，g(x)=lnt+1<0,當(dāng)時(shí)，g(x)=111X+1>0,g(l)=l,

exex

如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)0<”1時(shí)，直線y=a與函數(shù)g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤;

由圖可知，-<x<l<x,

e11

因?yàn)?'(x)=L_a=^^,由/'(x)>0可得0<x<L,由/'(x)<0可得無(wú)>1，

xxaa

所以，函數(shù)“X)的增區(qū)間為/J,減區(qū)間為則必有0<X1<：<X2,

121

所以，0<芭<一,則—x>—,

aai

\wc+ax,其中0<x<L

令"x)=/

a

2a\x

0,則函數(shù)“X)在(0,上單調(diào)遞減,

貝！Jh'(x)=--------F2Q=——

/x

X——x

a

所以，o,即/尸-占卜〃再)>0,即

aa

又/(X2)=/(xJ=0,可得/(xzjv/1：-%

因?yàn)楹瘮?shù)〃X)的單調(diào)遞減區(qū)間為g,+822

，貝!J%2〉--再，即X]+工2>—，故B錯(cuò)誤；

aa

axx=1叫+1兩式相加整理可得.+?叱*4'

由

ax2=lnx2+1

所以，1口(中2)〉0，可得再“2〉1，故C錯(cuò)誤;

由圖可知一<再<1<9，貝!J—再〉一1,又因?yàn)?>—，所以，x—x>—1,故D正確.

eaa21

故選：D.

2.已知函數(shù)/(x)=lnx+l-ax有兩個(gè)零點(diǎn)X1、%2,且再<9，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是

()

21

(T^)0<6Z<1;g)Xj+X<—;③)Xj,X〉1;M>----1；

,2a2a

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】由〃x)=0可得。=匕臣，設(shè)g(x)=@±U,其中x>0,則直線>與函數(shù)g(x)

XX

的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可判斷①；構(gòu)造函

^h(x)=ft--x]-f(x),其中0<x<L分析函數(shù)/z(x)的單調(diào)性，可判斷②③；分析出

)a

-<x<1<x0<X]<—<x,利用不等式的基本性質(zhì)可判斷④.

et2a2

【詳解】由〃x)=0可得“=叱*，令g(x)=^±L其中x>0,

XX

則直線》=a與函數(shù)g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，g〈x)=-竽，

由g'(無(wú))>0可得0<無(wú)<1,即函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),

由g'(x)<0可得》>1,即函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+co),

且當(dāng)。<x.時(shí)，g(x)=W±l<。,當(dāng)X《時(shí)，g(上下>。,如下圖所示:

尸

g(x)y=a

由圖可知，當(dāng)0<。<1時(shí)，直線與函數(shù)g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，①對(duì)；

對(duì)于②，由圖可知，|<%,<1<x2,

因?yàn)?'(x)=L_q=a,由/'(x)>0可得0<》<4，由/'(“<0可得

xxaa

所以，函數(shù)的增區(qū)間為/J,減區(qū)間為&,+，],則必有0<%<：</,

121

所以，0<再<一,則—％]>一,

aaa

令=—x]—/(x)=ln『————+其中0<x<L

則/(x)=--—+2tz=

x--乙x

a

所以，/z(X])>/z]：]=O,即即,

又/52)=0,可得/(X2)</[-xJ,

因?yàn)楹瘮?shù)〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[L+s],則工2>“再，即再+%>2,②錯(cuò)；

\a)aa

對(duì)于③，由兩式相加整理可得+In,工)+2>2,

^ox2=lnx2+laa

所以，111(%1%2)>0,可得玉々>1,③對(duì)；

對(duì)于④，由圖可知!<再<1<%，則-%>T,又因?yàn)閄2>,，所以，x2-Xj>--1,④對(duì).

eaa

故選；C.

3.已知函數(shù)/(x)=Ex-辦有兩個(gè)零點(diǎn)多，%2(^<x2),則下列說(shuō)法：

①函數(shù)/(x)有極大值點(diǎn)%,且再+工2>2%；

2

②x{x2>e；

3

X]+2超>一；

a

④若對(duì)任意符合條件的實(shí)數(shù)。，曲線y=/(x)與曲線y=6-1最多只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

b的最大值為ln2.其中正確說(shuō)法的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】分類(lèi)討論〃X)的單調(diào)性，即可得a,為，X2的范圍，根據(jù)/'(x)=0,得到X。和。

之間關(guān)系，構(gòu)造g(x)=，xe]o,￡j,可知g(x)單調(diào)遞減,由此得到g(xj>0,

即可判斷①；對(duì)/'(占)=/(無(wú)2)=。進(jìn)行變形化簡(jiǎn)，即可判斷②；根據(jù)①中。，占,%?的范

圍，即可判斷③；構(gòu)造〃(x)=lnx-ax+L當(dāng)時(shí)，可知〃(x)單調(diào)遞減，則方程〃(x)=b

最多有一個(gè)根，當(dāng)0<a<；時(shí)，〃'(%)=0有兩根，由x->+8時(shí)，A(x)->-co,只需考慮〃(無(wú))

極小值，根據(jù)〃(x)單調(diào)性求得極小值，進(jìn)而求極小值的范圍，即可求得b的范圍，即可判

斷④.

【詳解】解：因?yàn)椤▁)=lnx-ax(x>0),所以/(x)=：-a,

當(dāng)a<0時(shí)，r(x)>0,/(x)在(0,+向上單調(diào)遞增,

則/(x)最多有一個(gè)零點(diǎn)，故不符合題意，舍；

當(dāng)〃>0時(shí)，令/''(X)」-a=0,解得x=L

xa

當(dāng)時(shí)，r(x)>o,〃x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe化+81時(shí)，r(x)<0,/(X)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)X=L,/(X)取得極大值點(diǎn)，即x0=L

aa

因?yàn)?(》)=11?-辦有兩個(gè)零點(diǎn)X1,12(再<%)，

所以0<X]<1<X2，且有=--a—>0,解得0<a<—,

a\a)aae

設(shè)g(x)=/1*|-x>/(x),xe]o,j

所以

由g(x)H卜⑺"一1_ci(—x]_(lux-ax)

=In|x|-Inx-2+2ax,

)

\T1022c

rg(%)一。1-2c,+2/7=-----------+2Q

所6以rJ2%ax—2xf1}1,

--Xa\x---

aVa)a

由g￡)=。,當(dāng)所以《"2一中,0〕,

、a)a\a)

人口」士"),所以/(

x)<0,故g(x)單調(diào)遞減，

(a)a

所以在xe[o,J時(shí)，g(x)>g\j=

因?yàn)?<西<工，所以g(xi)=/12_x]—/(xJ>0,

a\a)

即/(占)=/(%)，

因?yàn)閄2>-,/(x)在j±+oo]單調(diào)遞減，

aaa\aJ

22

所以--X<x,即玉+%2>—=2工0，故①正確；

ax2a

2

由/(x)=lnx-QX有兩個(gè)零點(diǎn)』,工2(花<m2)，且西+工2>—=2%,

a

所以1口不二啊,!!!々=。%2，故占=e*,%2=e%,

2

所以xm=e"f)>e'=e2,故②正確；

213

由①知玉+%>—=2%,x>—,所以再+2工2>—，故③正確;

a2aa

因?yàn)榍€y=/(x)與曲線夕=6-1最多只有一個(gè)公共點(diǎn)，

X

所以Inx-Qx+：=b在aw］。,：］時(shí)最多只有一根.

axx

令/z(x)=lnx-ax+L則_1一。--L=~'［~^,

xxxx

令A(yù)=1-4QW0,即時(shí)，/zr(x)<0,單調(diào)遞減，

此時(shí)方程h(x)=b最多有一個(gè)根，

當(dāng)0<a<；時(shí)，A>0,所以力'(％)=0有兩根％3，%，

人e1-71-46/21+J1—4-2

令工3<%，貝I9=-----------------------=-----------/:，%=--------=----/，

2a1+Jl—4-2a1-Jl—4〃

由韋達(dá)定理，可知退+%=—>0戶(hù)3，丫4=一>0,故鼻,》4>°，

aa

所以在(0,而)上力'(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

在(鼻64)上”(x)>0,單調(diào)遞增,

在門(mén)4，+8)上，7'(X)<O,力(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)Xf+8時(shí)，〃(尤)f_oo,所以只需考慮“X)極小值即可,

根據(jù)〃(無(wú))單調(diào)性，可知X=尤3為，7(X)極小值點(diǎn),

2

即〃(％)=0，BP-OX3+X3-1=0,即

X3

以〃(％3)=In/-(1X3H=Inx3H----1,

X3X3

22

由W=率E<2,^M(x)=lnx+--1,

17x—9

則/(x)=L-1=一，當(dāng)x<2時(shí)，/(x)<0,“(X)單調(diào)遞減，

XXX

所以〃(%3)=〃(%3)>〃(2)=1112,所以b?ln2,

即實(shí)數(shù)b的最大值為ln2,故④正確.

故選：D.

4.已知函數(shù)/(力=(，對(duì)于正實(shí)數(shù)°,若關(guān)于/的方程恰有三個(gè)不同的正實(shí)

數(shù)根，則。的取值范圍是()

A.(1,8)B.(e2,8)C.(8,+℃)D.(e2,+<?)

【答案】D

【分析】研究/(x)=(的圖像可知，若/⑺=/(力，令%=也=：則〃xJ=〃X2),

且不,%>1,可以推出，毛=%或西馬=%通過(guò)對(duì)數(shù)不等式寫(xiě)出關(guān)于±X2的不等式，即可求

出。的范圍

【詳解】因?yàn)?(x)=￥，/(x)=L等，令/(無(wú))=上詈>0得：0<x<e；令

/(司=匕詈>0得：x>e,所以〃x)在區(qū)間(O,e)單調(diào)遞增，在(e,+⑹單調(diào)遞減，且

X-8時(shí)，〃x)>0恒成立，“X)的圖像如下:

令再=/,尤2=亍，則/(再)=、(無(wú)2)，且巧，了2>1

①當(dāng)國(guó)=X2時(shí)，/=//=&,成立，所以血是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根

②當(dāng)芯片超時(shí)，由/(再)=/(%)得：電土=蛆匕，令電工=電土_=優(yōu)

\mx=lnxInx,-lnxInx,+lnx

則：},兩式相減得：時(shí)十寸9,兩式相加得：加二丁丁9

所以：」「；2=，由對(duì)數(shù)均值不等式得：<學(xué)

In再-Inx2In演+Inx2In西-lnx22

Xy+X.+Xocdr

所以：1-----r—<—L，且所以In%龍2>2,xtx2>e,即：t——=a>e~

In%1+Inx22t

所以a>e?

故選：D

5.關(guān)于函數(shù)/(x)=1+lnx,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.>2是的極小值點(diǎn)

B.函數(shù)y=/(x)-x有且只有i個(gè)零點(diǎn)

C.存在正實(shí)數(shù)后，使得/(左)>丘恒成立

D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)X1,x2,且再>迎，若/(網(wǎng))=/口2),則X]+X2>4

【答案】C

【分析】對(duì)于A,分析/(x)導(dǎo)函數(shù)可作判斷；對(duì)于B,考查函數(shù)y=/(x)-尤的單調(diào)性可作

判斷；對(duì)于C,分離參數(shù)，再分析函數(shù)△”最值情況而作出判斷；對(duì)于D,構(gòu)造函數(shù)

X

g(x)=/(x)-/(4-x)(0<X<2)討論其單調(diào)性，確定g(x)>0即可判斷作答.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：〃x)定義域?yàn)?0,+8),/(無(wú))=_=+士=

XXX

0<x<2時(shí)J'(x)<0,%>2時(shí)f\x)>0,

x=2是〃無(wú))的極小值點(diǎn)，A正確；

r2-r+?

對(duì)于B選項(xiàng)：令h(x)=/(x)-x,/(x)=----------<0,

X

〃(x)在(0,+8)上遞減，A(l)=l,/z(2)=ln2-l<0,

/z(x)有唯一零點(diǎn)，B正確；

—C3+HA/、f(無(wú))2Inx,,、xlnx-x+4

對(duì)于C選項(xiàng)：令p(x)=----=—+——#(x)=-------§-----,

令F(x)=xlnx-x+4,Fr(x)=Ine(0,1)時(shí),F\x)<0,xe(1,+oo)時(shí),F\x)>0,

尸(x)在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增,貝1!尸㈤11m=21)=3>0,

000<0,e(x)在(0,+8)上遞減，9(x)圖象恒在X軸上方,

與X軸無(wú)限接近，不存在正實(shí)數(shù)k使得/(可>近恒成立，C錯(cuò)誤;

對(duì)于D選項(xiàng)：由A選項(xiàng)知，/(無(wú))在(0,2)上遞減，在(2,+co)上遞增,

因正實(shí)數(shù)X1,%2,且再>馬，/(再)=/(%2),貝(再，

0<x<2時(shí)，令g(x)=/(%)-7(4—%),

-8(x-2)2

X2(X-4)2

即g(x)在(0,2)上遞減,

于是有g(shù)(x)>g(2)=0,從而有/(再)=/(%2)>/(4-%2)，

又4一無(wú)2>2,所以尤［>4一9，即匹+無(wú)2>4成立，D正確.

故選：C.

2

6.關(guān)于函數(shù)〃x)=—+lnx,下列說(shuō)法正確的是()

x

A.x=2是/(x)的極大值點(diǎn)

B.函數(shù)7=/(x)-x有2個(gè)零點(diǎn)

C.存在正整數(shù)左，使得/(x)>去恒成立

D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)X1,三,且無(wú)］2馬，若/(再)=/(%2)，則無(wú)1+%2>4

【答案】D

【分析】對(duì)A,求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間即可判斷；

對(duì)B,對(duì)函數(shù)/(x)-x求導(dǎo)得出單調(diào)區(qū)間即可進(jìn)一步得到結(jié)果；

對(duì)C,分離參數(shù)4</區(qū)，通過(guò)￡㈤的單調(diào)性和函數(shù)變化趨勢(shì)即可判斷；

XX

對(duì)D,根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將自變量比較大小轉(zhuǎn)化為函數(shù)值比較大小，用極值點(diǎn)偏移的

方法得到結(jié)論.

【詳解】對(duì)A,x>0,r(x)=-4+-=^,函數(shù)在J,2)單減,在(2,+8)單增，

x=2是“X)的極小值點(diǎn)，A錯(cuò)誤;

+4，函數(shù)在(0,+?)單減，至多一

對(duì)B,-x?+x-2

%>0,/=-^+--1=:——-------^<0

2

XXX

個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤;

對(duì)C,f3>kx=k<叵,令g(x)="^,則g，(x)=-4+x「lnx,

XXX

設(shè)〃(x)=—4+x—xlnx,則l(x)=-lnx,函數(shù)在(0,1)單增，在。,+8)單減，

所以力⑴(人⑴=一3<0,.?.g'(x)v0,

則函數(shù)g(x)在(0,+8)單減,無(wú)最小值，且當(dāng)％->+8時(shí),g(x)f0,C錯(cuò)誤;

對(duì)D,不妨設(shè)0<%2<玉，易知玉>2,。<工2<2,

玉+%>40西>4一々，且再>4一%>2,

因?yàn)楹瘮?shù)“X)在(2,+8)單增,則〃XJ>〃4-X2)O/(X2)>/(4-X2),

即證：/(x)>/(4-x),xe(O,2),記Mx)=/(x)-〃4-x),xe(O,2),

所以〃(x)H；<0,所以"x)在(0,2)單減，所以%(x)>力(2)=0,

x(4-x)

BP/(x)>/(4-x),所以無(wú)］+%>4,D正確.

故選：D.

7.已知函數(shù)/(幻="-"有兩個(gè)零點(diǎn)占，%2,則下列判斷：①。<。；②玉+乙<2；③

國(guó)“2>1；④有極小值點(diǎn)不，且再+%2<2%.則正確判斷的個(gè)數(shù)是()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】D

【解析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】對(duì)于①

fXx)=ev-67

當(dāng)aV0時(shí)，/(x)=e*-。>0在xeH上恒成立，/(工)在R上單調(diào)遞增，不符合.

當(dāng)。〉0時(shí)，由/'(%)=ex-6?>0,ex-a>0解得x〉Ina,

/"(x)=ex-a<0,解得x<lna

f(x)在(-oo,Ina)單調(diào)遞減,在(Inq,+oo)單調(diào)遞增.f(x)在x=Ina有極小值，

「函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)項(xiàng),％2，

/./(Intz)<0,a>e,

???①不正確；

對(duì)于②

x

e'=ax,丫4丫9

因?yàn)獒?^>e12=Q玉%n/+%2=21nQ+ln(X[%2),Q>e

X2

[e=ax2

x{+x2=2\na+1口(再々)>2+ln(x1x2),

2

取〃=萬(wàn)，/(2)=/-2a=0,/.x2=2,/(O)=1>0,/.0<^<1,z.xr+x2>2

②不正確；

對(duì)于④

/(O)=1>O,/(l)=e-t7<0,;.0<x,<l<lnx0,x2>lnx0>1

函數(shù)的極小值點(diǎn)為%=Ina

要證X]+x?<2x0,只要證X]<2XQ—%</

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在(-叫Ina)單調(diào)遞減，故只需要證/(X2)=〃xj>〃2x°-X2)

xx,x

構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-/(2x0—x)—e—e''~—lax+2ax0(x>x0)

求導(dǎo)得到g'(x)=e-"+e2x°~x-7.a>2后丁-2a=Q

所以函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，g(x°)=O,，g(x"O恒成立，

.-./(x)>/(2x0-x)即/仁)>/(2%-引,故得到/(引=/(再)>/(2%-%)

進(jìn)而得證：xl<2x0-x2<x0,xl+x2<2x0.

故④正確.

對(duì)于③

eX{=ax,丫*丫

因?yàn)?lt;ne司"2=〃X9]%=%+々=21nQ+111(/入2)

X2

\e=ax2

根據(jù)再+工2<2%=2\na,可得到<L

③不正確.

綜上正確的只有一個(gè)，

故選：D.

8.已知函數(shù)〃x）=x3+2的圖象與函數(shù)g（x）=履的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)（再,以）、區(qū),%）、

（W，%），其中國(guó)<尤2〈無(wú)3.給出下列四個(gè)結(jié)論：①人>3；②不<-2;③無(wú)2+無(wú)3>2;

@X2X3>1.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）個(gè)

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由題意，函數(shù)〃x）=d+2的圖象與函數(shù)g（x）=&的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化

為方程左=二^有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，進(jìn)而函數(shù)〃（x）=厘±^與y=左的圖象有三個(gè)不同的

交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)力（X）的單調(diào)性和極值，即可得到答案.

【詳解】由題意，函數(shù)〃》）=/+2的圖象與函數(shù)g（x）=&的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

即方程/+2=丘，有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，顯然0不是解，即左=匕±^有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,

X

3

即函數(shù)人卜）=日Y+產(chǎn)2與歹=左的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

又由〃（x）="=S=2（l*+x+l）,

XXX2

當(dāng)工￡（-8,0）或X￡（O,1）時(shí)，1（X）<O,函數(shù)〃（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)X￡（1,+OO）時(shí)，〃（X）〉O,函數(shù)〃（%）單調(diào)遞增，

其圖象如圖所示，且當(dāng)X=1時(shí)，"1）=亨=3,

要使得函數(shù)〃（x）=土詈與歹=上的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則上>3,所以①正確的；

3?7

當(dāng)左=3時(shí)，即r上上=3,解得x=l或1二一2,所以當(dāng)左>3時(shí)，貝IJ項(xiàng)<-2,所以②是正確的；

x

易知0<%2<1<工3，由工2+工3>2,%3>2-％2，貝

需證〃（%）>%（2-12），即證力（%2）〉力（2-工2）,A（x2）-/z（2-x2）>0,

令7/（%）=<x<l）,H'^x）=l（x）+/（2-x）,

、2（X3-1）2］（2一x）3一1］Pii11「

=-----------=----------------l=2（x-l）-+--------------------

㈠x2（2-x）21x/2-x（2一x7）［

=2(1)、1+L，

x2-x

由0vx<l,貝！Jx—1<0,1<一,1>------>—即-------->0,1H1-------->0,

x2-x2fx2-xx2-x

故"(x)<0,則"(x)在(0,1)單調(diào)遞減，〃(x)>8⑴=0,故無(wú)2+%>2,所以③是正確的;

X3+2r3+2

又由二一=二一，整理得(X2-X3)[X2X3(X2+X3)-2]=0,

%退一一一

又因?yàn)楣?-％3<0，所以％2%3(%2+%3)-2=0,即％2%3=l'

12一

2

結(jié)合③可知"2%3=^^<1，所以④是錯(cuò)誤的，

9.已知/(x)=e，-ox有兩個(gè)零點(diǎn)再<%,下列說(shuō)法正確的是

A.?<eB.x；+x2>2

C.Xj-x2>1D.有極小值%且再+x?>2xo

【答案】B

【分析】使用排除法可得.利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，利用導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)化簡(jiǎn)/(%)<0可排除A；

e2

構(gòu)造函數(shù)以x)=/(x)-/(2x°-x),x>x。，利用單調(diào)性可排除D；,通過(guò)計(jì)算可排除

2

C.

【詳解】??,/'a)=eX-%.?.當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(X)為單調(diào)遞增函數(shù)，至多一個(gè)零點(diǎn)，所以

a>0

令e*o=a，解不等式e*-a<0得x<lna=Xo,解不等式e*-a>0得x>Ina=x(),

則/(X)在(-雙X。)上單調(diào)遞減，在(%,+8)上單調(diào)遞增，

所以看為〃尤)極小值點(diǎn)，且0<占</<X2,/(?%)<()=>e*。-ax。<0

a-a\na<0=>lna>\=>a>efA錯(cuò)誤.

所以0<再<1<//

^h(x)=f(x)-f(2xQ-x),x>xQ,

x2x-x2x-x

則/z(x)=e-ax-[e°-a(2x0-x)]=e"-e°-2ax+2axQ,x>x0

因?yàn)閔\x)=ex+e2x°-x-2a>2盛產(chǎn)7-2a=2e'。-2a=0

x

所以叔向)>力(%)=0=>f(2)>/(2%0-%2)=>/(^)>f(2x0-x2),西,2x0-x2e(O,xo)

=>再<2XQ-x2=>+x2<2XQ,不選D

令。=},，〃2)=0,〃；)<0,，再€(0,3),無(wú)2=2,玉工2<1，再?%<1,不選c.

故選：B.

10.己知函數(shù)/(x)=x2+兀cosx+a在(0,兀)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)尤”了2(占<Z),給出下列結(jié)

論：①尸(網(wǎng))<0；②/'(%)>0;③網(wǎng)+馬〈兀.其中錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】由導(dǎo)數(shù)法判斷/(x)單調(diào)區(qū)間，結(jié)合單調(diào)性與零點(diǎn)的關(guān)系，即可判斷①②；

構(gòu)造g(x)=/(x)-/(n-x),x10,3，由導(dǎo)數(shù)法判斷g(x)單調(diào)遞增，可建立不等式

/(x2)</(7i-x,),再結(jié)合〃x)單調(diào)性即可得赴〈兀-%，即可判斷③.

【詳解】

如圖所示，結(jié)合圖像易得，在畫(huà))上，，'(x)<0,則單調(diào)遞減；在修無(wú)]上

r(x)>o,則〃x)單調(diào)遞增，

又/(X)在(0,兀)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)再/2(不<x?),則占e1o,3，X2eg,j,

，

.?./'(再)<0,/(x2)>0,故①②正確；

對(duì)于③，構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃x)-/(7i-x),xe/3，則g(x)=2?tx+27icosx-兀2,

gz(x)=2Ml-sinx)>0,

二8(可在(0口上單調(diào)遞增，g(x)<g]|J=0,即/(%)</(兀-x),即

/(X2)=/(X|)</(7I-X1),

又在上單調(diào)遞增，，二七〈兀一七，.?.國(guó)+馬<兀，故③正確.

故選：A

11.已知。>b,c>d,——=-^—=1.01,(l-c)e°=(l-d)e"=0.99,則()

a+\6+1

A.a+b<QB.c+d>0C.a+d>QD.b+c>0

【答案】D

【分析】先構(gòu)造函數(shù)/(x),通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性確定6的大致范圍，再構(gòu)造

/z(x)=ln/(x)-ln/(-x),通過(guò)函數(shù)為(x)的單調(diào)性確定d與-c的大小關(guān)系，進(jìn)而得到A選

項(xiàng);先構(gòu)造函數(shù)g(x),通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性確定c"的大致范圍,再構(gòu)力(x)=lng(x)-Ing(-x),

通過(guò)函數(shù)4x)的單調(diào)性確定d與-c的大小關(guān)系，進(jìn)而可知B選項(xiàng)錯(cuò)誤；通過(guò)

，(x)=晨\，得到g(-a)>g(])，進(jìn)而可得-。與”的大小關(guān)系，進(jìn)而可知C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D與C選項(xiàng)同樣的方法即可判斷.

abx

【詳解】對(duì)于A,—=1,01>0,：.a>-l,b>-l,令=則

a+\6+1-1+x'7

所以在(TO)單調(diào)遞減，在(0,+。)上單調(diào)遞增，且〃0)=0,故。>0,-1<6<0.

令〃(x)=ln/(x)-lnf(-x)=2x-ln(x+l)+ln(-x+l),xG(-1,1)

1_1o

則〃，(x)=2--7+[^=2-E<0,所以“x)在(-M)上單調(diào)遞減，且〃(0)=0,

■.-be(-1,0),:.In/(Z>)-In/(-Z?)>0,f(b)>f(-b),f(a)>f(-b)

a>-b即a+6〉0，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,.「(l-c)ec=(l-t/)eJ=0.99>0,

c<l,d<1令g(x)=(l-x)e"(x<1),

則g〈x)=re)所以g(x)在(-8,0)單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減,

且g(O)=l,故0<c<l,』<0.

令加(%)=lng(x)-lng(-x)=2x-In(x+1)+In(-x+1)=G(-1,1)

所以加(x)在(Tl)上單調(diào)遞減，且加(0)=0,

??,ce(0,1),Ing(c)-Ing(-c)<0,g(c)<g(-c),

二.g(d)<g(—c)，，即c+d<0,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，“(“=小，??聞一。)=肅=咨>099，”(-1,0),

，g(-a)>g(d)，又；g(x)在(-叫0)單調(diào)遞增，-a>d,:.a+d<0,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由C可知,g(-6)>g(c),-6e(O,l),又「g(x)在(0,1)單調(diào)遞減，

:.-b<c,故選項(xiàng)D正確.

故選：D.

12.已知。>1,X],x2,毛均為/的解，且占<%<%,則下列說(shuō)法正確的是()

2

A.X,e(-2,-l)B.ae(l,eD

C.M+%<°D.%+工3<2e

【答案】B

【分析】A選項(xiàng)：根據(jù)“三個(gè)等價(jià)”，將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成構(gòu)造出的函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，利用

零點(diǎn)存在性定理確定出多的取值情況；B,C,D選項(xiàng)：對(duì)方程變形，參變分離構(gòu)造函數(shù)，

從函數(shù)的角度以及利用極值點(diǎn)偏移可以得出相應(yīng)結(jié)論，詳細(xì)過(guò)程見(jiàn)解析.

【詳解】對(duì)于A,令/5)=優(yōu)--,因?yàn)椤?gt;1,所以/(x)在(-?,0)上單調(diào)遞增，與x軸有

唯一交點(diǎn)，

由零點(diǎn)存在性定理，得=/(0)=?°-0>0,則%€(-1,0),故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,C,D,當(dāng)x>0時(shí)，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，并分離參數(shù)得到”=皿，

2x

人/、Inx“、1-lnx

令g(x)=——，，g(x)=——，

XX

當(dāng)xe(O,e)時(shí)，g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(e,+oo)時(shí),g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

如圖所示，

y，

一；------------------.■.當(dāng)x>0時(shí)，y=字與g(x)=叱的圖象有兩個(gè)交

------夫---

(9/17^---------e'----------------?X2X

點(diǎn)，

In6f12

—e(0,~),解得ae(l,/)，故B正確；

x2e(l,e),由A選項(xiàng)知再€(-1,0),.,.玉+%>。，故C錯(cuò)誤；

由極值點(diǎn)偏移知識(shí)，此時(shí)函數(shù)g(x)的極值點(diǎn)左移，則有叢〉e,故D錯(cuò)誤.

故選：B.

題型二極值點(diǎn)偏移解決不等式問(wèn)題

13.已知函數(shù)/(x)=e'-x,則下列說(shuō)法正確的是()

A./(x)在R上是增函數(shù)

B.Vx>l,不等式/(加2)恒成立，則正實(shí)數(shù)。的最小值為：

C.若/(x)=l有兩個(gè)零點(diǎn)玉,馬，則玉+工2>0

D.若過(guò)點(diǎn)河(1,⑼恰有2條與曲線y=/(x)相切的直線，貝『1<加<e-l

【答案】BD

【分析】A選項(xiàng)，求導(dǎo)，解不等式，求出函數(shù)的單調(diào)性；B選項(xiàng)，x>l,所以">0,

lnx2>0,結(jié)合函數(shù)〃無(wú)）的單調(diào)性，得到辦2班2口>1）,分離參數(shù)，得至此之任，構(gòu)造

X

〃（x）=3U（x>l）,求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，得到Mx）皿x=〃（e）=2,從而求出。2工；c

xQe

選項(xiàng)，構(gòu)造差函數(shù)g（尤）="X）-/（一力=e-「―2x,（尤>0）,求導(dǎo)得到g（X）在（0,+8）單調(diào)

遞增，故〃為）=/6）>〃-%），根據(jù)〃尤）在（-雙0）上單調(diào)遞減，得到所以占+工2<0；D

選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)為得到函數(shù)在x=x。處的切線方程，將點(diǎn)（1,加）代入，得到

x

m=e^2-x0）-l,設(shè)0（x）=e"-x）-l,求出研”的單調(diào)性，且0（l）=eT,結(jié)合函數(shù)特

殊值，求出加=e'"（2-Xo）-l有兩解，貝

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椤▁）=e=x,所以/'（x）=e'-l,

令人x）>0,解得x>0,令人x）<0,解得x<0,

所以〃x）=e=x在（-雙0）上單調(diào)遞減，在（0,+8）上單調(diào)遞增.故A錯(cuò)誤:

對(duì)于B：因?yàn)椤檎龑?shí)數(shù)，x>l,所以ox>0,lux?〉。,

結(jié)合函數(shù)/'（x）的單調(diào)性，可知：f（ax）>f（\m2^ax>\nx2（x>l）.

所以此陋，

1m

設(shè)/；(工)=生土(％>1),則"(x)=2。2

XX

由//3=2（121rl^）>0可得:x<e.

所以〃（X）在（l，e）上單調(diào)遞增,在（e,+8）上單調(diào)遞減，所以〃（尤）皿=〃（e）=*.

e

22

故。之士,所以正實(shí)數(shù)〃的最小值為一，故B正確；

ee

對(duì)于C：如圖：

因?yàn)?(x)=f有兩個(gè)零點(diǎn)孫X],結(jié)合函數(shù)〃無(wú))的單調(diào)性，

不妨設(shè)再<0，%2>°.貝I」一再>0.

設(shè)S(x)=/(%)-/(-工)=QX-x-e~x-x=ex-e~x-2x,(x>0),

那么g'(x)=e￡-1+eT-1=e*+er-222^ex-e-x-2=0在(0,+功上恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)e"=er,即x=0時(shí)，等號(hào)成立，又xwO,

故g'(x)>0,

所以g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以>0在(0,+。)上恒成立，所以〃x)>/(-x)(x>0).

由/(再)=/(%)>/(-無(wú)2)，且“X)在(一8,0)上單調(diào)遞減，

所以X]<-%nX]+z<0.故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：=設(shè)切點(diǎn)為(與聲。-X。)，切線斜率為e'。-1，

AA

所以函數(shù)在x=x()處的切線方程為：y-e°+x0=(e°-l)(x-x0),

Ax

因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)(1,加)，所以加-e』+x0=(e°-l)(l-x0)^>w=e°(2-x0)-l,

設(shè)夕(x)=e*(2-x)-l,所以,由"(x)=e*(l—x)>0nx<1,

所以夕(X)在(-嗎1)上遞增，在(1,+8)上遞減，

且夕(l)=e-l,當(dāng)無(wú)<0時(shí)且xf-8時(shí)，夕(x)f-l.

因?yàn)樗?e%(2-毛)-1有兩解，則一故D正確.

故選：BD

14.關(guān)于函數(shù)/(x)=±+lnx,下列說(shuō)法正確的是()

X

A.x=2是/(x)的極大值點(diǎn)

B.函數(shù)y=/(x)-x有且只有1個(gè)零點(diǎn)

C.存在正整數(shù)左，使得/(x)>壯恒成立

D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)為,三，且X]HX2，若/(XJ=/(X2),則X]+X2>4

【答案】BD

【分析】分析，⑴導(dǎo)函數(shù)可作判斷A；考查函數(shù)y=〃x)-x的單調(diào)性可作判斷B；分離參

數(shù)，再分析函數(shù)4以最值情況而作出判斷C；構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-〃4-x)(0<x<2)討論

X

其單調(diào)性，確定g(x)>0即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,7⑴定義域?yàn)?。,+8),/(x)=-4+1=±^，

XXX

0<x<2時(shí)J'(x)<0,x>2時(shí)八x)>0,x=2是"x)的極小值點(diǎn),A錯(cuò)誤;

X2—Y+2

對(duì)于B,令h(x)=/(x)-x,h\x)=---------<0，

x

〃(x)在(0,+8)上遞減，〃⑴=l〉0,〃(2)=ln2-l<0,〃(x)有唯一零點(diǎn)，B正確；

-人/、/(%)2Inx，/、xlnx-x+4

對(duì)于C,令。(x)=4Z==+一,(p\x)=------------，

XXXX

令令%)=xlnx-x+4,F'(x)=Inx,xG(0,1)時(shí),F\x)<0,xG(1,+oo)時(shí),F(x)>0,

尸⑸在(0,1)上遞減，在(I+8)上遞增，則/(工篇=21)=3〉0,

0(x)<o,e(x)在(0,+co)上遞減，9(x)圖象恒在X