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河南省南陽信陽等六市2024年高三下學(xué)期考前沖刺(三)數(shù)學(xué)試題試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若時,恒成立,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.2.若,則,,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.3.若實數(shù)滿足不等式組,則的最大值為()A. B. C.3 D.24.記的最大值和最小值分別為和.若平面向量、、,滿足,則()A. B.C. D.5.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B.2 C.4 D.36.如圖是計算值的一個程序框圖,其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A.B.C.D.7.過拋物線()的焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點.,且在第一象限,則()A. B. C. D.8.在展開式中的常數(shù)項為A.1 B.2 C.3 D.79.一個袋中放有大小、形狀均相同的小球,其中紅球1個、黑球2個,現(xiàn)隨機等可能取出小球,當(dāng)有放回依次取出兩個小球時,記取出的紅球數(shù)為;當(dāng)無放回依次取出兩個小球時,記取出的紅球數(shù)為,則()A., B.,C., D.,10.已知函數(shù)(表示不超過x的最大整數(shù)),若有且僅有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知a>b>0,c>1,則下列各式成立的是()A.sina>sinb B.ca>cb C.a(chǎn)c<bc D.12.若雙曲線:繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)后可得某一函數(shù)的圖象,則的離心率等于()A. B. C.2或 D.2或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為拋物線:的焦點,過作兩條互相垂直的直線,,直線與交于、兩點,直線與交于、兩點,則的最小值為__________.14.已知,(,),則=_______.15.(5分)已知為實數(shù),向量,,且,則____________.16.已知二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)和為512,其展開式中第四項的系數(shù)__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)等比數(shù)列中,.(Ⅰ)求的通項公式;(Ⅱ)記為的前項和.若,求.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b(a2+c2﹣b2)=a2ccosC+ac2cosA.(1)求角B的大??;(2)若△ABC外接圓的半徑為,求△ABC面積的最大值.19.(12分)已知三棱柱中,,是的中點,,.(1)求證:;(2)若側(cè)面為正方形,求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知雙曲線及直線.(1)若l與C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍;(2)若l與C交于A,B兩點,O是原點,且,求實數(shù)k的值.21.(12分)已知向量,.(1)求的最小正周期;(2)若的內(nèi)角的對邊分別為,且,求的面積.22.(10分)在平面直角坐標系xOy中,曲線l的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點O為極點,x軸非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為4sin.(1)求曲線C的普通方程;(2)求曲線l和曲線C的公共點的極坐標.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
通過分析函數(shù)與的圖象,得到兩函數(shù)必須有相同的零點,解方程組即得解.【詳解】如圖所示,函數(shù)與的圖象,因為時,恒成立,于是兩函數(shù)必須有相同的零點,所以,解得.故選:D【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點問題,考查不等式的恒成立問題,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.2、D【解析】因為,所以,因為,,所以,.綜上;故選D.3、C【解析】
作出可行域,直線目標函數(shù)對應(yīng)的直線,平移該直線可得最優(yōu)解.【詳解】作出可行域,如圖由射線,線段,射線圍成的陰影部分(含邊界),作直線,平移直線,當(dāng)過點時,取得最大值1.故選:C.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題,解題關(guān)鍵是作出可行域,本題要注意可行域不是一個封閉圖形.4、A【解析】
設(shè)為、的夾角,根據(jù)題意求得,然后建立平面直角坐標系,設(shè),,,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算得出點的軌跡方程,將和轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離,利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得,則,,,建立平面直角坐標系,設(shè),,,由,可得,即,化簡得點的軌跡方程為,則,則轉(zhuǎn)化為圓上的點與點的距離,,,,轉(zhuǎn)化為圓上的點與點的距離,,.故選:A.【點睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解,將向量坐標化,將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關(guān)鍵,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題.5、A【解析】
由復(fù)數(shù)除法求出,再由模的定義計算出模.【詳解】.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法法則,考查復(fù)數(shù)模的運算,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
根據(jù)計算結(jié)果,可知該循環(huán)結(jié)構(gòu)循環(huán)了5次;輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,進而可得判斷框內(nèi)的不等式.【詳解】因為該程序圖是計算值的一個程序框圈所以共循環(huán)了5次所以輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,即判斷框內(nèi)的不等式應(yīng)為或所以選C【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用,根據(jù)結(jié)果填寫判斷框,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
作,;,由題意,由二倍角公式即得解.【詳解】由題意,,準線:,作,;,設(shè),故,,.故選:C【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.8、D【解析】
求出展開項中的常數(shù)項及含的項,問題得解。【詳解】展開項中的常數(shù)項及含的項分別為:,,所以展開式中的常數(shù)項為:.故選:D【點睛】本題主要考查了二項式定理中展開式的通項公式及轉(zhuǎn)化思想,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題。9、B【解析】
分別求出兩個隨機變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關(guān)系.【詳解】可能的取值為;可能的取值為,,,,故,.,,故,,故,.故選B.【點睛】離散型隨機變量的分布列的計算,應(yīng)先確定隨機變量所有可能的取值,再利用排列組合知識求出隨機變量每一種取值情況的概率,然后利用公式計算期望和方差,注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.10、A【解析】
根據(jù)[x]的定義先作出函數(shù)f(x)的圖象,利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f(x)與g(x)=ax有三個不同的交點,利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可.【詳解】當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,若有且僅有3個零點,則等價為有且僅有3個根,即與有三個不同的交點,作出函數(shù)和的圖象如圖,當(dāng)a=1時,與有無數(shù)多個交點,當(dāng)直線經(jīng)過點時,即,時,與有兩個交點,當(dāng)直線經(jīng)過點時,即時,與有三個交點,要使與有三個不同的交點,則直線處在過和之間,即,故選:A.【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.11、B【解析】
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項判斷即可【詳解】對A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定,故錯誤;對B,因為y=cx為增函數(shù),且a>b,所以ca>cb,正確對C,因為y=xc為增函數(shù),故,錯誤;對D,因為在為減函數(shù),故,錯誤故選B.【點睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,屬基礎(chǔ)題.12、C【解析】
由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知,此雙曲線的兩條漸近線的夾角為,所以或,由離心率公式即可算出結(jié)果.【詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知,此雙曲線的兩條漸近線的夾角為,又雙曲線的焦點既可在軸,又可在軸上,所以或,或.故選:C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),函數(shù)的概念,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、16.【解析】由題意可知拋物線的焦點,準線為設(shè)直線的解析式為∵直線互相垂直∴的斜率為與拋物線的方程聯(lián)立,消去得設(shè)點由跟與系數(shù)的關(guān)系得,同理∵根據(jù)拋物線的性質(zhì),拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離∴,同理∴,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為16點睛:(1)與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離,可以使運算化繁為簡.“看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑;(2)圓錐曲線中的最值問題,可利用基本不等式求解,但要注意不等式成立的條件.14、【解析】
先利用倍角公式及差角公式把已知條件化簡可得,平方可得.【詳解】∵,∴,則,平方可得.故答案為:.【點睛】本題主要考查三角恒等變換,倍角公式的合理選擇是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).15、5【解析】
由,,且,得,解得,則,則.16、【解析】
先令可得其展開式各項系數(shù)的和,又由題意得,解得,進而可得其展開式的通項,即可得答案.【詳解】令,則有,解得,則二項式的展開式的通項為,令,則其展開式中的第4項的系數(shù)為,故答案為:【點睛】此題考查二項式定理的應(yīng)用,解題時需要區(qū)分展開式中各項系數(shù)的和與各二項式系數(shù)和,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解析】
(1)先設(shè)數(shù)列的公比為,根據(jù)題中條件求出公比,即可得出通項公式;(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,由等比數(shù)列的求和公式,即可求出結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為,,,或.(2)時,,解得;時,,無正整數(shù)解;綜上所述.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列,熟記等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可,屬于基礎(chǔ)題型.18、(1)B(2)【解析】
(1)由已知結(jié)合余弦定理,正弦定理及和兩角和的正弦公式進行化簡可求cosB,進而可求B;(2)由已知結(jié)合正弦定理,余弦定理及基本不等式即可求解ac的范圍,然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】(1)因為b(a2+c2﹣b2)=ca2cosC+ac2cosA,∴,即2bcosB=acosC+ccosA由正弦定理可得,2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,因為,所以,所以B;(2)由正弦定理可得,b=2RsinB2,由余弦定理可得,b2=a2+c2﹣2accosB,即a2+c2﹣ac=4,因為a2+c2≥2ac,所以4=a2+c2﹣ac≥ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號,即ac的最大值4,所以△ABC面積S即面積的最大值.【點睛】本題綜合考查了正弦定理,余弦定理及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取的中點,連接,,證明平面得出,再得出;(2)建立空間坐標系,求出平面的法向量,計算,即可得出答案.【詳解】(1)證明:取的中點,連接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分別是,的中點,,.(2)解:四邊形是正方形,,又,,平面,平面,在平面內(nèi)作直線的垂線,以為原點,以,,為所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系,則,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,設(shè)平面的法向量為,,,則,即,令可得:,,,,.直線與平面所成角的正弦值為,.【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì),考查空間向量與空間角的計算,屬于中檔題.20、(1);(2)或.【解析】
(1)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,根據(jù)根的判別式,即可求出結(jié)論;(2)設(shè),由(1)可得關(guān)系,再由直線l過點,可得,進而建立關(guān)于的方程,求解即可.【詳解】(1)雙曲線C與直線l有兩個不同的交點,則方程組有兩個不同的實數(shù)根,整理得,,解得且.雙曲線C與直線l有兩個不同交點時,k的取值范圍是.(2)設(shè)交點,直線l與y軸交于點,,.,即,整理得,解得或或.又,或時,的面積為.【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、三角形面積計算,要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系解決相交弦問題,考查計算求解能力,屬于中檔題.21、(1);(2)或【解析】
(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可得,利用正弦函數(shù)的周期性即可求解;(2)由(1)可求,結(jié)合范圍,可求的值,由余弦定理可求的值,進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】(1)∴最小正周期.(2)由(1)知,∴∴,又∴或.解得或當(dāng)時,由余弦定理得即,解得.此時.當(dāng)時,由余弦定理得.即,解得.此時.【點睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算、正弦
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