概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)匯報(bào)人：xxx20xx-03-19概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量數(shù)字特征數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念參數(shù)估計(jì)方法方差分析與回歸分析初步目錄概率論基本概念01在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)事件。隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果組成的集合稱為樣本空間。樣本空間樣本空間中的每一個(gè)可能結(jié)果稱為樣本點(diǎn)。樣本點(diǎn)隨機(jī)事件與樣本空間123概率是度量隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值。概率定義非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性。概率性質(zhì)在古典概型中，每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相等的。古典概型概率定義及性質(zhì)條件概率在已知某個(gè)事件發(fā)生的條件下，另一個(gè)事件發(fā)生的概率稱為條件概率。獨(dú)立性兩個(gè)事件如果互不影響，則稱這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的。乘法公式用于計(jì)算多個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率。條件概率與獨(dú)立性如果事件B能且只能由兩兩互不相容的事件A1,A2,...,An的其中之一導(dǎo)致，則事件B的概率可以用全概率公式計(jì)算。全概率公式在全概率公式的基礎(chǔ)上，當(dāng)已知事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，求某個(gè)Ai事件發(fā)生的概率，需要使用貝葉斯公式。貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式在機(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。應(yīng)用場景全概率公式和貝葉斯公式隨機(jī)變量及其分布02隨機(jī)變量定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={e}。X=X(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)。稱X=X(e)為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量分類根據(jù)隨機(jī)變量可能取的值的個(gè)數(shù)分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。隨機(jī)變量概念及分類分布律定義01如果一個(gè)隨機(jī)變量只可能取有限個(gè)或可列個(gè)值，則稱該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的取值規(guī)律可以用分布律來描述。分布律表示方法02分布律可以用列表法和公式法來表示。列表法就是將隨機(jī)變量所有可能取的值和對(duì)應(yīng)的概率列成表格；公式法則是用數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率。常見離散型隨機(jī)變量分布03二項(xiàng)分布、泊松分布、超幾何分布等。離散型隨機(jī)變量分布律概率密度函數(shù)定義對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，由于其可能取的值是無限個(gè)，因此不能用分布律來描述其取值規(guī)律，而需要用概率密度函數(shù)來描述。概率密度函數(shù)是一個(gè)實(shí)值函數(shù)，其自變量是隨機(jī)變量的取值，函數(shù)值是隨機(jī)變量取該值的“概率密度”。概率密度函數(shù)性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性、可積性等。常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，y=g(x)是一個(gè)實(shí)函數(shù)，則Y=g(X)稱為隨機(jī)變量X的函數(shù)。隨機(jī)變量函數(shù)概念對(duì)于離散型隨機(jī)變量，可以通過列表法或公式法直接求出Y的分布律；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，則需要先求出Y的概率密度函數(shù)，再進(jìn)一步確定其分布。隨機(jī)變量函數(shù)分布求解方法隨機(jī)變量函數(shù)分布在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如排隊(duì)論中的等待時(shí)間、保險(xiǎn)精算中的損失額等都可以看作是某個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)。隨機(jī)變量函數(shù)分布應(yīng)用隨機(jī)變量函數(shù)分布多維隨機(jī)變量及其分布03聯(lián)合概率密度函數(shù)對(duì)于連續(xù)型二維隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布可用聯(lián)合概率密度函數(shù)$f(x,y)$表示。聯(lián)合分布律對(duì)于離散型二維隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布可用聯(lián)合分布律表示，即列出所有可能的取值組合及其對(duì)應(yīng)的概率。聯(lián)合分布函數(shù)描述二維隨機(jī)變量取值情況的函數(shù)，通常表示為$F(x,y)$。二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布邊緣分布二維隨機(jī)變量中，某個(gè)隨機(jī)變量的分布情況，不考慮另一個(gè)隨機(jī)變量的影響。例如，$X$的邊緣分布函數(shù)為$F_X(x)$，$Y$的邊緣分布函數(shù)為$F_Y(y)$。在給定某個(gè)隨機(jī)變量取值的條件下，另一個(gè)隨機(jī)變量的分布情況。例如，在$X=x$的條件下，$Y$的條件分布函數(shù)為$F_{Y|X}(y|x)$。對(duì)于連續(xù)型二維隨機(jī)變量，其邊緣概率密度和條件概率密度可分別由聯(lián)合概率密度函數(shù)求得。條件分布邊緣概率密度與條件概率密度邊緣分布與條件分布相互獨(dú)立的性質(zhì)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量具有一些重要的性質(zhì)，如協(xié)方差為零、相關(guān)系數(shù)為零等。相互獨(dú)立的判定根據(jù)隨機(jī)變量的定義和性質(zhì)，可以判斷一組隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立。相互獨(dú)立的定義如果兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)等于它們各自的邊緣分布函數(shù)的乘積，則稱這兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立。相互獨(dú)立隨機(jī)變量組多維隨機(jī)變量函數(shù)分布對(duì)于多維隨機(jī)變量的函數(shù)，其分布可以通過多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布求得。卷積公式對(duì)于連續(xù)型多維隨機(jī)變量，其函數(shù)的分布可以通過卷積公式求得。變換方法對(duì)于離散型多維隨機(jī)變量，其函數(shù)的分布可以通過變換方法求得，即先求出函數(shù)的取值范圍，再求出每個(gè)取值的概率。函數(shù)的分布隨機(jī)變量數(shù)字特征04數(shù)學(xué)期望與方差概念數(shù)學(xué)期望（期望值）描述隨機(jī)變量取值的“平均”水平，是概率加權(quán)的平均值。方差描述隨機(jī)變量與均值的偏離程度，即隨機(jī)變量取值的分散程度。標(biāo)準(zhǔn)差方差的平方根，與方差一樣，也是描述隨機(jī)變量取值分散程度的一個(gè)量。協(xié)方差相關(guān)系數(shù)相關(guān)性的判斷協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)計(jì)算衡量兩個(gè)隨機(jī)變量同時(shí)偏離各自期望的程度，正值表示兩者同向變化，負(fù)值表示兩者反向變化。協(xié)方差除以兩個(gè)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差的乘積，用于消除量綱的影響，標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差，取值范圍為[-1,1]。當(dāng)相關(guān)系數(shù)接近1或-1時(shí)，表示兩個(gè)隨機(jī)變量之間有較強(qiáng)的線性關(guān)系；當(dāng)相關(guān)系數(shù)接近0時(shí)，表示兩個(gè)隨機(jī)變量之間線性關(guān)系較弱。在隨機(jī)事件的大量重復(fù)出現(xiàn)中，往往呈現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律，即大數(shù)定律。通俗地說，這個(gè)定理就是，在試驗(yàn)不變的條件下，重復(fù)試驗(yàn)多次，隨機(jī)事件的頻率近似于它的概率。大數(shù)定律是概率論中討論隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的一組定理。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)，指出了大量隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布的條件。中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念05總體從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體，是一個(gè)實(shí)現(xiàn)值，通常用小寫字母表示，如x。樣本樣本容量樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目，記作n。研究對(duì)象的全體，是一個(gè)隨機(jī)變量，通常用大寫字母表示，如X。總體與樣本概念03常見抽樣分布正態(tài)分布、t分布、F分布、卡方分布等。01統(tǒng)計(jì)量由樣本計(jì)算得到的一個(gè)量，它不依賴于任何未知參數(shù)。02抽樣分布指樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布，描述了樣本統(tǒng)計(jì)量在不同樣本下的可能取值及其概率。統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布常用統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)差方差的平方根，也是反映數(shù)據(jù)離散程度的一個(gè)重要指標(biāo)。方差樣本數(shù)據(jù)與均值之差的平方的平均值，反映了數(shù)據(jù)的離散程度。均值樣本的平均值，反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。協(xié)方差衡量兩個(gè)隨機(jī)變量同時(shí)變化的趨勢(shì)，正值表示兩者同時(shí)增加或減少，負(fù)值表示一個(gè)增加一個(gè)減少。相關(guān)系數(shù)協(xié)方差除以兩個(gè)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，用于衡量兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度，取值范圍為[-1,1]。參數(shù)估計(jì)方法06實(shí)現(xiàn)無偏性的方法為了實(shí)現(xiàn)無偏性，通常需要選擇合適的估計(jì)方法和調(diào)整估計(jì)量的計(jì)算方式，以消除或減少偏差。點(diǎn)估計(jì)概念點(diǎn)估計(jì)是用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)的一種方法。在數(shù)軸上，樣本統(tǒng)計(jì)量表示為某一點(diǎn)的值，因此估計(jì)結(jié)果也以一個(gè)點(diǎn)的數(shù)值來表示。無偏性無偏性是指估計(jì)量在多次重復(fù)抽樣下的平均值等于被估計(jì)的參數(shù)真實(shí)值。換句話說，盡管單次估計(jì)可能存在偏差，但長期平均下來應(yīng)該是準(zhǔn)確的。無偏性的重要性無偏性是評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。具有無偏性的估計(jì)量在長期使用過程中能夠提供更可靠和準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果。點(diǎn)估計(jì)概念及無偏性區(qū)間估計(jì)原理及置信區(qū)間求解置信區(qū)間的寬度和精度受到樣本大小、抽樣誤差和總體分布等因素的影響。樣本量越大，抽樣誤差越小，置信區(qū)間通常越窄且精度越高。影響因素區(qū)間估計(jì)是根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布來推斷總體參數(shù)的一個(gè)區(qū)間范圍，而不是一個(gè)具體的點(diǎn)值。這個(gè)區(qū)間范圍通常以一個(gè)概率值來表示其置信水平。區(qū)間估計(jì)原理置信水平的選擇取決于研究者的需求和風(fēng)險(xiǎn)承受能力。常用的置信水平有90%、95%和99%等。置信水平的選擇假設(shè)檢驗(yàn)是根據(jù)樣本信息對(duì)總體參數(shù)或分布類型做出假設(shè)，并通過構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)的一種統(tǒng)計(jì)推斷方法。其基本思想是小概率原理，即認(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生。假設(shè)檢驗(yàn)基本思想假設(shè)檢驗(yàn)的方法主要包括以下幾個(gè)步驟：提出假設(shè)、選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定拒絕域、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值并做出決策。通過這些步驟，可以對(duì)總體參數(shù)或分布類型做出推斷。假設(shè)檢驗(yàn)方法在假設(shè)檢驗(yàn)中，存在兩類錯(cuò)誤：第一類錯(cuò)誤是拒絕正確的原假設(shè)，第二類錯(cuò)誤是不拒絕錯(cuò)誤的原假設(shè)。這兩類錯(cuò)誤之間存在權(quán)衡關(guān)系，需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行選擇和控制。兩類錯(cuò)誤假設(shè)檢驗(yàn)在各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，如醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等。通過假設(shè)檢驗(yàn)，可以對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行科學(xué)的推斷和決策。實(shí)際應(yīng)用假設(shè)檢驗(yàn)基本思想和方法方差分析與回歸分析初步07原理單因素方差分析用于研究一個(gè)控制變量的不同水平是否對(duì)觀測變量產(chǎn)生了顯著影響，通過比較不同組間的方差與組內(nèi)方差來判斷。實(shí)現(xiàn)步驟收集數(shù)據(jù)、提出假設(shè)、構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、進(jìn)行決策、分析結(jié)論。注意事項(xiàng)樣本應(yīng)滿足獨(dú)立性、正態(tài)性和方差齊性，否則可能影響結(jié)果的準(zhǔn)確性。單因素方差分析原理和實(shí)現(xiàn)應(yīng)用場景預(yù)測、控制、因果關(guān)系分析等，如根據(jù)多個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)預(yù)測股票價(jià)格。模型評(píng)估通過擬合優(yōu)度、顯著性檢驗(yàn)等指標(biāo)評(píng)估模型的擬合效果和預(yù)測能力。模型建立確定自變量和因變量，建立多元線性