廣東省實驗中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

廣東實驗中學(xué)2024-2025學(xué)年（上）高二級期中考試數(shù)學(xué)本試卷共5頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號填寫在答題卷上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷收回.第一部分選擇題（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.1 B. C. D.2.一組數(shù)據(jù)23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位數(shù)是（）A.14 B.15 C.23 D.253.在四面體OABC中，，，，G為三角形ABC的重心，P在OG上，且，則為（）A. B. C. D.4.已知隨機事件A和B互斥，且，，則等于A.0.8 B.0.7 C.0.5 D.0.25.已知直線過定點，且方向向量為，則點到的距離為（）A. B. C. D.6.雙曲線與橢圓有相同的焦點，一條漸近線的方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.7.已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓E于A，B兩點，若AB的中點坐標(biāo)為，則橢圓E的方程為（）A. B. C. D.8.橢圓的左、右焦點分別是，，斜率為1的直線l過左焦點，交C于A，B兩點，且的內(nèi)切圓的面積是，若橢圓的離心率的取值范圍為，則線段AB的長度的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是AB，BC中點，則（）A.平面B.直線與平面所成的角為C.平面平面D.點E到平面的距離為10.已知點P是左、右焦點為，的橢圓上的動點，則（）A.若，則的面積為B.使為直角三角形的點有6個C.的最大值為D.若，則的最大、最小值分別為和11.如圖，曲線C是一條“雙紐線”，其C上的點滿足：到點與到點的距離之積為4，據(jù)此判斷，下列結(jié)論正確的是（）A.點在曲線C上B.點在C上，則C.點Q在橢圓上，若，則D.過作X軸的垂線交C于A，B兩點，則第二部分非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點在角的終邊上，則________.13.若為偶函數(shù)，則_______.14.如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點P為兩曲線的一個公共點，且，I為的內(nèi)心，，I，G三點共線，且，x軸上點A，B滿足，，則的最小值為________；的最小值為________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的圓心在直線上，且與直線相切于坐標(biāo)原點.（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點的直線l被圓M截得的弦長為，求直線l的方程.16.（15分）已知三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且.（1）若，求；（2）點d在邊BC上且AD平分，若，求三角形ABC的周長.17.（15分）橢圓過點且離心率為，F(xiàn)為橢圓的右焦點，過F的直線交橢圓C于M，N兩點，定點.（1）求橢圓C的方程；（2）若面積為，求直線MN的方程.18.（17分）在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，側(cè)面底面ABCD，，且E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點，（1）證明：平面PAB；（2）若直線PF與平面PAB所成的角為，①求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.②平面ADE將四棱錐分成上、下兩部分，求平面ADE以下部分幾何體的體積.19.（17分）已知雙曲線的實軸長為4，漸近線方程為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）雙曲線的左、右頂點分別為，，過點作與軸不重合的直線l與C交于P，Q兩點，直線與交于點S，直線與交于點T.（i）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，若，求的值；（ii）求的面積的取值范圍.

廣東實驗中學(xué)2024-2025學(xué)年（上）高二級期中考試·數(shù)學(xué)參考答案1.C2.D3.C4.B5.A6.A7.A8.B9.【答案】ACD10.【答案】BCD11.【答案】ACD12.13.14.；9.【答案】ACD【解析】在棱長為1的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，對于A，，，，顯然，即平行于平面，而平面，因此平面，A正確；對于B，，，即有不垂直于DE，而平面，因此不垂直于平面，B錯誤；對于C，，，而，顯然，，即，，，，平面，于是平面，而平面，因此平面平面，C正確；對于D，，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，又，所以點E到平面的距離，D正確.故選：ACD10.【答案】BCD【詳解】A選項：由橢圓方程，所以，，所以，所以的面積為，故A錯誤；B選項：當(dāng)或時為直角三角形，這樣的點P有4個，設(shè)橢圓的上下頂點分別為S，T，則，，，同理，知，所以當(dāng)P位于橢圓的上、下頂點時也為直角三角形，其他位置不滿足，滿足條件的點P有6個，故B正確：C選項：由于，所以當(dāng)最小即時，取得最大值，故C正確；D選項：因為，又，則的最大、最小值分別為和，當(dāng)點P位于直線與橢圓的交點時取等號，故D正確.故選：BCD11.【答案】ACD【解析】對選項A，因為，由定義知，故A正確；對選項B，點在上，則，化簡得，所以，，B錯誤；對選項C，橢圓上的焦點坐標(biāo)恰好為與，則，又，所以，故，所以，C正確；對選項D，設(shè)，則，因為，則，又，所以，化簡得，故，所以，故，所以，故D正確，故選ACD.12.【詳解】由點在角的終邊上可得，，則.13.[解析]設(shè)，易知的定義域為，且，所以為奇函數(shù).若為偶函數(shù)，則也應(yīng)為奇函數(shù)，所以，（在公共定義域內(nèi)：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇）14.解：①由題意得橢圓與雙曲線的焦距為，橢圓的長軸長為2a，雙曲線的實軸長為2m，不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義：，由橢圓的定義：，可得：，，又，由余弦定理得：，即，整理得：，所以：，即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.②為的內(nèi)心，所以為的角平分線，則有，同理：，，，即，，故，為的內(nèi)心，，I，G三點共線，即為的角平分線，進而是角的平分線，則有，又，，即，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）解析：（1）圓的圓心在直線上，設(shè)，則，解得，即，圓的半徑為.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）經(jīng)過點的直線l被圓M截得的弦長為，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，此時直線l被圓M截得的弦長為，不符，舍去；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，即..解得或，直線l的方程為或.（說明：這里少一種結(jié)果扣2分）16.（15分）解析：（1）由正弦定理可知，.，，即，.由余弦定理知，又，（不寫范圍扣1分）由，知.又為直角三角形，，，故.（2）點D在邊BC上且AD平分，所以，即，即，即.①又由于，即，即.②①代入②得到，所以或（舍去），所以的周長為.（說明：解答過程中從頭到尾不寫“正弦定理、余弦定理”扣1分）17.（1）由已知可得解得所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線MN與x軸重合時，不符合題意，設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立，可得，，設(shè)，由韋達(dá)定理可得，，則，則，解得，所以直線MN的方程為.（說明：這里少一種結(jié)果扣2分）18.【解答】（1）取PB中點M，連接AM，EM，為PC的中點，，，又，，，，四邊形ADEM為平行四邊形，，平面PAB，平面PAB，平面PAB；（2）平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，，平面PAB，取AB中點G，連接FG，則，平面PAB，，，，，又，，，如圖以G為坐標(biāo)原點，GB為x軸，GF為y軸，GP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，設(shè)平面PCD的一個法向量，，則，取，則，平面PAB的一個法向量可取，設(shè)平面PAB與平面PCD所成銳二面角為，，所以平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.②如圖，，從而AD垂