2025年中考數(shù)學一輪復習講義：數(shù)與代數(shù)知識點總結

2025年中考數(shù)學一輪復習講義：數(shù)與代數(shù)

知識點總結

目錄

知識點一：實數(shù)的有關概念及計算..................................1

考點一：有理數(shù)、無理數(shù)......................................1

考點二：實數(shù)的分類..........................................1

考點三：實數(shù)的相關概念：數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)（必考點）1

考點四：科學計數(shù)法（必考點）與近似數(shù)........................2

考點五：正負數(shù)（必考）......................................2

考點六：實數(shù)的大小比較......................................3

考點七：實數(shù)的運算..........................................3

考點八：平方根、算術平方根、立方根與非負數(shù)的性質（?？键c）.…4

知識點二：整式及因式分解........................................6

考點一：代數(shù)式、代數(shù)式的值..................................6

考點二：整式的有關概念（出現(xiàn)在選擇題，填空題）..............6

考點三：整式的運算（貫穿整個代數(shù)部分）......................6

考點四：騫的運算（高頻考點）選擇題..........................7

考點五：整式的乘除運算......................................7

考點六、整式化簡求值（高頻考點）...........................8

考點七：乘法公式（高頻考點）................................9

考點八：因式分解（高頻考點）................................9

考點九：十字相乘法（出現(xiàn)于因式分解或者應用題解方程）........9

考點十：分組分解法.........................................10

知識點三：分式.................................................11

考點一：分式的有關概念（選擇題）...........................11

考點二：分式的基本性質.....................................11

考點三：分式的運算（?？键c，選擇填空解答都可能出現(xiàn)）....12

知識點一：二次根式.............................................13

考點一：二次根式的有關概念（?？歼x擇題，填空題）...........13

考點二：二次根式的性質.....................................14

考點三：二次根式的運算（口訣：一化、二找、三合并）.........14

知識點五：一次方程組...........................................16

考點一：等式及方程的有關概念...............................16

考點二：一元一次方程及其解法...............................16

考點三：二元一次方程.......................................16

考點四：二元一次方程組（解答題）...........................17

考點六、一次方程（組）的應用...............................17

知識點六：一元二次方程.........................................19

考點一：一元二次方程的概念（?？迹?........................19

考點二：一元二次方程的解法.................................19

1

考點三：一元二次方程根的判別式（高頻考點）.................20

考點四：一元二次方程根與系數(shù)的關系（高頻考點）.............20

考點五：一元二次方程的實際應用.............................20

知識點七：分式方程.............................................22

考點一：分式方程的概念及增根...............................22

考點二：分式方程的基本解法（解答題）.......................22

考點三：分式方程的實際應用（選擇題）.......................22

知識點八：一元一次不等書（組）.................................24

考點一：不等式的相關概念...................................24

考點二：不等式的性質（高頻考點）...........................24

考點三：一元一次不等式的定義及其解法.......................24

考點四：一元一次不等式組及其解法（選擇題）.................25

考點五、一元一次不等式（組）的實際應用.....................25

知識點九：平面直角坐標系與函數(shù)的相關概念.......................26

考點一：平面直角坐標系.....................................26

考點二：平面直角坐標系內點的坐標特征.....................26

考點三：函數(shù)的相關概念.....................................27

知識點十：一次函數(shù)及其應用...................................29

考點1一次函數(shù)的圖象與性質................................29

考點2確定一次函數(shù)的解析式................................29

考點3一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關系...................30

考點4一次函數(shù)的應用......................................30

知識點11、反比例函數(shù)及其應用..................................32

考點1：反比例函數(shù)的圖象與性質.............................32

考點二：反比例函數(shù)中k的幾何意義（選擇題，填空題）.........32

考點三：確定反比例函數(shù)的解析式...........................33

考點四：反比例函數(shù)的應用...................................33

知識點十二、二次函數(shù)...........................................34

考點一：二次函數(shù)的定義及解析式.............................34

考點二、二次函數(shù)的解析式...................................34

考點三：二次函數(shù)y=+c（。/°）的圖象與性質.........35

考點四：二次函數(shù)丁=62+"+0（"0）圖象與系數(shù)的關系.....35

考點五：二次函數(shù)圖象變換（左加，右減，上加，下減）.........36

考點六：二次函數(shù)與一元二次方程的關系y=+c..........36

考點七：二次函數(shù)與不等式的關系.............................36

-2-

知識點一：實戴的有關概念及計算

考點一：有理數(shù)、無理數(shù)

整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；無限不循環(huán)小數(shù)小數(shù)叫做無理數(shù)；有理數(shù)和無理

數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

考點二：實數(shù)的分類

1、按實數(shù)的定義分類:2、按大小分類:

"正整數(shù)正整數(shù)

正有理數(shù)＜

整數(shù)＜0正實數(shù)正分數(shù)

有理數(shù)＜負整數(shù)正無理數(shù)

實數(shù)＜‘正分數(shù)實數(shù)0

分數(shù)，

項分數(shù)

負實數(shù)負有理數(shù)4［負、分數(shù)

,正無理數(shù)

無理數(shù)＜

負無理數(shù)、負無理數(shù)

考點三：實數(shù)的相關概念：數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)(必考點)

1、數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一

對應的.

2、相反數(shù)

⑴只有符號不同的兩個數(shù)，叫做互為相反數(shù),0的相反數(shù)是0.

⑵實數(shù)互為相反數(shù)oa+b=Q_

3、絕對值

⑴在數(shù)軸上，表示一個數(shù)的點到原點的距離就是這個數(shù)的絕對值.

⑵一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),0的絕對值

是0,

a(tz＞0)

\a\=＜0(a=0)

即：〔一"(G＜0)絕對值具有非負性.

(3)幾何意義：1口表示。在數(shù)軸上表示的點與原點的距離，離原點越遠的

數(shù)的絕對值大.

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4、倒數(shù)（高頻考點）

⑴乘積為1的兩個數(shù),叫做互為倒數(shù)，實數(shù)互為倒數(shù)Oab=1.

⑵非零實數(shù)0（。?！悖┑牡箶?shù)是。；零沒有倒數(shù).特別地.倒教是它本身的教是

±1.

易混淆點

1.0的相反數(shù)是0,0的絕對值是0.絕對值最小的數(shù)是0.最小的自然數(shù)是0.0是最小的非負數(shù).

2.任何一個數(shù)都有且只有一個相反數(shù).任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0（或非負數(shù)）.

3.到已知點的距離相等的點有兩個，注意分類討論.此外，運用數(shù)軸可以將絕對值化為幾何問題，代

數(shù)式Ix-a|的幾何意義是數(shù)軸上x所對應的點與a所對應的點之間的距離,代數(shù)式|x+a|的幾何意義

是數(shù)軸上x所對應的點與一a所對應的點之間的距離，不可將兩者混淆.

考點四：科學計數(shù)法（必考點）與近似數(shù)

1、科學記數(shù)法：把一個數(shù)表示成的形式（其,..w中，〃

為整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.°U

2、。和“的確定

（1）。的確定：。是整數(shù)位數(shù)只有一位的數(shù)，［＜|即；

⑵〃的確定：

當原數(shù)的絕對值大于或等于10時，〃等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；

當原數(shù)的絕對值小于1時，〃是負整數(shù)，它的絕對值等于原數(shù)中左起第一位

非零數(shù)字前零的個數(shù)（含小數(shù)點前的零）.

3、近似數(shù)：一般地，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到

哪一位.

考點五：正負數(shù)（必考）

1、正負數(shù)的概念：大于0的數(shù)叫做正數(shù).正數(shù)前面加上符號“一”的數(shù)叫負

數(shù).負數(shù)前面的負號“-”不能省略.0既不是正數(shù)，也不是負數(shù).

2、正負數(shù)的意義：表示具有相反意義的量.在一對具有相反意義的量中，

通常先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示.

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考點六：實數(shù)的大小比較

實數(shù)比較大小的6種基礎方法：

1.數(shù)軸比較法：將兩個數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的

點表示的數(shù)大.

2.類別比較法：正數(shù)大于零；負數(shù)小于零；正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)比較

大小，絕對值大的反而小.

3.作差比較法：若a,b是任意兩個實數(shù)，則①a-b〉06a〉b;②a-b=06a=b;

③a-b〈O<=>a〈b

4.平方比較法：①對任意正實數(shù)a,b,若a2>b2u>a〉b②對任意負實數(shù)a,b,

若a2>b2Oa<b

5.倒數(shù)比較法:若l/a〉l/b,ab>0,則a<b

6.作商比較法：1）任意實數(shù)a,b,a/b=l?a=b2）任意正實數(shù)a,b,

a/b>l<=>a>b,a/b<l<=>a>b

3）任意負實數(shù)a,b,a/b>l<=>a<b,a/b<l<=>a>b

考點七：實數(shù)的運算

1、常見的實數(shù)運算（出現(xiàn)在選擇題）

運算法則

乘方廢偽偶數(shù)

an=<

-屋〃為奇數(shù)

〃個a9

零次=1(〃w0)

騫

負整數(shù)指a11=ax=—(a^0)

數(shù)騫優(yōu)(〃w°,〃為正整數(shù))，特別的：a

去絕對值a-b,a>b

符號\a-b\-<0,a=b

b-a,a<b

-1的奇偶1,〃為偶數(shù)

:(-1)"=<

次騫-1,〃為奇數(shù)

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2、實數(shù)的四則運算（高頻考點，穿插在各個題型中）

⑴實數(shù)加法法則：

①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的

絕對值減去較小的絕對值.互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；

③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).

⑵實數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù).

⑶實數(shù)乘法法則：

①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.任何數(shù)與0相乘，都

得0；

②幾個不是0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定.當負因數(shù)的個數(shù)為

奇數(shù)時，積是負數(shù)，當負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積是正數(shù)；

③幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,那么積等于0.

⑷實數(shù)除法法則：

①除以一個不等于0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù).0不能作除數(shù)；

②兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于

0的數(shù)，都得0.

⑸乘方的運算法則：正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；負數(shù)的奇次塞是負數(shù)，負

數(shù)的偶次騫是正數(shù)；。的任何正整數(shù)次塞都是0.

考點八：平方根、算術平方根、立方根與非負數(shù)的性質（?？键c）

相關

概念補充與拓展

概念

算術如果一個正數(shù)X的平方等于a,即

正數(shù)只有一個算術平方根，且恒為正；0的

平方x2=a,那么這個正數(shù)x叫做a的算術

算術平方根為0；負數(shù)沒有算術平方根

根平方根.記為而，a叫做被開方數(shù).

如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù).

平方

數(shù)就叫做a的平方根或二次方根，即

根

如果x2=a,那么x叫做a的平方根.。的算術平方根為0;負數(shù)沒有算術平方根.

正數(shù)只有一個正的立方根；0的立方根是0;

立方如果一個數(shù)的立方等于a,即x3=a,負數(shù)只有一個負的立方根.

根那么x叫做a的立方根或三次方根

互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根互為相反數(shù)

2.實數(shù)的非負性：

1.在實數(shù)范圍內，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù).

2.非負數(shù)有三種形式：①任何一個實數(shù)a的絕對值是非負數(shù)，即|a|>0;

②任何一個實數(shù)a的平方是非負數(shù)，即a2>0;

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③任何非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)，即孤＞0

3.非負數(shù)具有以下性質：

①非負數(shù)有最小值零；

②非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；

③幾個非負數(shù)之和等于。，則每個非負數(shù)都等于。

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知識點二：整式及因為分斛

考點一：代數(shù)式、代數(shù)式的值

(1)代數(shù)式的概念

用基本運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方等)把數(shù)與字母連接而成的式

子叫做代數(shù)式.單獨的一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式.

(2)代數(shù)式的值

用具體數(shù)代替代數(shù)式中的字母,按運算順序計算出的結果叫做代數(shù)式的值.求

代數(shù)式的值分兩步:第一步，代數(shù);第二步，計算.要充分利用“整體”思想求代數(shù)式

的值.

考點二：整式的有關概念(出現(xiàn)在選擇題，填空題)

1.整式：單項式與多項式統(tǒng)稱為整式.

2.單項式：含有數(shù)或字母的積的代數(shù)式叫做單項式.單獨的一個數(shù)或一個

字母也是單項式.單項式中的數(shù)字因式叫做這個單項式的系數(shù)；一個單項式中，

所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù).

3.多項式：幾個單項式的和叫做多項式.在多項式中，每個單項式叫做多

項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項.多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個

多項式的次數(shù).多項式中單項式的個數(shù)，就是這個多項式的項數(shù).

4.同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項.幾

個常數(shù)項也是同類項.

5.合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.合并

同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不

變.

考點三：整式的運算(貫穿整個代數(shù)部分)

(1)整式的加減運算：整數(shù)的加減本質是合并同類項，如果有括號要先去

括號，再合并同類項.

(2)去括號法則：如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內各項的符

號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內各項的符號

與原來的符號相反.

(3)添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都

不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.

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考點四：幕的運算（高頻考點）選擇題

署的運算內容公式補充說明

1.逆用公式：a"+n=am-a"

同底數(shù)累aman=am*n

底數(shù)不變，指數(shù)相加

相乘（m,n都是整數(shù)）2.【擴展】amanap=am+n+p（m,n,p都是正

整數(shù)）

1.負號在括號內時，偶次方結果為正,奇次方為負，

負號在括號外結果都為負.

（am）n=amn

耨的乘方底數(shù)不變，指數(shù)相乘

（m,n都是整數(shù)）2.逆用公式：amn=（am）n

3.【擴展】（（am）n）p=amnp（m,n,p都是正整數(shù)）

把積的每一個因式分別乘方，（ab）n=anbn1.逆用公式:anbn=（ab）n

積的乘方

再把所得的事相乘（n為整數(shù)）

2.【擴展】（abc）n=a'W

1.關鍵：看底數(shù)是否相同,指數(shù)相減是指被除式

的指數(shù)減去除式的指數(shù).

2.逆用公式：am-n=am-an（a#0,m、n都是正

（a#0.m.n都為整數(shù)）

整數(shù)）.

同底數(shù)愚

底數(shù)不變，指數(shù)相減mnpmnp

相除3..【擴展】a-a-a=a--（a#0,m,n,p

都是正整數(shù)）.

零指數(shù)幕：a°=l（aKO）

負整數(shù)指數(shù)鬲：晟丁

（aWO,n為正整數(shù)；

考點五：整式的乘除運算

整式的乘除運算步驟說明補充說明及注意事項

①將單項式系數(shù)相乘作為積的系數(shù)；

1）實質:乘法的交換律和同底數(shù)騫的乘法

②相同字母的因式，利用同底數(shù)幕的乘

單項式乘單法則的綜合應用.

法，作為積的一個因式；

項式2）單項式乘單項式所得結果仍是單項

③單獨出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)，作為

式.

積的一個因式.

1）單項式乘多項式實質上是轉化為單項

①先用單項式和多項式的每一項分別相

單項式乘多式乘以單項式

乘；

項式2）單項式乘多項式的結果是多項式，積

②再把所得的積相加.

的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.

運用法則時應注意以下兩點：

①先用一個多項式的每一項與另一個多

多項式乘多①相乘時，按一定的順序進行，必須做到

項式的每一項相乘，

項式不重不漏；

②再把所得的積相加.

②多項式與多項式相乘，多項式的每一

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項都應該帶上它前面的正負號.且結果仍

是多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)

應等于原多項式的項數(shù)之積.

①將單項式系數(shù)相除作為商的系數(shù)；

②相同字母的因式，利用同底數(shù)塞的除

單項式除單

法，作為商的一個因式；

項式

③只在被除式里含有的字母連同指數(shù)不

變.

①先把這個多項式的每一項除以這個單

多項式除單

項式；

項式

②再把所得的商相加

整式的混合運算的運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號時先算括號里面

的.

考點六、整式化簡求值（高頻考點）

1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代數(shù)式計算求值.

2.間接代入法：將已知的代數(shù)式化簡后，再將已知字母的值代入化簡后的代數(shù)式

中計算求值.

3.整體代入法：①觀察已知代數(shù)式和所求代數(shù)式的關系.

②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式將已知代數(shù)式和所求代數(shù)式

進行變形，使它們成倍分關系.

③把已知代數(shù)式看成一個整式代入所求代數(shù)式中計算求值.

4.賦值求值法：指代數(shù)式中的字母的取值由答題者自己確定，然后求出所提供的

代數(shù)式的值的一種方法.這是一種開放型題目，答案不唯一.在賦值時，要注意

取值范圍，選擇合適的代數(shù)式的值.

5.隱含條件求值法：先通過隱含條件求出字母值，然后化簡再求值.

例如：①若幾個非負數(shù)的和為0,則每個非負數(shù)的值均為0

②已知兩個單項式為同類項，通過求次數(shù)中未知數(shù)的值，進而帶入

到代數(shù)式中計算求值.

6.配方法：若已知條件含有完全平方式，則可通過配方，把條件轉化成幾個平方

和的形式，再利用非負數(shù)的性質來確定字母的值，從而求得結果.

7.平方法：在直接求值比較困難時，有時也可先求出其平方，再求平方值的平方

根，但要注意最后結果的符號.

8.設參法：遇到比值的情況，可對比值整體設參數(shù)，把每個字母用參數(shù)表示，然

后代入計算即可.

9.利用根與系數(shù)的關系求解:如果代數(shù)式可以看作某兩個“字母”的輪換對稱式，

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而這兩個“字母”又可能看作某個一元二次方程的根，可以先用根與系數(shù)的關系

求得其和、積式，再整體代入求值.

10.利用消元法求值：若已知條件以比值的形式出現(xiàn)，則可利用比例的性質設比

值為一個參數(shù)，或利用一個字母來表示另一個字母.

考點七：乘法公式(高頻考點)

⑴平方差公式：5+0)5一切="一02(注意公式逆應用).

⑵完全平方公式：(.土刀土2仍+”(注意公式逆應用).

考點八：因式分解(高頻考點)

1.定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解.

2.方法

ma+mb+me=m(a+b+c)

(1)提公因a2-b~=(a+b)(a-b)a~±lab+b~=(a+b)~式法：.

(2)公式法：；

3.分解因式的基本步驟

(1)先看各項有沒有公因式，若有，則先提公因式；

(2)再看余下的式子能否用公式法繼續(xù)分解，直至不能再分解為止.

簡記為一“提”、二“套”、三“檢查.

x2+,px+,q

考點九：十字相乘法(出現(xiàn)于因式分解或者應用題解方程)

1、如果二次三項式中的常數(shù)項4能分解成兩個因數(shù)。、人的積，而且一次

2

項系數(shù)。又恰好是。與人的和，那么廠+px+q就可以進行如下的因式分解，即

X2+px+q_x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

2、利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相

乘法，

一般地,，+庶+"=*=(x+")a+’)可以用十字交叉線表示

x+b<

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3、二次項系數(shù)為1的二次三項式

直接利用公式——x2+(p+q)x+p=(x+或x+幻(進行分解。

特點：(1)二次項系數(shù)是1；

(2)常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；

(3)一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。

方法的特征是：“拆常數(shù)項，湊一次項”

當常數(shù)項為正數(shù)時，把它分解為兩個同號因數(shù)的積，因式的符號與一次項系

數(shù)的符號相同；

當常數(shù)項為負數(shù)時，把它分解為兩個異號因數(shù)的積，其中絕對值較大的因數(shù)

的符號與一次項系數(shù)的符號相同.

考點十：分組分解法

1.分組分解定義：利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。

2.利用分組分解法分解因式的多項式特征：

(D多項式的項數(shù)一般大于三項；

(2)分組后各組可利用提取公因式法或公式法或十字相乘法進行分解；

(3)各組分解后，整個式子又可繼續(xù)進行因式分解。

分組分解法以四項為主，四項的分解可以組合成“一項+三項”其中的三項

可以考慮完全平方公式，或“兩項+兩項”其中的兩項通常要考慮提取公因式或

平方差公式。

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知識點三：分灰

考點一：分式的有關概念（選擇題）

1.分式：一般地，如果A,§表示兩個整式，并且§中含有字母，那么式

AA

子B叫做分式.對于分式B來說：

①當BrO時，分式有意義；

②當B=0時，分式沒有意義；

③只有在同時滿足A=0且BWO這兩個條件時，分式的值才是零.

2.最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式.

3.約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分.約分

時，如果分式的分子或分母是多項式，要先分解因式，再約去分子和分母所有的

公因式.

4.通分:把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，

叫做分式的通分.通分的關鍵是確定幾個分式的最簡公分母.

通分步驟：①定最簡公分母；②化異分母為最簡公分母.

約分與通分的聯(lián)系與區(qū)別：

聯(lián)系都是根據分式的基本性質對分式進行恒等變形，即每個分式變形之后都

不改變原分式的值.

區(qū)別1）約分是針對一個分式而言，約分可使分式變簡單.

2）通分是針對兩個或兩個以上的分式來說的，通分可使異分母分式化為

同分母分式.」

5.最簡公分母：一般取各分母的所有因式的最高次騫的積作公分母，這樣

的公分母叫做最簡公分母.

確定最簡公分母步驟：

①定系數(shù)：取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

②定字母：取分式分母中的所有字母；

③定指數(shù)：取各個字母的最高指數(shù)

考點二：分式的基本性質

1.基本性質：分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不等于0的整式，分

式的值不變.

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A_AxCA_A+C

2.即§BxC（c片0）或§B+C（＜：#0）,其中人乃，。是整式.

3.符號法則：分子、分母與分式的符號，改變其中任何兩個，分式的值不

變.即.A=-A=J4_=_-A

5——5一-B~B

考點三：分式的運算（常考點，選擇填空解答都可能出現(xiàn)）

1、分式的加減

bcb±c

——±———----

①同分母：分母不變，分子相加減：aaa

bdbeadbc±ad

——±————±—=------

②異分母：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減：ac℃acac

2、分式的乘除和乘方

bdbd

—x———

①乘法：用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母：acac

bdbcbe

__：__—__x__—___

②除法：把除式的分子分母顛倒位置，與被除式相乘：a'cadad

（dw0）

（一

③乘方：分式的乘方要把分子，分母分別乘方：aa"（"為正整數(shù)）

3、分式的混合運算順序：先乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括

號里面.

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知識點一：二次根灰

考點一：二次根式的有關概念（常考選擇題，填空題）

1.二次根式：一般地，形如右（。2°）的式子叫做二次根式.

2.最簡二次根式：最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：

⑴被開方數(shù)不含分母.

（2）被開方數(shù)（或式）中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

3.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相

同，這幾個二次根式叫做同類二次根式.

易混淆點

1.二次根式定義中規(guī)定，任何非負數(shù)的算術平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結果，

如：根-V9都是二次根式.

2.二次根式有意義的條件：當a叁。時，即被開方數(shù)大于或等于0,二次根式歷有意義.

3.在關于代數(shù)式有意義的問題中，要注意二次根式（被開方數(shù)大于或等于0）、分式（分母不

等于0）等有意義的綜合運用.

4.最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：

①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不應含有根號）；

②不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.

［補充］含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、（x+y）\x?+2xy+y2等.

5.幾個同類二次根式在沒有化簡前，被開方數(shù)可以完全互不相同，如：V2＞瓜］是同類

二次根式.

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考點二：二次根式的性質

雙重非負性①被開方數(shù)是非負數(shù)，即aNO；

②二次根式的值是非負數(shù)，即oo.

性質

①6/5)2=a(a>o)

(a(a>0)

②，a2=o(a=0)

其它性質

1—a(aV0)

即任意一個數(shù)的平方的算術平方根等于它本身的絕對值

③=VaeVb(a>0,b>0)

④4嶗SN。,b>。)

二次根式的化簡方法：

1）利用二次根式的基本性質進行化簡；

2）利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡.府

=Va*Vb（a>0,b>0）,R=噂（a>0,b>0）

7bvb

化簡二次根式的步驟：

1）把被開方數(shù)分解因式；

2）利用積的算術平方根的性質，把各因式（或因數(shù)）積的算術平方根化為

每個因式（或因數(shù)）的算術平方根的積；

3）化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于

根指數(shù)2.

考點三：二次根式的運算（口訣：一化、二找、三合并）

乘法法則：兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：府=五?儕

（a>0,b>0）.

除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.即：得=《（a

>0,b>0）.

加減法法則：先把各個二次根式化為最簡二次根式后，再將被開方數(shù)相同的二次

根式合并.

分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的

過程.

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【分母有理化方法】

1)分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分.即：2=

Va_Va

Va,Vaa

2)分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構成平方差的另一部

分.

叩.1_迎+VB_V5+VB.

?Va-Vb(Va-Vb)(Va+Vb)a-b；

二次根式混合運算順序：先乘方、再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的(或

先去掉括號).

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知識點五：一次方程組

考點一：等式及方程的有關概念

1.等式及其性質（貫穿整個代數(shù)運算）

⑴用等號唯”來表示相等關系的式子，叫做等式.

⑵等式的性質：

①等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子）,所得結果仍是等式；

②等式兩邊乘（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是0）,所得結果仍是等式.

2?方程的有關概念

⑴含有未知數(shù)的等式叫做方程.

（2）方程的解:使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解,一元方

程的解也叫做它的根.

⑶解方程:求方程解的過程叫做解方程.

考點二：一元一次方程及其解法

1.只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是L這樣的方程叫做一元一次方

JQ----b-

程,其標準形式為ax+人=°（。*°）,其解為a

2.解一元一次方程的一般步驟M）去分母;（2）去括號;⑶移項;⑷合并同類項;⑸

未知數(shù)的系數(shù)化為1.

步驟具體做法依據

去分母①等式性質

去括號③乘法分配律、去括號法則

移項⑤移項法則

合并同類項⑦合并同類項法則

系數(shù)化為工⑨等式性質

考點三：二元一次方程

⑴概念:含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是L這樣的方程叫做二元一次

方程.

⑵一般形式:入勿+c=0（"0,b00）.

⑶使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值,叫做二元一次方程的

解.

（4）解的特點:一般地,二元一次方程有無數(shù)個解.

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考點四：二元一次方程組（解答題）

（1）概念:方程組中有兩個未知數(shù)，含有每個未知數(shù)的項的次數(shù)都是L并且一

共有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組.

（2）二元一次方程組的一般形式：

<

a2x+b2y=c2（哂與她不同時為零）

（3）二元一次方程組的解.

一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解,叫做二元一次方程組的解.

（4）.解二元一次方程組的基本思想

解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉化為一元一次

方程.

（5）.二元一次方程組的解法

消元法使用類型解法及步驟

①常數(shù)項為0；□①將一個未知數(shù)用另一個代數(shù)式表示出來；

②方程組中有一個未②再代入另一個方程中；③得到一元一次方

代入法

知數(shù)的系數(shù)是1或-1程；④解方程，得到未知數(shù)的值，⑤將這個

值，代人①中，得到另一個未知數(shù)的值，寫

出方程組的解

方程組中，同一個未知①把兩個方程相加（或相減）得到一元一次

數(shù)的系數(shù)相同或互為方程；②解方程，得到未知數(shù)的值；③將這

相反數(shù)時個值代入①中任意一個方程,得到另一個未

加減法知數(shù)的值，寫出方程組的解

方程組中，同一個未知通過找同一個未知數(shù)的系數(shù)的最小公倍數(shù)，

數(shù)的系數(shù)不相同也不把方程組變成有一個未知數(shù)的系數(shù)相同或

相反時相反的方程組，再解這個方程組

考點六、一次方程（組）的應用

1.方程（組）的解的應用：

把方程（組）的解代回方程，再求出未知數(shù)的值.

①關于x的一元一次方程2x+m=4的解為x=l,則2Xl+m=4;

\=2

②若:\是方程x+ay=3的一個解，則2-a=3.

2.列一次方程（組）解決實際問題的一般步驟

（1）審：審清題意，分清已知量和未知量.

（2）設：設未知數(shù)，一般求什么設什么，也可間接設未知量.

（3）歹！J:根據題中的等量關系，列出方程（組）.

⑷解：解方程（組）.

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（5）檢驗和作答：檢驗所得的解是否符合題意，并規(guī)范作答（包含單位名

稱）.

3.一次方程（組）應用題中常見的等量關系（貫穿整個應用題）

單價、總價①總價=單價X數(shù)量（或總量=單位量X數(shù)量）；②總數(shù)量=甲數(shù)

問題量+乙數(shù)量；③總價=甲的單價X甲的數(shù)量+乙的單價X乙的數(shù)量

打折銷售①售價=標價X折扣；②銷售額=售價X銷量；③利潤=售價-進價

問題

配套問題①一個A與一個B配成一套：A的數(shù)量=8的數(shù)量；②m個A與

n個B配成一套：A：B的數(shù)量比為m：n,即A的數(shù)量的n倍=8

的數(shù)量的m倍

變化率問①增長后的量=原來的量X（1+增加率）；②減少后的量=原來的

題量X（1-減少率）

工程問題①工作總量=工作效率X工作時間；②總工作量=各單位工作量

的和；③工作效率=—i—

工作天數(shù)

行程問題①同時出發(fā)的相遇1可題：S甲+S乙=$總，ttp=t乙；②同時不同地的

（勻速行追擊問題的關鍵是t甲2乙；同地不同時追擊問題的關鍵是s甲=5

駛）乙；③航行問題：V順水（風）=v靜水（風）+V航行；V逆水（風）=V航行-v靜水（風）

比賽積分①總場數(shù)=勝場數(shù)+負場數(shù)+平場數(shù)；②總積分=勝場積分+負場積

問題分+平場積分

階梯收費①總費用=各部分費用的和；②未超過部分=基礎單位費用X未

問題超過部分的用量；③超過部分=（基礎單位費用+超過部分單位

加收的費用）X超過部分的用量

數(shù)字問題如果個位、十位、百位上的數(shù)字分別是c、b、a,那么這個三位

數(shù)表示為100a+10b+c（其中a、b、c是大于1且小于10的整數(shù)）

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知詼點六?：一元二次方程

考點一：一元二次方程的概念(?？?

1.定義

只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程,叫做一元二次方程.

2.一般形式

一元二次方程的一般形式：ax2+/zx+c=0(〃w0).

注意:最高項系數(shù)“wO

考點二：一元二次方程的解法

1、直接開平方法

2a(a>0)jjiijx=±y[a(甘中％i=-,x=y[a)

(1)形如：①X2

②(％+/z)2=2o),貝gx=±G_/z(苴中藥=_6一力，x?=?-h)

±y[a-n-y[a-nyj~a-n

③(mx+〃)2=a(a20,mw0),貝/1一(其中m,也

mm)

(2)步驟：

①通過“降次”，將一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，

②分別解兩個一元一次方程，得到的兩個解就是原方程的解。

2、配方法(?？?

(1)把一元二次方程的左邊配成完全平方式，然后用直接開平方法求解,

這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

(2)步驟

①化1：把二次項系數(shù)化為1

②移