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文檔簡介
重難點15平面向量中的最值與范圍問題【十大題型】
【新高考專用】
?題型歸納
【題型1定義法求最值(范圍)問題】..........................................................4
【題型2基底法求最值(范圍)問題】..........................................................4
【題型3坐標(biāo)法求最值(范圍)問題】..........................................................5
【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值(范圍)問題】.........................................6
【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題】....................................................7
【題型6與模有關(guān)的最值(范圍)問題】........................................................8
【題型7平面向量中參數(shù)的最值(范圍)問題】..................................................8
【題型8極化恒等式】.........................................................................9
【題型9矩形大法】..........................................................................10
【題型10等和(高)線定理】....................................................................11
?命題規(guī)律
1、平面向量中的最值與范圍問題
平面向量中的范圍、最值問題是高考的熱點問題,也是難點問題,此類問題綜合性強,體現(xiàn)了知識的
交匯組合;其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值,比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系
數(shù)的范圍等.
?方法技巧總結(jié)
【知識點1平面向量中的最值與范圍問題的解題策略】
1.平面向量中的最值(范圍)問題的兩類求解思路:
(i)“形化”,即利用平面向量的相關(guān)知識將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題,然后結(jié)合平面圖
形的特征直接進行判斷;
(2)“數(shù)化",即利用平面向量的坐標(biāo)運算,把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方
程有解等問題,然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決.
2.平面向量中的最值(范圍)問題的常用解題方法:
(1)定義法
①利用向量的概念及其運算將所求問題進行轉(zhuǎn)化,得到相應(yīng)的等式關(guān)系;
②運用基木不等式、二次函數(shù)求其最值(范圍)問題,即可得出結(jié)論.
(2)坐標(biāo)法
①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,把幾何圖形放在坐標(biāo)系中,就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標(biāo);
②將平面向量的運算坐標(biāo)化,進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算;
③運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如:二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍).
(3)基底法
①適當(dāng)選取一組基底,利用基底轉(zhuǎn)化向量;
②寫出向量之間的聯(lián)系,根據(jù)向量運算律化簡目標(biāo),構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的關(guān)系式來進行求解;
③運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如:二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍),
即可得出結(jié)論.
【知識點2極化恒等式】
1.極化恒等式的證明過程與幾何意義
(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和:
|£+斤+耳_斤=2(|浦+時).
證明:不妨設(shè)在=£,而=3,貝!]又=%+B,DB=a-b,
匹卜定=R+.第2+2a4+W①,
|喝2=麗?=(1可=@-2屋3+同2②,
①②兩式相加得:
\AC[+\DB[=2(@+W卜2(畫2+1石0.
(2)極化恒等式:
上面兩式相減,得:[君=+一--------極化恒等式
平行四邊形模式:=「-|0同[.
2.幾何解釋:向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平
方差的
4
(1)平行四邊形模型:向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角
線長”平方差的;,即:.I=(如圖).
⑵三角形模型:向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差,即=
/2一應(yīng)聲(〃為2C的中點X如圖).
極化恒等式表明,向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示,可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)
【知識點3矩形大法】
1.矩形大法
矩形所在平面內(nèi)任一點到其對角線端點距離的平方和相等.
即:已知點。是矩形/BCD與所在平面內(nèi)任一點,可以得到:O^+OC2=OB2+OD2.
【知識點4等和(高)線定理】
1.等和(高)線定理
(1)由三點共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理:如圖,由三點共線結(jié)論可知,若蘇=%51+〃加Q,〃eR),
則%+〃=1,由△048與40AE相似,必存在一個常數(shù)k,kER,使得OP'^kOP,則
OP'=kOP=k^OA+k^iOB,又OP'=xOA+yOB(x,yGR),-'-x+y=k^+k/i=k;反之也成立.
(2)平面內(nèi)一個基底{51,而}及任一向量而,OP'=XOA+//O3(/,Z/eR),若點P在直線N8上或在平
行于N8的直線上,貝IU+〃=M定值);反之也成立,我們把直線48以及與直線N8平行的直線稱為等和(高)
線.
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時,k=\-,
②當(dāng)?shù)群途€在。點和直線之間時,蛇(0,1);
③當(dāng)直線4B在。點和等和線之間時,任(1,+8);
④當(dāng)?shù)群途€過。點時,A=0;
⑤若兩等和線關(guān)于。點對稱,則定值左1,左2互為相反數(shù);
⑥定值k的變化與等和線到0點的距離成正比.
?舉一反三
【題型1定義法求最值(范圍)問題】
【例1】(24-25高三上?廣東?開學(xué)考試)已知單位向量無修的夾角為泰則|瓦-1(互-五)|(teR)的最小值為
()
A.|B.爛C.1D.1
Z24
【變式1-1](23-24高一下?安徽蕪湖?期中)如圖,已知點G是△4BC的重心,過點G作直線分別與ZB,AC
兩邊交于M,N兩點,設(shè)彳而=%同,AN=yAC,貝!|x+4y的最小值為()
A.9B.4C.3D.|
【變式1-2](23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí))點。是△ABC所在平面內(nèi)一點,若出+方+而=0,AM
=久屈,AN=yAC,MO=AON,貝by的最小值為()
124
A.-B.1C.-D.-
【變式1-3](23-24高一下?上海?期末)已知向量2,注,滿足同=同=1,a-b=-|,c=xa+yb
(x、y£R,y>0),則下列四個命題中,正確命題的個數(shù)是().
①若x=l,則目的最小值為冬
②若久=1,則存在唯一的力使得方?工=0;
③若晅|=1,貝放+y的最小值為一1;
④若?=1,貝皈?c+c?石的最小值為一看
A.1B.2C.3D.4
【題型2基底法求最值(范圍)問題】
【例2】(23?24高一下?重慶巴南?階段練習(xí))在矩形ZBCD中,已知瓦F分別是BC,CD上的點,且滿足族=麗
存=2萬.若點P在線段BD上運動,且”=〃!E+m4/”,〃ER),則1+4的取值范圍為()
A[一級]B.[|,|]C.[|,1]D,[-1.|]
【變式2-1](23-24高一下?浙江?期中)如圖,在四邊形48CD中,AB\\CD,AB=2CD,P為線段CD上一個
動點(含端點),AC=mDB+nAPf則m+九的取值范圍是()
A.(0,1]B.[2,3]C.[1,2]D.[2,4)
【變式2-2](23-24高一下?河南?階段練習(xí))已知口45。。中,點尸在對角線4。上(不包括端點4C),
點。在對角線5。上(不包括端點3,。),若羽=九荏+%而,而=超四+〃2前,記2周一〃1的最小
17
值為次,彳+丁的最小值為〃,則()
19-19
AA.m=n=-B.m=n=-
oZ4Z
19-19
C.m=~-,n=-D.m=--,n=-
【變式2-3](23-24高三下?云南?階段練習(xí))已知。為△ABC的內(nèi)心,角/為銳角,sin&=q,若而=〃
O
AB+AAC,貝!J〃+a的最大值為()
A.-ZB.74C.~5D.6
【題型3坐標(biāo)法求最值(范圍)問題】
【例3】(2024?河北滄州?一模)如圖,在等腰直角△2BC中,斜邊48=4a,點。在以8c為直徑的圓上
運動,貝獷話+而|的最大值為()
A.4V6B.8C.6V3D.12
【變式3-1](2024?四川成都三模)在矩形48CD中,48=5,2。=4,點E滿足2族=3而,在平面48CD
中,動點P滿足無?麗=0,則麗.加的最大值為()
A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2413—6
【變式3-2](2024?湖南永州?三模)在△48C中,N"B=120。,|XC|=3,|BC|=4,DC-~DB^0,^\\AB+AD\
的最小值為()
A.6V^—2B.25/19—4C.3V3-1D.V19-2
【變式3-3](2024?貴州貴陽?一模)如圖,在邊長為2的正方形4BCD中.以C為圓心,1為半徑的圓分別
交CD,BC于點E,F.當(dāng)點尸在劣弧EF上運動時,麗?市的取值范圍為()
A.[1_-JB.[1-2^2,-1]
C.[-1,1-V2]D.[1-2vxi-
【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值(范圍)問題】
【例4】(2024?四川遂寧?模擬預(yù)測)在△4BC中,點歹為線段2C上任一點(不含端點),^AF=xAB+2y
AC(x>0,y>0),貝嶺+:的最小值為()
A.3B.4C.8D.9
【變式4-1](23-24高一下?廣西南寧?階段練習(xí))在△ABC中,點。滿足麗=2沆,過點。的直線分別交
射線ZB,AC于不同的兩點跖N.設(shè)前='荏,麗=/,則在+九的最小值是()
323
A.3B.1C.—D.—
loIO
【變式4-2](23-24高一下?安徽六安?期末)在△A8C中,已知布?前=9,sinB=cosZsinC,SAABC=6,P
為線段4B上的一點,且而="嗇+嚕j,貝嶺+和勺最小值為()
【變式4-3](2024?全國?模擬預(yù)測)如圖所示,在△ABC中,M為線段8c的中點,G為線段4M上一點,
AG=2GM,過點G的直線分別交直線AB,4C于P,Q兩點.設(shè)屈=%而(久>。),左=y湎(y>0),則京+崇
的最小值為()
A
C36
D.
【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題】
【例5】(2024?陜西渭南?二模)已知菱形4BCD的邊長為LcosNB4D=初1為菱形的中心,E是線段AB上的
動點,則麗?麗的最小值為()
【變式5-1](2024?重慶?模擬預(yù)測)如圖,圓。內(nèi)接邊長為1的正方形4BCD,P是弧BC(包括端點)上一
A.[1符B.[1,呼C.[1,用D.片,1]
【變式5-2](2024?陜西安康?模擬預(yù)測)如圖,在平面四邊形4BCD中,△4BD為等邊三角形,
CB=CD=2BD=2,當(dāng)點E在對角線AC上運動時,無?麗的最小值為()
【變式5-3](2024?全國?模擬預(yù)測)如圖,已知正六邊形2BCDEF的邊長為2,對稱中心為。,以。為圓心
作半徑為1的圓,點M為圓。上任意一點,則而?屈的取值范圍為()
E
C.[—8,0]D.[-6^/3^,0]
【題型6與模有關(guān)的最值(范圍)問題】
【例6】(2024?安徽六安?模擬預(yù)測)已知平面向量入b,不滿足同=1,㈤=8,a-b=-l,(a-c^-c)
=30°,則?的最大值等于()
A.2V7B.V7C.2V3D.3V3
【變式6-1](2024?湖南長沙?三模)在平行四邊形4BCD中,AC=2BD=4,點P為該平行四邊形所在平面
內(nèi)的任意一點,貝1||訶|2+|麗仔+|而『+|而『的最小值為()
A.6B.8C.10D.12
【變式6-2](23-24高一下?天津?期末)如圖,在△4BC中,己知2B=2,AC=3,NA=120。,E,F分別
是力B,AC邊上的點,且族=久而,AF=yAC,且2久+y=l,若線段EF,BC的中點分別為M,N,則|而
|的最小值為()
A.孝B.啜C.fD.需
【變式6-3](23-24高一下?廣東廣州?期末)已知平面向量出b,e,且同=1,同=2.已知向量后與]所成
的角為60°,且后一同卻%|對任意實數(shù)唯成立,則同+磯+跟一同的最小值為()
A.V3+1B.2V3C.V3+V5D.2V5
【題型7平面向量中參數(shù)的最值(范圍)問題】
【例7】(23-24高一下?甘肅隴南?期末)已知平面向量為而滿足同=同=4,|4=21=-8,若E=4五+〃
貝眨4+〃的取值范圍是()
A.[-竽,陷B.上亨,亨]C.卜亨,亨]D.[-2V6,2V6]
【變式7-1](23-24高一下?黑龍江哈爾濱?期末)在△48C中,AB=6/C=8,48"=9/是N84C的平分
線上一點,且4/=8,若△ABC內(nèi)(不包含邊界)的一點D滿足而=%四+",則實數(shù)x的取值范圍是
()
A-。,月B.(得給C.(-1)1)D.(一/
【變式7-2](23-24高一下?四川成都?期末)在直角梯形4BCD中,AB1AD,DC//AB,AD=DC1,AB=2.E.F
分別為4B/C的中點,點P在以力為圓心,4D為半徑的圓弧0E上運動(如圖所示).若麗=4而+〃而,
其中無“ER,則22—〃的取值范圍是()
C.[—1,2]D.[—2,2]
【變式7-3](23-24高一下?安徽蕪湖?階段練習(xí))如圖扇形20B所在圓的圓心角大小為g,P是扇形內(nèi)部(包
括邊界)任意一點,^OP=xOA+yOB,那么2(x+y)的最大值是()
OA
A.2B.V3C.4D.2V3
【題型8極化恒等式】
【例8】(2024?重慶?模擬預(yù)測)已知△Q4B的面積為1/8=2,動點P,Q在線段AB上滑動,且|PQ|=1,則
OP■麗的最小值為.
【變式8-1](2024?山東?模擬預(yù)測)邊長為1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓,MN是內(nèi)切圓的一條弦,點P為正方
形四條邊上的動點,當(dāng)弦MN的長度最大時,兩?西的取值范圍是.
【變式8-2](2024?湖北省直轄縣級單位?模擬預(yù)測)如圖直角梯形/BCD中,斯是CD邊上長為6的可
移動的線段,2。=4,AB=8V3,8c=12,則而?前的取值范圍為.
【變式8-3](23-24高一下?廣東潮州?階段練習(xí))閱讀以下材料,解決本題:我們知道①@+石)2=原+2a
——2-2772T272tt_?->2_?-*2
-b+b;②(五一B)=a2-2a-b+b.由①■②得(2+B)—(a—fe)=?Bo五?/=(°+“)一(。一>),我們把最
4
后推出的式子稱為“極化恒等式”,它實現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個向量的數(shù)量積化為“模”的運算.如
圖所示的四邊形2BCD中,BD=8AB-AD=48,E為BD中點.
(1)若COSAB2D=百,求△4BD的面積;
⑵若2族=詼,求而?麗的值;
(3)若P為平面4BCD內(nèi)一點,求麗?(麗+而)的最小值.
【題型9矩形大法】
【例9】(2024?浙江紹興?一模)已知向量五,b,E滿足同二歷尸五七=2,(a-c)-(h-2c)0,則后一耳的
最小值為
V7-V3「V3
A.宇DB-CTD.日
【變式9-1](23-24高三下?四川成都?階段練習(xí))已知單位向量乙君滿足|22一引=2,若存在向量不,使得
(工―2①?0—3)=。,則間的取值范圍是()
A?悸,苧+1]B.印—1月c.悸—1,苧+1]D.[V6-1.V6+1]
【變式9-2](23-24高三上?四川資陽?階段練習(xí))已知。為單位向量,向量反滿足:(a-e)-(a-5e)=0,則|五+。|
的最大值為()
A.4B.5C.6D.7
【變式9-3](23-24高三上?貴州貴陽?階段練習(xí))已知平面向量五,b,c,滿足|可=|瓦=港B=2,且
(a—2c)-(h-c)=0,貝!J|五一百的最小值為()
【題型10等和(高)線定理】
【例10】(23-24高一下?重慶?階段練習(xí))在平行四邊形4BCD中,E為CD的中點,BF=^BC,AF與BE交于
點G,過點G的直線分別與射線BA,BC交于點M,N,BM^ABA,BN^fiBC,貝壯+2〃的最小值為()
A.1B.1C.|D.|
【變式10-1](23-24高三上?河南?階段練習(xí))對稱性是數(shù)學(xué)美的一個重要特征,幾何中的軸對稱,中心對
稱都能給人以美感,在菱形48C。中,乙48。=120°,以菱形4BCD的四條邊為直徑向外作四個半圓,P是這
四個半圓弧上的一動點,^DP=WA+nDC,則2+〃的最大值為()
3S
A.5B.3C.-D.-
【變式10-2](23-24高一下?四川綿陽?期中)在扇形。力B中,AAOB=60°,C為弧4B上的一動點,若覺=x
OA+yOB,貝歸久+y的取值范圍是.
【變式10-3](23-24高二上?上海浦東新?階段練習(xí))正六邊形/8CDE/中,P是△CDE內(nèi)(包括邊界)的
動點,設(shè)而=m同+n而,(m,nG/?),則m+n的取值范圍是.
?過關(guān)測試
一、單選題
1.(2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測)在平行四邊形4BCD中4=45。/3=1/。=魚,^AP=AB+xAD{x6/?),
則|赤|的最小值為()
A.|B.掾C.1D.V2
2.(2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測)在△ABC中,~BD=2DC,過點。的直線分別交直線45、4C于點E、F,且
AE=mAB,AF=nAC,其中m>0,n>0,則m+2?i的最小值為()
O
A.2B.V2C.3D.-
3.(2024?廣東東莞?模擬預(yù)測)己知在同一平面內(nèi)的三個點4B,C滿足|4B|=2,2-窖>1,貝日尼+麗|
|C4|\CB\
的取值范圍是()
A.[0,1]B.[0,2]C.[0,V3]D.[0,2V3]
4.(2024?天津河北?二模)△4BC是等腰直角三角形,其中AB12&|同|=1,P是△A8C所在平面內(nèi)的一
點,^CP=XCA+MCB(4N0,〃NO且4+2〃=2),則8?在而上的投影向量的長度的取值范圍是()
A.(0,用B.惇,1]C.[1,V2]D.[V2,2]
5.(2024?安徽蕪湖?三模)已知。C:久2+y2-10%+9=0與直線/交于4B兩點,且。C被/截得兩段圓弧的
長度之比為1:3,若。為OC上一點,則瓦[?麗的最大值為()
A.18V2+12B.16V2+16C.12&+20D.10V2+24
6.(2024?河北滄州?三模)對稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分,他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個分
支中,在數(shù)學(xué)史上,數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.如圖,在等邊△A8C中,AB=2,以三條邊為直徑向外作三
個半圓,M是三個半圓弧上的一動點,若前=4萬+〃n,貝〃的最大值為()
7.(2024?湖北?模擬預(yù)測)向量區(qū)加滿足(五,刃)=也\b\=|V3>且VteR,不等式區(qū)+時2歷-團恒成立.函
數(shù)/(*)=I.一田+|口一同(比6R)的最小值為()
A.1B.1C.V3D.V5
8.(2024?四川成都?三模)已知正方形ABCD的邊長為1,M,N分別是邊AB,AD上的點(均不與端
點重合),記△4MN,△CMN的面積分別為Si,S2.若Si=|加?同川而?詬|,則S2的取值范圍
是()
A.|)B.[V2-1,C,[i,|)D.[V2-1,I)
二、多選題
9.(2024?浙江寧波?二模)若平面向量五,立滿足向=1,回=1,同=3且3?工=B則()
A.B+3+耳的最小值為2
B.B+B+W的最大值為5
C.忖一刃+才|的最小值為2
D.忸―辦+工|的最大值為履
10.(2024?山西晉中?模擬預(yù)測)在△ABC中,。為邊4C上一點且滿足而=河,若P為邊上一點,且
滿足而=4屈+〃尼,九〃為正實數(shù),則下列結(jié)論正確的是()
1
A.川的最小值為1B.加的最大值為五
C?抖擊的最大值為12D.抖5的最小值為4
A3MA
11.(2024,山東濰坊?二模)已知向量2,b,工為平面向量,同=L同=2,a-b=0,\c-a\=貝!]
()
A.1<|C|<|B.五>白―勵的最大值為當(dāng)空
Z4
C.—1<b-c<1D.若才=2花+曲,則4+〃的最小值為1—當(dāng)
三、填空題
12.(2024?四川宜賓?模擬預(yù)測)己知點。,48在同一平面內(nèi)且力為定點,?萬=-2,而?同=2CD分別
是點B軌跡上的點且8C=2,則麗?方的最大值與最小值之和是.
13.(2024?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測)已知△ABC中,角4,8,C所對的邊分別為a,b,c,ABAC=^,6=1,
c=V3,若力D=2(m+n)4B+急AC,則|南|的最小值為-------
14.(2024?天津濱海新?三模)在平行四邊形4BCD中,N&=60。,2D="B,點E在邊DC上,滿足反=/
DC,則向量荏在向量而上的投影向量為(請用而表示);若4B=3,點M,N分別為線段4B,BC
上的動點,滿足BM+BN=1,則前?麗的最小值為.
四、解答題
15.(23-24高一下?江蘇南京?階段練習(xí))如圖,在△ABC中,點P滿足於=2而,過點P的直線與力B/C所
在的直線分別交于點MN,若前=AABjN=/zXC,(A>O,fi>0).
(1況與〃的關(guān)系;
(2)求4+〃的最小值
16.(23-24高一?浙江?期中)在△2BC中,已知AB=3,AC=1,AB-AC^-1,設(shè)點P為邊BC上一點,點
Q為線段C4延長線上的一點,且而=t而(t<0).
⑴當(dāng)t=_l且P是邊BC上的中點時,設(shè)PQ與4B交于點M,求線段CM的長;
(2)若麗?所+3=而?荏,求歷初的最小值.
17.(23-24高一下?湖南長沙?期末)如圖,設(shè)。%,Oy是平面內(nèi)相交成60。角的兩條數(shù)軸,無,專分別是與x軸、
y軸正方向同向的單位向量.若向量麗=xei+y帶則把有序?qū)崝?shù)對(x,y)叫做向量而在坐標(biāo)系Oxy中的坐
標(biāo),記作曲=(x,y).在此坐標(biāo)系。孫中,若61=(3,0),礪=(0,2),5?=(3,2),E尸分別是。的中點,AE.AF
分別與。P交于R,7兩點.
(1)求:而I;
(2)求市,加的坐標(biāo);
(3)若點〃在線段4F上運動,設(shè)麗=(x,y),求xy的最大值.
18.(23-24高二上?上海虹口?期中)在/力BC中,滿足:AB1AC,M是BC的中點.
ci)若I荏1=1*I,求向量南+2前與向量2而+前的夾角的余弦值;
(2)若。是線段AM上任意一點,且|南|=|就|=魚,求函?赤+沆?初的最小值:
(3)若點尸是N82C內(nèi)一點,且|而|=2,AP-AC=2,AP-AB^l,求|而+衣+而|的最小值.
19.(23-24高一下?江蘇蘇州?期中)在銳角aaBC中,cosB=¥,點。為△4BC的外心.
(1)若前=萬而+丫就,求x+y的最大值;
⑵若b=V2,
(i)求證:OB+sin2A?。力—cos2A,0C=6;
(ii)求|3赤+2D1+而|的取值范圍.
重難點15平面向量中的最值與范圍問題【十大題型】
【新高考專用】
?題型歸納
【題型1定義法求最值(范圍)問題】..........................................................4
【題型2基底法求最值(范圍)問題】..........................................................6
【題型3坐標(biāo)法求最值(范圍)問題】.........................................................10
【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值(范圍)問題】.........................................14
【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題1..............................................................................16
【題型6與模有關(guān)的最值(范圍)問題】.......................................................21
【題型7平面向量中參數(shù)的最值(范圍)問題】.................................................23
【題型8極化恒等式】........................................................................26
【題型9矩形大法】..........................................................................30
【題型10等和(高)線定理】....................................................................33
?命題規(guī)律
1、平面向量中的最值與范圍問題
平面向量中的范圍、最值問題是高考的熱點問題,也是難點問題,此類問題綜合性強,體現(xiàn)了知識的
交匯組合;其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值,比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系
數(shù)的范圍等.
?方法技巧總結(jié)
【知識點1平面向量中的最值與范圍問題的解題策略】
1.平面向量中的最值(范圍)問題的兩類求解思路:
(i)“形化”,即利用平面向量的相關(guān)知識將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題,然后結(jié)合平面圖
形的特征直接進行判斷;
(2)“數(shù)化",即利用平面向量的坐標(biāo)運算,把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方
程有解等問題,然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決.
2.平面向量中的最值(范圍)問題的常用解題方法:
(1)定義法
①利用向量的概念及其運算將所求問題進行轉(zhuǎn)化,得到相應(yīng)的等式關(guān)系;
②運用基木不等式、二次函數(shù)求其最值(范圍)問題,即可得出結(jié)論.
(2)坐標(biāo)法
①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,把幾何圖形放在坐標(biāo)系中,就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標(biāo);
②將平面向量的運算坐標(biāo)化,進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算;
③運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如:二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍).
(3)基底法
①適當(dāng)選取一組基底,利用基底轉(zhuǎn)化向量;
②寫出向量之間的聯(lián)系,根據(jù)向量運算律化簡目標(biāo),構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的關(guān)系式來進行求解;
③運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如:二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍),
即可得出結(jié)論.
【知識點2極化恒等式】
1.極化恒等式的證明過程與幾何意義
(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和:
|£+斤+耳_斤=2(|浦+時).
證明:不妨設(shè)在=£,而=3,貝!]又=%+B,DB=a-b,
匹卜定=R+.第2+2a4+W①,
|喝2=麗?=(1可=@-2屋3+同2②,
①②兩式相加得:
\AC[+\DB[=2(@+W卜2(畫2+1石0.
(2)極化恒等式:
上面兩式相減,得:[君=+一--------極化恒等式
平行四邊形模式:=「-|0同[.
2.幾何解釋:向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平
方差的
4
(1)平行四邊形模型:向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角
線長”平方差的;,即:.I=(如圖).
⑵三角形模型:向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差,即=
/2一應(yīng)聲(〃為2C的中點X如圖).
極化恒等式表明,向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示,可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)
【知識點3矩形大法】
1.矩形大法
矩形所在平面內(nèi)任一點到其對角線端點距離的平方和相等.
即:已知點。是矩形/BCD與所在平面內(nèi)任一點,可以得到:O^+OC2=OB2+OD2.
【知識點4等和(高)線定理】
1.等和(高)線定理
(1)由三點共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理:如圖,由三點共線結(jié)論可知,若蘇=%51+〃加Q,〃eR),
則%+〃=1,由△048與40AE相似,必存在一個常數(shù)k,kER,使得OP'^kOP,則
OP'=kOP=k^OA+k^iOB,又OP'=xOA+yOB(x,yGR),-'-x+y=k^+k/i=k;反之也成立.
(2)平面內(nèi)一個基底{51,而}及任一向量而,OP'=XOA+//O3(/,Z/eR),若點P在直線N8上或在平
行于N8的直線上,貝IU+〃=M定值);反之也成立,我們把直線48以及與直線N8平行的直線稱為等和(高)
線.
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時,k=\-,
②當(dāng)?shù)群途€在。點和直線之間時,蛇(0,1);
③當(dāng)直線4B在。點和等和線之間時,任(1,+8);
④當(dāng)?shù)群途€過。點時,A=0;
⑤若兩等和線關(guān)于。點對稱,則定值左1,左2互為相反數(shù);
⑥定值k的變化與等和線到0點的距離成正比.
?舉一反三
【題型1定義法求最值(范圍)問題】
【例1】(24-25高三上?廣東?開學(xué)考試)已知單位向量無修的夾角為泰則|瓦-1(互-五)|(teR)的最小值為
()
A.|B.爛C.1D.1
Z24
【解題思路】直接利用數(shù)量積與模的關(guān)系結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可.
【解答過程】易知瓦?邏=cos(=今
-1
2
所以|萬T(冕—藥)|2=|(l-t)ej+t*|2=(IT)2+2(i-t)t.-+t
=t2-t+l=(t-|)+%
即當(dāng)t=9時,同-K冕-初|min=當(dāng)
故選:B.
【變式1-1](23-24高一下?安徽蕪湖?期中)如圖,已知點G是△4BC的重心,過點G作直線分別與AB,AC
兩邊交于M,N兩點,設(shè)莉=%而,AN=yAC,貝!|x+4y的最小值為()
A.9B.4C.3D.|
【解題思路】借助平面向量線性運算與三點共線定理及基本不等式計算即可得.
【解答過程】由點G是△ABC的重心,AM=xAB,AN=yAC,
故正=|(AB+而)=|(|AM+iZ/V)=j-AM+j-AN,
由G、M、N三點共線,故5+點=1,
則x+4y=(x+4y)(*+3='+[+M+^|+2jp|=3,
當(dāng)且僅當(dāng)禁=£即x=l,y=:時,等號成立.
故選:C.
【變式1-2](23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí))點。是△ABC所在平面內(nèi)一點,若市+/+方=0,AM
=xAB,AN^yAC,~M0=WN,貝ijxy的最小值為()
124
A.-B.1C.-D.—
【解題思路】易知。為△ABC的重心,由題意,根據(jù)重心的性質(zhì)可得;+9=罌=,結(jié)合基本不等式計
xy1+4
算即可求解.
【解答過程】由題意知,OA+OB+OC=0,則。為△ABC的重心,
由府=xABAN=yACjW=%而知,
4MB三點共線,4MC三點共線,M,O,N三點共線,
如圖,。為3C的中點,且而=|前,雨=涼+而,而=方+而,
由麗=4而,得加+而=4(市+而),又府=萬標(biāo),麗=y而,
所以氯+A)AD=AyAC+xAB,
->Ay---->x>3AV---->3%----->
即“。=?i+a)4C+----------------=2(1+4力C+2(1+4)48,
因為。為2c的中點,所以而=冠+冠,
31y_1(_1+A
所以嘮一?,解得"=再,所以!+2=膏=3,
=—?v=------xyi+A
、2(1+4)------2V3A
由x>0,y>0,得3=工+:22區(qū),即
xyyxyy
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=|時等號成立,所以xy的最小值為《
故選:D.
【變式1-3](23-24高一下?上海?期末)已知向量石方總滿足同=出|=1,a-b=-pc=xa+yb
(x、y£R,y>0),則下列四個命題中,正確命題的個數(shù)是().
①若x=l,則舊的最小值為爭
②若久=1,則存在唯一的力使得乙區(qū)=0;
③若同=1,則x+y的最小值為一1;
④若?=i,則逢2+2i的最小值為一a
A.1B.2C.3D.4
【解題思路】對于①,對工=%五+丫9兩邊平方轉(zhuǎn)化為求y2-y+1的最值可判斷①;對工=法+、石兩邊同乘
以2可判斷②;對苒=法+好兩邊平方然后利用基本不等式可判斷③;由③知%+y>-1可判斷④.
【解答過程】|a|=\b\=l,a-b=—c=xa+y&(x,yGR,y>0),
對于①,若久=L則那=x2a2+2xya-b+y2b2=1+2yx(—2)+/
=y2-y+l=(y-1)+^>|,當(dāng)且僅當(dāng)y=T時,取得等號,
???理的最小值為3.?.?的最小值為亨???①正確;
對于②,若%=1,由2?工=0得%彥+y五.刃=%_&=o,l-|y=0,
??.y=2,?,?存在唯一的y=2,使得五?工=0,.,?②正確;
對于③,若間—1,則1=c2=(xa+yb)2=%2+y2-xy
=(%+y)2—3xy>(%+y)2—3?^=出產(chǎn)■,
當(dāng)且僅當(dāng)汽=y=1時取得等號,???生詈工1,?<-%+y<2,
又yNO,?,?%+yN%Z-l,當(dāng)且僅當(dāng)y=0,%=-1時取得等號,二③正確;
對于④,若同=1,則五"?石=%一|丫+(—3%+y=?,
由③知x+yN—1,???N?,:.④正確.
故選:D.
【題型2基底法求最值(范圍)問題】
【例2】(23-24高一下?重慶巴南?階段練習(xí))在矩形ZBCD中,已知瓦尸分別是BC,CO上的點,且滿足族=近
存=2萬.若點P在線段BD上運動,且”=〃!E+m4/”,〃ER),則1+〃的取值范圍為()
兒卜然]B.[|圖C,[|,|]D,[-|,|]
【解題思路】建立基底,DC^a^DA^b,貝|族=2-歲,而=頡一3,然后將設(shè)而=土屈+(1-。而
,0<t<l,最終表示為而=(—"學(xué)族+R—韻福然后得到4+〃=9才,進而求出范圍.
【解答過程】矩形4BCD中,已知E,F分別是B&CD上的點,且滿足而=成而=2而,
AB
設(shè)反=2,瓦1=石,則族=卷+旗=五一步,AF=AD+~DF^^a-b,
{AE=a-^b(a=^AE
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