高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 2.3 向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理 2.3.1 空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示課件 北師大版選修2-1-北師大版高二選修2-1數(shù)學(xué)課件

§3

向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理3.1空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示一二思考辨析一、空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示

一二思考辨析名師點(diǎn)撥1.在空間選一點(diǎn)O和一組單位正交基i,j,k.以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以i,j,k的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫坐標(biāo)軸.這樣我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz,其中點(diǎn)O叫原點(diǎn),向量i,j,k都叫坐標(biāo)向量,經(jīng)過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫作坐標(biāo)平面,它們分別是xOy平面,xOz平面,yOz平面.2.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,對(duì)于空間任一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量

,若

=xi+yj+zk,則有序數(shù)組(x,y,z)叫作點(diǎn)A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記為A(x,y,z),其中x叫點(diǎn)A的橫坐標(biāo),y叫點(diǎn)A的縱坐標(biāo),z叫點(diǎn)A的豎坐標(biāo).寫點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),三個(gè)坐標(biāo)之間的順序不能顛倒.一二思考辨析【做一做1】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F,G分別是DD1,BD,BB1的中點(diǎn),則

的坐標(biāo)分別為

,

.

一二思考辨析二、投影

一二思考辨析名師點(diǎn)撥a·b0=|a|cos<a,b>是一個(gè)可正可負(fù)的實(shí)數(shù),它的符號(hào)代表向量a與b的方向相對(duì)關(guān)系,大小代表在b上投影的長(zhǎng)度.一二思考辨析【做一做2】

已知a=(1,0,-1),b=(1,,0),則向量a在向量b上的投影為

.

解析:向量a在向量b上的投影為

一二思考辨析判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)寫向量的坐標(biāo)時(shí),三個(gè)實(shí)數(shù)之間的順序可以顛倒.(

)(2)在同一空間直角坐標(biāo)系中,某一向量的坐標(biāo)是唯一確定的.(

)(3)在同一空間直角坐標(biāo)系中,隨著向量a的平移,坐標(biāo)也隨之發(fā)生變化.(

)(4)向量a在向量b上的投影是一個(gè)正數(shù).(

)×√××探究一探究二思維辨析向量的坐標(biāo)表示【例1】

如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中,AB=3,AD=4,AA'=6.(1)寫出點(diǎn)C'的坐標(biāo),給出

關(guān)于i,j,k的分解式(其中i,j,k分別為x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量);思維點(diǎn)撥:點(diǎn)C'的坐標(biāo)的確定方法:過(guò)點(diǎn)C'作平面xOy的垂線,垂足為C,過(guò)點(diǎn)C分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為點(diǎn)D,B,則x=|CB|,y=|DC|,z=|CC'|.所以C'(x,y,z).探究一探究二思維辨析解:(1)因?yàn)锳B=3,AD=4,AA'=6,所以點(diǎn)C'的坐標(biāo)為(4,3,6).反思感悟空間向量的坐標(biāo)表示的方法與步驟

探究一探究二思維辨析變式訓(xùn)練1已知在正四棱錐P-ABCD中,O為底面中心,底面邊長(zhǎng)和高都是2,E,F分別是側(cè)棱PA,PB的中點(diǎn),分別按照下列要求建立空間直角坐標(biāo)系,寫出點(diǎn)A,B,C,D,P,E,F的坐標(biāo).(1)如圖①,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以射線DA,DC,OP的指向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系;(2)如圖②,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以射線OA,OB,OP的指向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.探究一探究二思維辨析解:設(shè)i,j,k分別是與x軸、y軸、z軸的正方向方向相同的單位向量.(1)因?yàn)辄c(diǎn)B在坐標(biāo)平面xOy內(nèi),且底面正方形的中心為O,邊長(zhǎng)為2,故所求各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,2),E探究一探究二思維辨析(2)因?yàn)榈酌嬲叫蜛BCD的中心為O,邊長(zhǎng)為2,探究一探究二思維辨析向量a在向量b上的投影【例2】如圖,已知單位正方體ABCD-A'B'C'D'.求:思維點(diǎn)撥:|a|cos<a,b>就是向量a在向量b上的投影.探究一探究二思維辨析反思感悟求一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影,一定要用好投影的定義,同時(shí)要找對(duì)兩個(gè)向量的夾角,這也是容易出錯(cuò)的地方.探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析建立空間直角坐標(biāo)系不當(dāng)致誤【典例】

如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的邊長(zhǎng)為1,三棱柱的高為2,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,則

的坐標(biāo)分別為

,

.

易錯(cuò)分析:寫向量的坐標(biāo)前,應(yīng)先建立空間直角坐標(biāo)系,本題若以A為原點(diǎn),分別以

的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系是錯(cuò)誤的,因?yàn)锳B與AC是不垂直的.正解:分別取BC,B1C1的中點(diǎn)D,D1,以D為原點(diǎn),分別以

的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).探究一探究二思維辨析糾錯(cuò)心得在解題時(shí),建立空間直角坐標(biāo)系是關(guān)鍵,解題中建立的坐標(biāo)系可以不同,但都必須符合空間直角坐標(biāo)系的要求.123451.下列命題中,正確的命題是(

)①在空間直角坐標(biāo)系中,i,j,k分別為x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量,則i,j,k叫標(biāo)準(zhǔn)正交基;②在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),則

=(x,y,z);③a·b的幾何意義是a在b方向上的投影與|b|的乘積;④a·b的幾何意義是b在a方向上的投影與|a|的乘積.A.①③

B.②④

C.①②③

D.①②③④答案:D12345A.相等 B.互為倒數(shù)C.互為相反數(shù) D.不能確定答案:C123453.如圖,在直角坐標(biāo)系中的正方體ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,則點(diǎn)C'的

解析:∵AB=2,∴點(diǎn)C'的坐標(biāo)為(2,2,2).12345解析:∵在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=A1A=2,12