高等數(shù)學（第二版）上冊課件：函數(shù)的連續(xù)與間斷

函數(shù)的連續(xù)與間斷

1.7.1函數(shù)連續(xù)性概念1.7.2連續(xù)函數(shù)的運算法則與初等函數(shù)的連續(xù)性1.7.3函數(shù)的間斷點1.7.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質

自然界中許多變量都是連續(xù)變化的，如氣溫的變化，作物的生長，放射性物質存量的減少等等，

這些現(xiàn)象反映到數(shù)學上就是函數(shù)的連續(xù)性．從直觀上看，連續(xù)函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的，在某點連續(xù)，則在該點的極限值和函數(shù)值相等.1.7.1函數(shù)連續(xù)性概念定義1.12由此我們得到函數(shù)連續(xù)的定義連續(xù).故我們得到函數(shù)連續(xù)的另一個定義：定義1.12’連續(xù)點.連續(xù).如果則稱例1.7.1證明定義1.13處右連續(xù)；處左連續(xù).且故例1.7.2解定理1.15即有所以，在點處連續(xù)..

定義1.14連續(xù)，連續(xù)區(qū)間，連續(xù)，的連續(xù)點全體所構成的區(qū)間稱為函數(shù)的例1.7.3證明因為例1.7.4解所以有

1.7.2連續(xù)函數(shù)的運算法則與初等函數(shù)的連續(xù)性

法則1(連續(xù)函數(shù)的四則運算)

法則2(復合函數(shù)的連續(xù)性)

例1.7.5解求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間,例1.7.6解又因為極限存在，法則3(反函數(shù)的連續(xù)性)

由函數(shù)極限的討論以及函數(shù)的連續(xù)性的定義可知：基本初等函數(shù)在其定義域內是連續(xù)的.由連續(xù)函數(shù)的定義及運算法則，可得出：

初等函數(shù)在其定義區(qū)間內是連續(xù)的.例1.7.7解

討論函數(shù)在點處的連續(xù)性．由于而.如圖1.7.3函數(shù)的間斷點

.定義1.15間斷，間斷點或不連續(xù)點.

.可去間斷點.函數(shù)的間斷點可分為以下幾種類型：跳躍間斷點.可去間斷點和跳躍間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點第二類間斷點.例1.7.8解

討論函數(shù)

在的連續(xù)性.例1.7.9解

例1.7.10解.1.7.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質

定理1.15（最大值和最小值定理)

如圖在閉區(qū)間上連續(xù)，它有最高點P和最低點Q，P與Q的縱坐標正是函數(shù)的最大值和最小值．

如果函數(shù)在開區(qū)間內連續(xù)，或者函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點,那么函數(shù)在該區(qū)間上不一定有最大值或最小值．例如，函數(shù)在開區(qū)間內既無最大值又無最小值.定理1.16（介值定理)

.推論（零點存在定理)

例1.7.11證明令又證明方程在內至少有一個根.例1.7.12證明證明方程至少有一個小于1的正根．又因為第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在小

結1.函數(shù)連續(xù)的概念2.初等函數(shù)在其定義區(qū)間內是連續(xù)的.