數(shù)學(xué)學(xué)案：例題與探究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1求過(guò)三點(diǎn)A(1,12）、B(7,10)、C（—9，2)的圓的方程，并求出圓的圓心與半徑,作出圖形.思路分析:因?yàn)閳A過(guò)三個(gè)定點(diǎn)，故可以設(shè)圓的一般式方程來(lái)求圓的方程。解:設(shè)所求的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，依題意有圖2—3—(1，2)-1解得D=—2,E=-4，F(xiàn)=-95。于是所求圓的方程為x2+y2—2x-4y-95=0。將上述方程配方得（x—1）2+(y—2)2=100.于是,圓的圓心D的坐標(biāo)為（1，2），半徑為10，圖形如圖2—3-(1，2）-1所示。綠色通道：求過(guò)三個(gè)定點(diǎn)的圓的方程往往采用待定系數(shù)法求解。利用圓經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)的條件,由待定系數(shù)法求出圓的一般式方程，并由此討論圓的幾何性質(zhì)。對(duì)于由一般式給出的圓的方程，研究其幾何性質(zhì)(圓心與半徑等)時(shí),?？捎门浞椒ɑ蚬椒右郧蠼?變式訓(xùn)練1已知圓C與圓（x-1)2+y2=1關(guān)于直線y=-x對(duì)稱,則圓C的方程為（)A。(x+1)2+y2=1B。x2+y2=1C.x2+(y+1)2=1D.x2+（y-1）思路解析：求出圓心（1,0）關(guān)于直線y=—x的對(duì)稱點(diǎn)為（0,-1)，得到圓C的圓心。故選C。答案：C例2求下列圓的方程:(1)圓心在直線y=-2x上，且與直線y=1-x相切于點(diǎn)(2,-1）；（2)圓心為C(0，3）,且截直線y=x+1所得弦長(zhǎng)為4.思路分析：利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于圓心和半徑的方程組來(lái)求解。解:(1)設(shè)圓心（a,—2a），圓的方程為(x-a）2+（y-2a）2=r2由解得∴所求圓的方程為(x-1)2+(y+2)2=2.(2）設(shè)圓的方程為（x-3)2+y2=r2,利用點(diǎn)到直線的距離公式可以求得d=|=,再根據(jù)垂徑定理可知r=。∴所求圓的方程為（x-3)2+y2=12.綠色通道：在解決與圓相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，如果涉及到圓心和半徑，或者截得的弦長(zhǎng)等問(wèn)題，一般選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)解題.變式訓(xùn)練2已知圓的半徑為,圓心在直線y=2x上，圓被直線x—y=0截得的弦長(zhǎng)為，求圓的方程。解：設(shè)圓的方程為（x—a)2+（y—b）2=r2,由圓心在直線y=2x上，得b=2a.①由圓被直線x-y=0截得的弦長(zhǎng)為,將y=x代入（x-a)2+(y—b）2=10,整理得2x2-2（a+b）x+a2+b2—10=0.由弦長(zhǎng)公式得.化簡(jiǎn)得a—b=±2.②解①②得a=2，b=4或a=—2，b=-4,∴所求圓的方程為(x-2)2+（y-4）2=10或（x+2)2+（y+4)2=10.例3如圖2-3—（1,2）-2所示，已知圓的內(nèi)接四邊形ABCD中兩對(duì)角線AC、BD互相垂直,垂足為E,又F是BC的中點(diǎn),試用坐標(biāo)法證明EF⊥AD.圖2—3-(1，2)-2思路分析：題中兩對(duì)角線互相垂直，不妨就選它們?yōu)樽鴺?biāo)軸，此時(shí)四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)表示較為簡(jiǎn)捷。證明：建立如圖2.3(1。2）2所示的直角坐標(biāo)系xOy,并設(shè)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（0，—a）,(b,0),（0,c),（-d，0）（a、b、c、d＞0)。于是BC中點(diǎn)F的坐標(biāo)為（,),故kEF=。又kAD=,故kEF·kAD=.由圓的相交弦定理得AE·EC=DE·EB,即ac=bd?！鄈EF·kAD=-1.∴EF⊥AD。黑色陷阱：用坐標(biāo)法處理平面幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是建立好坐標(biāo)系,此題若不以兩對(duì)角線為坐標(biāo)軸，處理起來(lái)相當(dāng)麻煩。在建立坐標(biāo)系時(shí)，要使盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，或利用圖中現(xiàn)有的垂直關(guān)系.變式訓(xùn)練3在△AOB中,|OB|=3，|OA|=4,|AB｜=5，點(diǎn)P是△AOB內(nèi)切圓上的點(diǎn)，求|PA|2+｜PB｜2+|PC｜2的最大值與最小值。圖2-3—（1，2)-3解：如圖2-3-（1,2）-3建立直角坐標(biāo)系,使A、B、O三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，3)、（0,0).設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,則有2r+｜AB|=｜OA|+|OB｜，∴r=1。故內(nèi)切圓方程為（x-1)2+(y—1）2=1?；癁閤2+y2—2x-2y+1=0,①設(shè)點(diǎn)P（x，y），又∵｜PA|2+｜PB|2+|PC｜2=3x2+3y2-8x-6y+25，②由①知x2+y2—2y=2x—1，代入②得｜PA｜2+|PB|2+|PC|2=3（2x—1）-8x+25=-2x+22?！選∈[0,2],∴｜PA|2+|PB|2+｜PC|2最大值為22，最小值為18。例4判斷下列方程是否表示圓，如果是,求出圓心和半徑;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由。(1）x2+y2+4x—2y+12=0；(2）x2+y2-11x+3y-30=0；（3）3x2+2y2+3x-3y+5=0。思路解析：本題首先要觀察各題目二次項(xiàng)系數(shù)是否相等，判定方程是否滿足表示圓的條件,再依據(jù)公式得出圓心和半徑.答案:(1）x2+y2+4x-2y+12=0可以轉(zhuǎn)化為(x+2）2+（y—1)2=-7,所以該方程不是圓的方程。(2)在x2+y2—11x+3y-30=0中,-=,—=-,D2+E2—4F=250＞0,所以該方程表示圓心為（,-),半徑為的圓。（3）在3x2+2y2+3x-3y+5=0中，因二次項(xiàng)系數(shù)不相等,所以該方程不是圓的方程。綠色通道：對(duì)于這類問(wèn)題，首先看題中所給方程是否能化為圓的方程的一般式形式:x2+y2+Dx+Ey+F=0，在D2+E2—4F＞0的情況下，則有（-,-）為圓心，為半徑.不必死記這個(gè)公式,要掌握通過(guò)配方將圓的一般式轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)式的方法.變式訓(xùn)練4方程ax2+ay2—4（a-1）x+4y=0表示圓,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,并求出其中半徑最小的圓的方程.解：原方程可化為[x-］2+(y+）2=,∵a2—2a+2＞0，∴當(dāng)a≠0且a∈R時(shí),原方程表示圓.又∵=+2≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)等號(hào)成立.∴a=2時(shí)圓的半徑最小,此時(shí)圓的方程為（x—1)2+(y+1)2=2。問(wèn)題探究問(wèn)題1探究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程的異同點(diǎn).導(dǎo)思:求圓的方程一般采用待定系數(shù)法,探究求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程的異同點(diǎn)就是確定待定系數(shù)個(gè)數(shù)是否相同,待定系數(shù)的特征是否相同，需要具備什么樣的已知條件才能分別求出這兩種圓的方程.探究：相同點(diǎn):圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程中都有三個(gè)未知量(圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有三個(gè)待定系數(shù):a、b、r，圓的一般方程中有三個(gè)待定系數(shù):D、E、F），故確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立的條件，一般利用待定系數(shù)法確定，基本步驟為：(1）根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的方程；（2）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組；（3）解方程組,求出a、b、r或D、E、F的值,并把它們代入所設(shè)的方程中去，就可得到所求圓的方程。不過(guò)針對(duì)具體問(wèn)題，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想，有時(shí)利用圓的幾何性質(zhì)解題，會(huì)有更簡(jiǎn)捷的解題途徑.不同點(diǎn)：一是待定系數(shù)的含義不同,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)待定系數(shù)有明確的幾何特征，而圓的一般方程中的三個(gè)待定系數(shù)沒(méi)有明確的幾何特征；二是要根據(jù)具體題目中的已知條件確定是求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是求圓的一般方程.當(dāng)題目中已知圓心和半徑的條件時(shí)，要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,當(dāng)題目中已知圓上的三個(gè)點(diǎn)的時(shí)候，要求圓的一般方程.問(wèn)題2圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，試探究圓的一般方程與二元二次方程的關(guān)系.導(dǎo)思：圓的一般方程是一個(gè)特殊的二元二次方程,也就是說(shuō)只有當(dāng)二元二次方程滿足特定的條件時(shí)，這個(gè)二元二次方程才能表示圓，這就需要我們把圓的一般方程和普通的二元二次方程寫(xiě)出來(lái)，分析它們的具體特征和限制條件.探究:比較圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的系數(shù)和二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的系數(shù)可以發(fā)現(xiàn),圓的一般方程是當(dāng)二元二次方程的系數(shù)滿足以下三個(gè)條件時(shí)的特殊情況。（1）x2、y2項(xiàng)的系數(shù)相等且不為零，即A=C≠0；（2)沒(méi)有xy項(xiàng),即B=0;(3）D2+E2—4AF＞0。由此，我們可以發(fā)現(xiàn)二元二次方程不都表示圓，只有滿足上面三個(gè)條件的二元二次方程才可以表示圓,但是，所有圓的方程都是二元二次方程，圓的方程只是二元二次方程中的一類特殊的方程.問(wèn)題3一些圓的位置比較特殊，它們的方程有何特點(diǎn)?導(dǎo)思：圓的方程由圓心坐標(biāo)和半徑唯一確定.當(dāng)圓與x軸相切時(shí),圓心到x軸的距離等于圓的半徑，此時(shí)圓心的縱坐標(biāo)等于圓的半徑或半徑的相反數(shù)；當(dāng)圓與y軸相切時(shí)，圓心到y(tǒng)軸的距離等于圓的半徑，此時(shí)圓心的橫坐標(biāo)等于圓的半徑或半徑的相反數(shù);當(dāng)圓心在某一直線上時(shí),圓心坐標(biāo)滿足圓的方程。探究:當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí),x2+y2=r2（a=b=0)；當(dāng)圓與x軸相切時(shí),(x-a)2+（y-b）2=b2（b≠0）；當(dāng)圓與y軸相切時(shí)，