數(shù)學(xué)學(xué)案：例題與探究數(shù)列

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1分別寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1),…；(2)4,，…；(3)5,55，555,5555，…；(4)1，1，，…。思路解析：(1）因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn)，所以用(—1)n來調(diào)節(jié)，數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值可以分成整數(shù)、分?jǐn)?shù)的分子和分母三部分，整數(shù)部分是奇數(shù)1,3,5，7，9，…，分母是4,9，16,25,36,…，正好是平方數(shù)，可以歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=(-1）n［(2n-1）+］。（2）將這數(shù)列前4項(xiàng)改寫成分?jǐn)?shù)的形式:，可得通項(xiàng)公式an=（—1）n+1.(3)由于9，99,999，9999，…的通項(xiàng)公式是10n—1,所以將題中數(shù)列各項(xiàng)改寫,可得5=×9,55=×99，555=×999，5555=×9999,即（5,55,555，5555）=(9,99,999，9999），可得通項(xiàng)公式an=(10n—1）.(4）原數(shù)列可寫成：，…,得通項(xiàng)公式為an=.答案:（1)an=（—1)n［(2n—1）+］；（2)an=(-1）n+1；（3)an=（10n-1);（4)an=.綠色通道：熟練地掌握一些基本數(shù)列的通項(xiàng)公式:（1)數(shù)列-1,1，-1，1，…的通項(xiàng)公式是an=（-1)n；（2）數(shù)列1，2，3，4，…的通項(xiàng)公式是an=n；(3）數(shù)列1,3，5，7，…的通項(xiàng)公式是an=2n—1;（4)數(shù)列2，4，6，8，…的通項(xiàng)公式是an=2n；（5)數(shù)列1,2，4,8，…的通項(xiàng)公式是an=2n-1；（6)數(shù)列1，4，9，16，…的通項(xiàng)公式是an=n2；(7)數(shù)列，，,,…的通項(xiàng)公式是an=(其中n∈N+）.變式訓(xùn)練根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出適合它們的一個(gè)通項(xiàng)公式。（1),…；(2）,2，,…；（3），…;(4）11,102，1003,10004，….思路解析：(1)因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn)，所以用(-1）n來調(diào)節(jié)，統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)的形式,分別觀察分子與分母的規(guī)律可知，分子為n(n+2），分母為奇數(shù)（2n+1），從而可得an=(-1)n.（2)可把每一項(xiàng)統(tǒng)一寫成分?jǐn)?shù)，分母都是2，分子是項(xiàng)數(shù)的平方，可得an=。（3)每一項(xiàng)的分母可以看成連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)的乘積，可得an=.（4）每一項(xiàng)可看成兩個(gè)數(shù)的和,10的序號(hào)次方加上序號(hào)，可得an=10n+n.答案：（1）an=（—1)n;(2）an=；（3）an=；(4)an=10n+n。例2在數(shù)列｛an｝中，a1=1，4an+1—anan+1+2an=9(n∈N+)，寫出它的前4項(xiàng)并歸納出用n表示an的式子。思路分析:通過已知條件，可以找到an與an+1的遞推關(guān)系式，再通過所求的遞推關(guān)系可以求出這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)。解:∵4an+1-anan+1+2an=9(n∈N+)，∴an+1(4—an）+2an=9.∴an+1(4—an）=9-2an.∴an+1=?！郺2=,a3=,a4=.則求出的這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)為1，,可歸納出通項(xiàng)公式為an=。綠色通道:有的題目中沒有直接給出數(shù)列的遞推關(guān)系，可以觀察已知條件設(shè)法找到，再按照前面的方法,將n=1，2,3，4代入即可得.黑色陷阱：在求數(shù)列前四項(xiàng)時(shí)，很容易直接利用遞推關(guān)系式4an+1-anan+1+2an=9（n∈N+)來求，這樣計(jì)算量大，且很容易出錯(cuò)。遇到比較復(fù)雜的關(guān)系時(shí)，要先化簡,后帶入數(shù)值計(jì)算，可達(dá)到減少運(yùn)算量的目的。變式訓(xùn)練1已知數(shù)列{an｝滿足a1=1，an+1=2an+1，寫出該數(shù)列的前五項(xiàng)及它的一個(gè)通項(xiàng)公式.思路分析:首項(xiàng)給出，遞推公式也已經(jīng)給出，可依次求出a2,a3，…，只要按遞推的“程序”計(jì)算即可,然后由各項(xiàng)間的規(guī)律寫出一個(gè)通項(xiàng)公式。解：由遞推公式an+1=2an+1及a1=1，可得a2=3,a3=7，a4=15，a5=31，∴數(shù)列的前五項(xiàng)分別為1,3，7,15,31.∴通項(xiàng)公式為an=2n—1.變式訓(xùn)練2(2006重慶高考，文14）在數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1=an+2（n≥1)，則該數(shù)列的通項(xiàng)an=____________.思路解析:由an+1=an+2(n≥1)，知數(shù)列后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大2,所以數(shù)列為1，3,5，7，….所以數(shù)列的通項(xiàng)an=2n-1。答案：2n-1例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2-3n.求｛an｝的通項(xiàng)公式。思路分析：利用Sn,Sn-1,an之間的關(guān)系an=Sn-Sn—1（n≥2），求解通項(xiàng)公式。解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=-1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn—Sn—1=(2n2-3n)-［2（n-1)2—3(n-1）］=4n-5。當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立,故an=4n—5。綠色通道：對(duì)于任何一個(gè)數(shù)列，它的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an都有這樣的關(guān)系：an=若a1適合an(n≥2），則用一個(gè)公式表示an，若a1不適合an(n≥2），則要用分段形式表示an。黑色陷阱：在求通項(xiàng)公式時(shí)，直接利用an=Sn-Sn-1,而不考慮首項(xiàng)是否符合.在由前n項(xiàng)和公式求解通項(xiàng)公式時(shí),要先求出a1,然后檢驗(yàn)是否滿足an(n≥2）的表達(dá)式.變式訓(xùn)練已知數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和Sn=3n—2。求{an｝的通項(xiàng)公式.解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn—1=(3n-2）—(3n-1—2)=2×3n—1；而n=1時(shí)，上式不成立.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為例4已知an=（n∈N+)，則數(shù)列｛an}的最大項(xiàng)為_________________.思路解析：設(shè)｛an｝中第n項(xiàng)最大,則有∴8≤n≤9，即a8,a9最大。答案：a8，a9綠色通道：求一個(gè)數(shù)列{an}的最大項(xiàng)的問題，只需要找到數(shù)列中的一項(xiàng)，不小于它的前一項(xiàng)，也不小于它的后一項(xiàng)，這一項(xiàng)就是數(shù)列中的最大項(xiàng).可以列出一個(gè)不等式組，也可以考慮數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行求解.最小項(xiàng)可以同法求解.黑色陷阱:求最大項(xiàng)時(shí)，易得出漏掉等號(hào)。應(yīng)注意數(shù)列中的項(xiàng)可以是相同的，所以不應(yīng)漏掉等號(hào)。變式訓(xùn)練已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=n2-5n+4，(1）數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？（2）n為何值時(shí),an有最小值？并求出最小值.思路分析：an與n之間構(gòu)成二次函數(shù)關(guān)系，可結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)去進(jìn)行探求，同時(shí)要注意n的取值范圍。解：（1)由n2—5n+4＜0，解得1＜n＜4。∵n∈N+,∴n=2，3.∴數(shù)列有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)。(2）∵an=n2-5n+4=（n—）2-,可知對(duì)稱軸方程為n=.又∵n∈N+，故n=2或3時(shí),an有最小值,其最小值為22—5×2+4=-2。問題探究問題為了測試某種金屬的熱膨脹性質(zhì)，將這種金屬的一根細(xì)棒加熱，從100℃開始第一次量細(xì)棒長度，以后每升高50℃量一次，把依次量得的數(shù)據(jù)組成的數(shù)列｛ln｝用圖象畫出,如圖2-1—1，根據(jù)圖象回答下列問題：圖2—1-1(1)第5次量得金屬棒的長度是多少？此時(shí)金屬棒的溫度是多少？(2)求｛ln｝的通項(xiàng)和金屬棒長度l(m）關(guān)于溫度T（單位：℃)的函數(shù)關(guān)系式.（3)在30℃的溫度條件下,如果把兩塊這種矩形金屬板平鋪在一個(gè)平面上，這個(gè)平面的最高溫度可達(dá)到500℃，問鋪設(shè)時(shí)兩塊金屬板之間至少要留出多寬的空隙？導(dǎo)思：在圖象上,當(dāng)n=5時(shí),對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)為第5次量得金屬棒的長度；求數(shù)列{ln｝的通項(xiàng)公式，可以根據(jù)這個(gè)數(shù)列的前6項(xiàng)：2。001，2。002,2.003，2。004,2。005，2.006歸納出ln=0。001n+2.另外，從圖象上看出這是一條直線上的點(diǎn),所以可直接利用待定系數(shù)法設(shè)ln=kn+b，然后將其中的兩個(gè)點(diǎn)，如(1,2。001）、(2,2。002)代入直線方程，也可得｛ln}的通項(xiàng)公式。要求出“鋪設(shè)時(shí)兩塊金屬板之間至少要留出多寬的空隙"，實(shí)際上是求兩種溫度下的長度之差。探究：從圖上不難看到第5次量得金屬棒長度是2.005m,這時(shí)溫度為(5-1)×50+100=300℃。設(shè)ln=dn+b，由待定系數(shù)法,得通項(xiàng)公式ln=0。001n+2.由題意，得T=50(n—1)+100=50n+50?！鄋=.代入通項(xiàng)公式,得所求函