《FPGA數(shù)字信號處理設(shè)計流程》課件第2章

第2章數(shù)字信號處理的基本知識2.1模擬/數(shù)字轉(zhuǎn)換和數(shù)字/模擬轉(zhuǎn)換2.2離散傅立葉變換(DFT)與快速傅立葉變換(FFT)2.3濾波器2.4本章小結(jié)2.1模擬/數(shù)字轉(zhuǎn)換和數(shù)字/模擬轉(zhuǎn)換

2.1.1模擬/數(shù)字轉(zhuǎn)換在進行模擬/數(shù)字轉(zhuǎn)換時，因為輸入的模擬信號在時間上是連續(xù)的而輸出的數(shù)字信號是離散的，所以轉(zhuǎn)換只能在一系列選定的瞬間對輸入的模擬信號采樣，然后再把這些采樣值量化為數(shù)字量輸出。

1.采樣定理為了能正確無誤地用采樣信號表示模擬信號，采樣信號必須有足夠高的頻率。我們列舉一個簡單的例子，如圖2.1.1所示。圖2.1.1對輸入信號的模擬采樣為了保證能將原來的被采樣信號恢復(fù)，必須滿足：(2.1.1)公式(2.1.1)中，fs為采樣頻率，fi(max)為輸入模擬信號的最高頻率分量的頻率，這就是采樣定理。每次采樣的時間間隔稱之為采樣周期ts(=1/fs)。在滿足采樣定理的條件下，可以用低通濾波器將采樣信號還原為模擬信號。這個低通濾波器的電壓傳輸系數(shù)在低于fi(max)的范圍內(nèi)應(yīng)保持不變，而在fs-fi(max)以前，應(yīng)迅速下降為零，如圖2.1.2所示。圖2.1.2還原采樣信號所用濾波器的頻率特性因此，A/D轉(zhuǎn)換器工作時的采樣頻率必須滿足fs≥2fi(max)。采樣頻率提高以后，轉(zhuǎn)換的時間也相應(yīng)地縮短了，這就要求轉(zhuǎn)換電路必須具備更快的工作速度。因此，不能無限制地提高采樣頻率，通常取fs?=?(3～5)fi(max)來滿足要求。

一般說來，采樣頻率還要取決于采樣對象的參數(shù)，例如對于控制系統(tǒng)，采樣頻率一般取在10Hz，對于生物信息的采樣在100Hz左右，對音頻信息的采樣，一般在1000Hz左右，而對于數(shù)字信號前端信息的采樣，一般在1MHz左右。

通過ADC可以將模擬信號轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的數(shù)字信號，如圖2.1.3所示。圖2.1.3通過ADC將模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號

2.量化和編碼

數(shù)字信號不僅在時間上是離散的，而且數(shù)值大小的變換也是不連續(xù)的，這就是說，任何一個數(shù)字量的大小只能是規(guī)定的最小數(shù)量單位的整數(shù)倍。在進行A/D轉(zhuǎn)換時，必須把采樣電壓表示為這個最小單位的整數(shù)倍。這個轉(zhuǎn)換過程叫做量化，所取的最小數(shù)量單位叫做量化單位，用表示。顯然，數(shù)字信號最低有效位(LSB)的1所代表的數(shù)量大小就等于。把量化的結(jié)果用數(shù)碼(可以是二進制，也可以是其他進制)表示出來，稱為編碼。這些數(shù)碼就是A/D轉(zhuǎn)換的結(jié)果。由于模擬電壓是連續(xù)的，電壓值不一定能被整除，因此量化過程便不可避免地出現(xiàn)誤差。這種誤差稱為量化誤差。以二進制為例，將模擬電壓信號劃分為不同的量化等級時，通常有兩種方法，如圖2.1.4所示。圖2.1.4劃分量化電平的兩種方法圖示兩種量化電平的方法是以0～1V的模擬電壓信號轉(zhuǎn)換成3位二進制代碼為例，圖2.1.4(a)所示為取Δ=1/8V，并規(guī)定所有數(shù)值在0～1/8V之間的模擬電壓都當作0×V對待，用二進制“000”表示；數(shù)值在1/8～2/8V之間的模擬電壓都當作1×Δ對待，用二進制數(shù)“001”表示，依此類推。由此可以看出，這種量化方法可能帶來的最大量化誤差為Δ，也就是1/8V。圖(b)是對圖(a)的改進，即取量化電平Δ=2/15V，并將輸出數(shù)碼“000”對應(yīng)的模擬電壓范圍規(guī)定為0～1/15V，即0～1/2Δ，這樣可以將量化誤差減小到1/2Δ，即1/15V。2.1.2數(shù)字/模擬轉(zhuǎn)換

在數(shù)字信號處理中，數(shù)模轉(zhuǎn)換的過程是一個將數(shù)字信號恢復(fù)為原有模擬信號的過程。完全恢復(fù)為原有的模擬信號是不可能的，在工程上，常用的是零階保持器、一階保持器和高階保持器。這里我們只討論零階保持器及一階保持器的效果。所謂的零階保持，就是在兩個采樣值之間令輸出保持上一個采樣值，這種方法除了在采樣率遠高于信號中最高頻率的情況下效果不錯之外，通常帶來很大的誤差，如圖2.1.5所示。圖2.1.5數(shù)字信號通過DAC轉(zhuǎn)換恢復(fù)為模擬信號一階保持器是一個基于相鄰兩個采樣值的線性外推規(guī)律恢復(fù)離散信號的保持器。利用這種方法的信號恢復(fù)結(jié)果如圖2.1.6所示。圖2.1.6使用零階保持器及一階保持器恢復(fù)模擬信號的效果對比2.2離散傅立葉變換(DFT)與快速傅立葉變換(FFT)

2.2.1離散傅立葉變換(DiscreteFourierTransform,DFT)

首先，了解一下離散傅立葉級數(shù)。對于周期信號來說，所有的時域特征信息都在一個周期內(nèi)反映出來了，因此，響應(yīng)的頻域特征信息也可以通過一個周期的信號進行分析。根據(jù)傅立葉理論，一個周期為的離散信號可以展開為個復(fù)正弦信號的疊加形式，即離散傅立葉級數(shù)如下：(2.2.1)其中是傅立葉系數(shù)，其計算公式如下：(2.2.2)可以證明公式(2.2.1)和公式(2.2.2)都滿足周期為的特性，即，，所以，傅立葉系數(shù)也具有周期性特征。公式(2.2.1)說明一個周期為的離散信號可以用個復(fù)正弦函數(shù)的線性加權(quán)表示，而加權(quán)系數(shù)就是傅立葉系數(shù)。從頻域來看，公式(2.2.1)說明周期信號共有如下個頻率成分：k=0～N?-1(2.2.3)(2.2.5)(2.2.6)圖2.2.1由8個頻域采樣點形成離散頻譜X(k)，k=0～7將公式(2.2.6)離散頻率點帶入公式(2.2.5)得到信號的離散頻譜：(2.2.7)見上式左邊以簡約形式X(k)表示，則上式成為DFT變換式公式(2.2.4)。因此，離散傅立葉變換的含義是求有限長信號的離散頻譜，嚴格地說，是在0～2π一個周期內(nèi)的離散值。離散傅立葉的反變換(InverseDiscreteFourierTransform,IDFT)公式如下：(2.2.8)上式包含兩層意思，一是可以根據(jù)N個離散傅立葉變換所表示的離散傅立葉頻譜值X(k)恢復(fù)原始信號x(n)；二是長度為N的有限長信號可以用N個頻率分量的正弦信號的疊加來構(gòu)成，這也就反映了信號的頻譜一定是N個離散值。它說明任何一個段式分布的信號(有限長)都可以通過正弦信號來合成。在實際應(yīng)用中，大部分情況下是運用DFT正變換分析信號的頻譜特征的，需要IDFT反變換進行信號恢復(fù)和重構(gòu)的場合主要是通信和數(shù)據(jù)壓縮領(lǐng)域。(2.2.9)定義(2.2.10)則公式(2.2.9)可以轉(zhuǎn)化為：(2.2.11)圖2.2.28點DFT分解成兩個4點DFT圖2.2.34點DFT分解成兩個2點DFT圖2.2.42點DFT分解圖2.2.5基于時選的8點FFT算法圖2.2.6基于時選的FFT算法的改進形式(2.2.12)令，則上式成為：(2.2.13)(2.2.14)(2.2.15)圖2.2.78點DFT分解成兩個4點DFT圖2.2.84點DFT的進一步分解圖2.2.9基于頻選的8點FFT算法 2.3濾波器

2.3.1無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器(IIR)

1.直接Ⅰ型

IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為(2.3.1)對應(yīng)的差分方程為圖2.3.1N階IIR系統(tǒng)直接Ⅰ型流圖(2.3.2)

2.直接Ⅱ型

直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)又稱為典范型結(jié)構(gòu)。前文討論的直接Ｉ型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)可被看成是兩個獨立的系統(tǒng)函數(shù)的乘積，結(jié)構(gòu)上為兩個子系統(tǒng)的級聯(lián)。對于一個線性時不變系統(tǒng)，若交換其級聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)是不變的，即總的輸入/輸出關(guān)系不變。對于圖2.3.1，如果把零點和極點實現(xiàn)的次序?qū)Q一下，即先實現(xiàn)極點再實現(xiàn)零點，且把延時單元合并成一個公用的，則構(gòu)成了圖2.3.2所示的形式，稱為直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)。圖2.3.2N階IIR系統(tǒng)直接Ⅱ型流圖

3.級聯(lián)型

如果將N階IIR系統(tǒng)函數(shù)分解成二階因式連乘積，則可得到級聯(lián)結(jié)構(gòu)：(2.3.3)這樣，整個系統(tǒng)將由M個二階系統(tǒng)級聯(lián)構(gòu)成。具體地，將公式(2.3.1)的分子和分母都進行因式分解，得到：(2.3.4)(2.3.5)(2.3.6)式中，N3表示的最大整數(shù)，且(2.3.7)稱為濾波器的二階基本節(jié)。圖2.3.3二階子系統(tǒng)的直接Ⅱ型實現(xiàn)

4.并聯(lián)型

IIR濾波器的并聯(lián)機構(gòu)形式是基于對H(z)的部分分式展開來實現(xiàn)的。對公式(2.3.4)的H(z)用部分分式展開，有：(2.3.8)(2.3.9)圖2.3.4IIR系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)形式

5.轉(zhuǎn)置型

如果將網(wǎng)絡(luò)中所有支路的方向加以反轉(zhuǎn)，支路增益保持不變，并將輸入x(n)和輸出y(n)相互交換，則網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)不會改變。

利用網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)置定理，將以上討論的幾種結(jié)構(gòu)進行轉(zhuǎn)置，可以得到幾種新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，例如，對圖2.3.1的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)置得到如圖2.3.5所示的結(jié)構(gòu)，畫成輸入在左，輸出在右的習慣形式，則如圖2.3.6所示。圖2.3.5直接Ⅱ型的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)置圖2.3.6將圖2.3.5畫成輸入在左，輸出在右的習慣形式2.3.2有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器(FIR)

FIR是一種非遞歸系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)h(n)是有限長序列，其系統(tǒng)函數(shù)的一般形式為：(2.3.10)式中：h(k)為因果序列；H(k)是的N-1次多項式，它的N-1個極點全部位于z=0處，所以一個FIR系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的。它的零點分布可以處于有限z平面內(nèi)的任何位置，當全部零點都位于單位圓內(nèi)部時，就成為最小相位系統(tǒng)。H(n)是有限時寬序列，因而還可以用DFT技術(shù)來實現(xiàn)濾波。FIR系統(tǒng)的最大特點就是能夠做成嚴格的線性相位，這在圖像處理等應(yīng)用領(lǐng)域中非常重要。

1．直接型

式(2.3.10)對應(yīng)的FIR系統(tǒng)的差分方程為：由式(2.311)可以畫出FIR系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)形式，如圖2.3.7所示。可以看出，公式(2.3.11)就是線性時不變系統(tǒng)的卷積和公式，所以直接型結(jié)構(gòu)又稱為卷積型結(jié)構(gòu)，有時還稱為橫截濾波器結(jié)構(gòu)。將轉(zhuǎn)置定理用于圖2.3.7，可得到圖2.3.8的轉(zhuǎn)置直接結(jié)構(gòu)形式。圖2.3.7FIR系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)圖2.3.8FIR系統(tǒng)的轉(zhuǎn)置直接結(jié)構(gòu)

2.級聯(lián)型

圖2.3.9FIR系統(tǒng)的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)2.3.3IIR濾波器與FIR濾波器的比較

下面對IIR和FIR兩種濾波器進行比較，以便在實際應(yīng)用中選用它們，如表2.3.