熱點(diǎn)02 方程（組）與不等式（組）（12大題型+滿(mǎn)分技巧+限時(shí)分層檢測(cè)）（解析版）

熱點(diǎn)02方程（組）與不等式（組）中考數(shù)學(xué)中《方程（組）與不等式（組）》部分主要考向分為四類(lèi)：一、一元一次方程與二元一次方程（組）（每年2~4道，8~14分）二、一元二次方程（每年1~2道，3~8分）三、分式方程（每年1~3題，3~12分）四、不等式（組）（每年2~4題，8~18分）方程（組）與不等式（組）在數(shù)學(xué)中考中的難度中等，題型比較多，選擇題、填空題、解答題都可以考察。其中，一元一次方程與二元一次方程（組）是比較接近的兩個(gè)考點(diǎn)，出題一般都只有1題，一元一次方程多考察其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，多為選擇題；二元一次方程組則以計(jì)算和應(yīng)用題為主占分較多。一元二次方程單獨(dú)出題時(shí)多考察其根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及在實(shí)際問(wèn)題中提煉出一元二次方程；一元二次方程的計(jì)算則主要出現(xiàn)在幾何大題中，輔助解壓軸題。分式方程的考察內(nèi)容不多，但基本屬于必考考點(diǎn)，可以是一道小題考察其解法，也可以是應(yīng)用題。不等式組是這四個(gè)考點(diǎn)中占分最多的一個(gè)，考察難度也是可大可小，其解法、含參數(shù)的不等式組問(wèn)題、和方程結(jié)合的應(yīng)用題都經(jīng)常考到。雖然該熱點(diǎn)難度中等，一般不會(huì)失分，但是組合出題時(shí)，難度也可以變大，復(fù)習(xí)時(shí)需要特別注意?？枷蛞唬阂辉淮畏匠膛c二元一次方程組【題型1實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程】滿(mǎn)分技巧1、解一元一次方程應(yīng)用題，遵循5個(gè)步驟，其各個(gè)步驟的注意事項(xiàng)如下：步驟要點(diǎn)“審”（即審題）“審”題目中的已知量、未知量、基本關(guān)系；“設(shè)”（即設(shè)未知數(shù)）一般原則是：?jiǎn)柺裁淳驮O(shè)什么；或未知量較多時(shí)，設(shè)較小的量，表示較大的量“列”【即列方程】找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程“解”【即解方程】根據(jù)一次方程（組）的解法解出方程，注意解方程的過(guò)程不需要在解答中體現(xiàn)“驗(yàn)”（即檢驗(yàn)）非題目要求，此步可以不寫(xiě)檢驗(yàn)分兩步，一是檢驗(yàn)方程是否解正確；二是檢驗(yàn)方程的解是否符合題意“答”（即寫(xiě)出答案）最后的綜上所述2、中考中對(duì)于一元一次方程的應(yīng)用題并不會(huì)考這么多，多以選擇題出題，也就只考到列方程這步就可以了。1．（2023?連云港）元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，由題意得（）A．＝ B．＝﹣12 C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）【分析】由慢馬先行12天，可得出快馬追上慢馬時(shí)慢馬行了（x+12）天，利用路程＝速度×?xí)r間，結(jié)合快馬追上慢馬時(shí)快馬和慢馬行過(guò)的路程相等，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【解答】解：∵慢馬先行12天，快馬x天可追上慢馬，∴快馬追上慢馬時(shí)，慢馬行了（x+12）天．根據(jù)題意得：240x＝150（x+12）．故選：D．2．（2023?麗水）古代中國(guó)的數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二兩．今有干絲一十二斤，問(wèn)生絲幾何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古代中國(guó)1斤等于16兩）．今有干絲12斤，問(wèn)原有生絲多少？”則原有生絲為斤．【分析】可設(shè)原有生絲為x斤，根據(jù)比值是一定的，列出方程計(jì)算即可求解．【解答】解：設(shè)原有生絲為x斤，x：12＝30：（30﹣3），解得x＝．故原有生絲為斤．故答案為：．3．（2023?陜西）小紅在一家文具店買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元．已知她買(mǎi)的這種大筆記本的單價(jià)比這種小筆記本的單價(jià)多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價(jià)．【分析】設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價(jià)是x元，根據(jù)買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元，得4x+6（x﹣3）＝62，即可解得答案．【解答】解：設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價(jià)是x元，則小筆記本的單價(jià)是（x﹣3）元，∵買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元，∴4x+6（x﹣3）＝62，解得：x＝8；答：該文具店中這種大筆記本的單價(jià)為8元．【題型2二元一次方程組的解法相關(guān)】滿(mǎn)分技巧解二元一次方程組有2種方法——帶入消元法和加減消元法不管是帶入法還是加減法，目的都在于利用等式的基本性質(zhì)將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，所以做題中也必須注意一元一次方程解法的易錯(cuò)點(diǎn)。1．（2023?河南）方程組的解為．【分析】利用加減消元法求解或代入消元法求解都比較簡(jiǎn)便．【解答】解：，①+②，得4x+4y＝12，∴x+y＝3③．①﹣③，得2x＝2，∴x＝1．②﹣①，得2y＝4，∴y＝2．∴原方程組的解為．故答案為：．2．（2023?常德）解方程組：．【分析】利用加減消元法求解即可．【解答】解：①×2+②得：5x＝25，解得：x＝5，將x＝5代入①得：5﹣2y＝1，解得：y＝2，所以原方程組的解是．【題型3二元一次方程組的應(yīng)用】滿(mǎn)分技巧二元一次方程組的應(yīng)用題解決步驟同一元一次方程應(yīng)用題解題步驟及注意事項(xiàng)差不多，審題和找等量關(guān)系都是方程類(lèi)應(yīng)用題解題的關(guān)鍵。通常難度不大，個(gè)別時(shí)候，二元一次方程組的應(yīng)用題也可以用一元一次方程來(lái)解。1．（2023?紹興）《九章算術(shù)》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問(wèn)大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個(gè)，小容器1個(gè)，總?cè)萘繛?斛（斛：古代容量單位）；大容器1個(gè)，小容器5個(gè)，總?cè)萘繛?斛，問(wèn)大容器、小容器的容量各是多少斛？設(shè)大容器的容量為x斛，小容器的容量為y斛，則可列方程組是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“大容器5個(gè)，小容器1個(gè)，總?cè)萘繛?斛；大容器1個(gè)，小容器5個(gè)，總?cè)萘繛?斛”，列出關(guān)于x、y的二元一次方程組即可．【解答】解：由題意得：，故選：B．2．（2023?巴中）某學(xué)校課后興趣小組在開(kāi)展手工制作活動(dòng)中，美術(shù)老師要求用14張卡紙制作圓柱體包裝盒，準(zhǔn)備把這些卡紙分成兩部分，一部分做側(cè)面，另一部分做底面．已知每張卡紙可以裁出2個(gè)側(cè)面，或者裁出3個(gè)底面，如果1個(gè)側(cè)面和2個(gè)底面可以做成一個(gè)包裝盒，這些卡紙最多可以做成包裝盒的個(gè)數(shù)為（）A．6 B．8 C．12 D．16【分析】設(shè)用x張卡紙做側(cè)面，用y張卡紙做底面，則做出側(cè)面的數(shù)量為2x個(gè)，底面的數(shù)量為3y個(gè)，然后根據(jù)等量關(guān)系：底面數(shù)量＝側(cè)面數(shù)量的2倍，列出方程組即可．【解答】解：設(shè)用x張卡紙做側(cè)面，用y張卡紙做底面，由題意得，，解得，∴用6張卡紙做側(cè)面，用8張卡紙做底面，則做出側(cè)面的數(shù)量為12個(gè)，底面的數(shù)量為24個(gè)，這些卡紙最多可以做成包裝盒的個(gè)數(shù)為12個(gè)．故選：C．3．（2023?張家界）為拓展學(xué)生視野，某中學(xué)組織八年級(jí)師生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，原計(jì)劃租用45座客車(chē)若干輛，但有15人沒(méi)有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車(chē)，則多出三輛車(chē)，且其余客車(chē)恰好坐滿(mǎn)．現(xiàn)有甲、乙兩種客車(chē)，它們的載客量和租金如下表所示：甲型客車(chē)乙型客車(chē)載客量（人/輛）4560租金（元/輛）200300（1）參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是多少？原計(jì)劃租用多少輛45座客車(chē)？（2）若租用同一種客車(chē)，要使每位師生都有座位，應(yīng)該怎樣租用才合算？【分析】（1）本題中的等量關(guān)系為：45×45座客車(chē)輛數(shù)+15＝師生總數(shù)，60×（45座客車(chē)輛數(shù)﹣3）＝師生總數(shù)，據(jù)此可列方程組求出第一小題的解；（2）需要分別計(jì)算45座客車(chē)和60座客車(chē)各自的租金，比較后再取舍．【解答】解：（1）設(shè)參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是x人，原計(jì)劃租用y輛45座客車(chē)．根據(jù)題意，得，解得．答：參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是600人，原計(jì)劃租用13輛45座客車(chē)；（2）租45座客車(chē)：600÷45≈14（輛），所以需租14輛，租金為200×14＝2800（元），租60座客車(chē)：600÷60＝10（輛），所以需租10輛，租金為300×10＝3000（元），∵2800＜3000，∴租用14輛45座客車(chē)更合算．考向二：一元二次方程【題型4一元二次方程根的判別式】滿(mǎn)分技巧對(duì)于一元二次方程的一般形式：，(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(3)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根注意：在應(yīng)用根的判別式時(shí)，若二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母，注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件；當(dāng)時(shí)，可得方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，相等不相等未知1．（2023?河南）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可．【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．2．（2023?北京）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．﹣9 B． C． D．9【分析】若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac，建立關(guān)于m的等式，即可求解．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0，解得m＝．故選：C．3．（2023?濟(jì)南）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有實(shí)數(shù)根，則a的值可以是1（寫(xiě)出一個(gè)即可）．【分析】根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于等于0求出a的范圍，寫(xiě)出一個(gè)即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝16﹣8a≥0，解得：a≤2，則a的值可以是1．故答案為：1．【題型5一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】滿(mǎn)分技巧若一元二次方程的兩個(gè)根為，則有，當(dāng)問(wèn)題中出現(xiàn)“方程的兩個(gè)根是……”時(shí)，通常就要想其根與系數(shù)的關(guān)系了，若不能直接利用原公式，則結(jié)合完全公式，想其常用變形：1．（2023?天津）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個(gè)根，則（）A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個(gè)根，∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，故選：A．2．（2023?菏澤）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的兩根為x1，x2，則的值為（）A． B．﹣3 C．3 D．【分析】直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2、x1x2的值，再代入計(jì)算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣1＝0的兩根為x1，x2，∴x1+x2＝﹣3；x1x2＝﹣1．∴＝＝＝3．故選：C．3．（2023?宜昌）已知x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的兩根，則代數(shù)式的值為1．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，把兩根之和與兩根之積代入即可求出值．【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的兩根，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴＝＝1．故答案為：1．4．（2023?南充）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．（1）求證：無(wú)論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若x1，x2是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且+＝﹣，求m的值．【分析】（1）由判別式Δ＝（4m﹣1）2≥0，可得答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，由+＝﹣進(jìn)行變形直接代入得到5m2﹣7m+2＝0，求解可得．【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m＝16m2﹣8m+1＝（4m﹣1）2≥0，∴方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：由題意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，∵+＝＝＝﹣，∴，整理得5m2﹣7m+2＝0，解得m＝1或m＝．【題型6一元二次方程的解法】滿(mǎn)分技巧一元二次方程的解法有4種，重點(diǎn)記憶配方法、因式分解法、公式法。其中注意事項(xiàng)：配方法——需要加上的數(shù)字是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方（的系數(shù)為1），并且先移項(xiàng)，再配方；因式分解法——重點(diǎn)掌握十字相乘法（常用公式：）；公式法——使用這種解法，必須先分析a、b、c的值，求出的值，再帶入公式1．（2023?新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（）A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：x2﹣6x+8＝0，x2﹣6x＝﹣8，x2﹣6x+9＝﹣8+9，（x﹣3）2＝1，故選：D．2．（2023?臺(tái)灣）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的兩解為a、b，且a＞b，求a值為何（）A． B． C． D．【分析】利用公式法即可求解．【解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，這里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，∴x＝＝，∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的兩解為a、b，且a＞b，∴a的值為．故選：D．3．（2023?齊齊哈爾）解方程：x2﹣3x+2＝0．【分析】把方程的左邊利用十字相乘法因式分解為（x﹣1）（x﹣2），再利用積為0的特點(diǎn)求解即可．【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝2．【題型7一元二次方程的應(yīng)用】滿(mǎn)分技巧解題步驟依然遵循——審、設(shè)、列、解、答。應(yīng)用題中解出方程的解一般都有2個(gè)，做題時(shí)注意區(qū)分是否都可取，不符合題意的答案需舍去。1．（2023?衢州）某人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（）A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則第一輪傳染了x個(gè)人，第二輪作為傳染源的是（x+1）人，則傳染x（x+1）人，依題意列方程：1+x+x（1+x）＝36．【解答】解：由題意得：1+x+x（1+x）＝36，故選：C．2．（2023?黑龍江）如圖，在長(zhǎng)為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m2，則小路的寬是（）A．5m B．70m C．5m或70m D．10m【分析】設(shè)小路的寬是xm，則余下的部分可合成長(zhǎng)為（100﹣2x）m，寬為（50﹣2x）m的矩形，根據(jù)花圃的面積是3600m2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小路的寬是xm，則余下的部分可合成長(zhǎng)為（100﹣2x）m，寬為（50﹣2x）m的矩形，根據(jù)題意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，整理得：x2﹣75x+350＝0，解得：x1＝5，x2＝70（不符合題意，舍去），∴小路的寬是5m．故選：A．3．（2023?東營(yíng)）如圖，老李想用長(zhǎng)為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個(gè)2m寬的門(mén)（建在EF處，另用其他材料）．（1）當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為640m2的羊圈？（2）羊圈的面積能達(dá)到650m2嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)BC＝柵欄總長(zhǎng)﹣2AB，再利用矩形面積公式即可求出；（2）把S＝650代入x（72﹣2x）中函數(shù)解析式中，解方程，取在自變量范圍內(nèi)的值即可．【解答】解：（1）設(shè)矩形ABCD的邊AB＝xm，則邊BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．根據(jù)題意，得x（72﹣2x）＝640，化簡(jiǎn)，得x2﹣36x+320＝0，解得x1＝16，x2＝20，當(dāng)x＝16時(shí)，72﹣2x＝72﹣32＝40（m），當(dāng)x＝20時(shí)，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）．答：當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為40m，寬為16m或長(zhǎng)為32m，寬為20m時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為640m2的羊圈；（2）答：不能，理由：由題意，得x（72﹣2x）＝650，化簡(jiǎn)，得x2﹣36x+325＝0，Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，∴一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．∴羊圈的面積不能達(dá)到650m2．考向三：分式方程【題型8解分式方程的步驟】滿(mǎn)分技巧1、解分式方程基本步驟：①去分母；②解整式方程；③驗(yàn)根2、分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知數(shù)的值；3、分式方程會(huì)無(wú)解的幾種情況①解出的x的值是增根，須舍去，無(wú)解②解出的x的表達(dá)式中含參數(shù)，而表達(dá)式無(wú)意義，無(wú)解③同時(shí)滿(mǎn)足①和②，無(wú)解4、求有增根分式方程中參數(shù)字母的值的一般步驟：①讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；②去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；③將增根帶入（當(dāng)有多個(gè)增根時(shí)，注意分類(lèi)，不要漏解）；④解含參數(shù)字母的方程的解。1．（2023?大連）解方程去分母，兩邊同乘（x﹣1）后的式子為（）A．1+3＝3x（1﹣x） B．1+3（x﹣1）＝﹣3x C．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x【分析】根據(jù)分式方程的解法，兩側(cè)同乘（x﹣1）化簡(jiǎn)分式方程即可．【解答】解：分式方程的兩側(cè)同乘（x﹣1）得：1﹣3（x﹣1）＝﹣3x．故選：B．2．（2023?北京）方程的解為x＝1．【分析】依據(jù)題意，由分式方程的解法即可得解．【解答】解：方程兩邊同時(shí)乘以2x（5x+1）得，3×2x＝5x+1，∴x＝1．檢驗(yàn)：把x＝1代入2x（5x+1）＝12≠0，且方程左邊＝右邊．∴原分式方程的解為x＝1．3．（2023?巴中）關(guān)于x的分式方程+＝3有增根，則m＝﹣1．【分析】先去分母，再根據(jù)增根的意義列方程求解．【解答】解：方程兩邊同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），由題意得：x＝2是該整式方程的解，∴2+m﹣1＝0，解得：m＝﹣1，故答案為：﹣1．4．（2023?陜西）解方程：．【分析】利用解分式方程的步驟解方程即可．【解答】解：原方程兩邊同乘x（x+5）去分母得：2x2﹣x（x+5）＝（x+5）2，去括號(hào)得：2x2﹣x2﹣5x＝x2+10x+25，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)得：﹣15x＝25，解得：x＝﹣，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝﹣是分式方程的解，故原方程的解為：x＝﹣．【題型9分式方程應(yīng)用題】滿(mǎn)分技巧列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①審，②設(shè)，③列，④解，⑤驗(yàn)，⑥答其中，檢驗(yàn)這一步必須有!1．（2023?綿陽(yáng)）隨著國(guó)家提倡節(jié)能減排，新能源車(chē)將成為時(shí)代“寵兒”．端午節(jié)，君君一家駕乘新購(gòu)買(mǎi)的新能源車(chē)，去相距180km的古鎮(zhèn)旅行，原計(jì)劃以速度vkm/h勻速前行，因急事以計(jì)劃速度的1.2倍勻速行駛，結(jié)果就比原計(jì)劃提前了0.5h到達(dá)，則原計(jì)劃的速度v為60km/h．【分析】根據(jù)比原計(jì)劃提前了0.5h到達(dá)列方程，即可解得答案．【解答】解：根據(jù)題意得：＝+0.5，解得v＝60，經(jīng)檢驗(yàn)，v＝60是原方程的解，∴原計(jì)劃的速度v為60km/h；故答案為：60．2．（2023?樂(lè)山）為了踐行習(xí)近平總書(shū)記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某地計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間內(nèi)種植梨樹(shù)6000棵．開(kāi)始種植時(shí)，由于志愿者的加入，實(shí)際每天種植梨樹(shù)的數(shù)量比原計(jì)劃增加了20%，結(jié)果提前2天完成任務(wù)．問(wèn)原計(jì)劃每天種植梨樹(shù)多少棵？【分析】設(shè)原計(jì)劃每天種植梨樹(shù)x棵，則實(shí)際每天種植梨樹(shù)（1+20%）x棵，利用工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前2天完成任務(wù)，可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天種植梨樹(shù)x棵，則實(shí)際每天種植梨樹(shù)（1+20%）x棵，根據(jù)題意得：﹣＝2，解得：x＝500，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝500是所列方程的解，且符合題意．答：原計(jì)劃每天種植梨樹(shù)500棵．3．（2023?貴州）為推動(dòng)鄉(xiāng)村振興，政府大力扶持小型企業(yè)．根據(jù)市場(chǎng)需求，某小型企業(yè)為加快生產(chǎn)速度，需要更新生產(chǎn)設(shè)備，更新設(shè)備后生產(chǎn)效率比更新前提高了25%，設(shè)更新設(shè)備前每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品．解答下列問(wèn)題：（1）更新設(shè)備后每天生產(chǎn)1.25x件產(chǎn)品（用含x的式子表示）；（2）更新設(shè)備前生產(chǎn)5000件產(chǎn)品比更新設(shè)備后生產(chǎn)6000件產(chǎn)品多用2天，求更新設(shè)備后每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品．【分析】（1）根據(jù)“更新設(shè)備后生產(chǎn)效率比更新前提高了25%“列代數(shù)式即可；（2）根據(jù)題意列分式方程，解方程即可．【解答】解：（1）更新設(shè)備前每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品，更新設(shè)備后生產(chǎn)效率比更新前提高了25%，更新設(shè)備后每天生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為：（1+25%）x＝1.25x（件），故答案為：1.25x；（2）由題意知：﹣2＝，去分母，得6250﹣2.5x＝6000，解得：x＝100，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝100是所列分式方程的解，1.25×100＝125（件）．答：更新設(shè)備后每天生產(chǎn)125件產(chǎn)品．考向四：一元一次不等式組【題型10解一元一次不等式組】滿(mǎn)分技巧一元一次不等式組的解法中，同除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不要忘記改變不等號(hào)的方向，同除一個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)，不要除反了。1．（2023?沈陽(yáng)）不等式x≥1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法表示不等式x≥1的解集即可．【解答】解：不等式x≥1的解集在數(shù)軸上表示為：故選：B．2．（2023?安徽）在數(shù)軸上表示不等式＜0的解集，正確的是（）A． B． C． D．【分析】先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來(lái)即可．【解答】解：＜0，x﹣1＜0，x＜1，在數(shù)軸上表示為，故選：A．3．（2023?鹽城）解不等式2x﹣3＜，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【分析】先去分母，再去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1，求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來(lái)即可．【解答】解：先去分母，得3（2x﹣3）＜x﹣4，去括號(hào)，得6x﹣9＜x﹣4，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)，得5x＜5，系數(shù)化為1，得x＜1∴原不等式的解集為：x＜1．在數(shù)軸上表示為：4．（2023?寧夏）解不等式組．下面是某同學(xué)的部分解答過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)：解：由①得：4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2﹣7x＞﹣7…第3步x＞1…第4步任務(wù)一：該同學(xué)的解答過(guò)程第4步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，錯(cuò)誤原因是不等式的基本性質(zhì)3應(yīng)用錯(cuò)誤；不等式①的正確解集是x＜1；任務(wù)二：解不等式②，并寫(xiě)出該不等式組的解集．【分析】任務(wù)一：根據(jù)解不等式的基本步驟解答即可；任務(wù)二：先移項(xiàng)，再合并同類(lèi)項(xiàng)，把x的系數(shù)化為1即可．【解答】解：任務(wù)一：4，不等式的基本性質(zhì)3應(yīng)用錯(cuò)誤，x＜1；任務(wù)二：﹣3x+x≤4﹣2，﹣2x≤2，x≥﹣1，∴該不等式組的解集為﹣1≤x＜1．5．（2023?蘭州）解不等式組：．【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：，由①得：x＞3，由②得：x＜4，則不等式組的解集為3＜x＜4．【題型11含參數(shù)類(lèi)不等式組整數(shù)解問(wèn)題】滿(mǎn)分技巧方法步驟總結(jié)：①解出不等式（組）的解集——用含參數(shù)的表達(dá)式表示；②根據(jù)題目要求，借助數(shù)軸，確定參數(shù)表達(dá)式的范圍，必在兩個(gè)相鄰整數(shù)之間；③由空心、實(shí)心判斷參數(shù)兩邊邊界哪邊可以取“=”，哪邊不能取“=”。（不等式組則由解集的判斷口訣來(lái)決定哪邊界可以取“=”）；④解出參數(shù)所在不等式（組）的解集，得參數(shù)字母的值或范圍。1．（2023?綿陽(yáng)）關(guān)于x的不等式組有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)m的和為（）A．11 B．15 C．18 D．21【分析】表示出不等式組的解集，由不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解確定出m的取值，求出整數(shù)m的值，進(jìn)而求出和．【解答】解：解不等式3x+2＞m，得x＞，解不等式≤1，得x≤3，∵不等式組有且只有兩個(gè)整數(shù)解，∴1≤＜2，∴5≤m＜8，∴整數(shù)m的取值為5，6，7，∴所有整數(shù)m的和5+6+7＝18．故選：C．2．（2023?涼山州）不等式組的所有整數(shù)解的和是7．【分析】求出不等式組的解集，確定出整數(shù)解，求出之和即可．【解答】解：，解不等式①得：x＞，解不等式②得x≤4，∴不等式組的解集為﹣＜x≤4，由x為整數(shù)，可取﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，則所有整數(shù)解的和為7，故答案為：7．【題型12一元一次不等式（組）應(yīng)用題】滿(mǎn)分技巧一元一次不等式（組）應(yīng)用題的解法步驟：審，設(shè)，列，解，答。審題過(guò)程中，找不等量關(guān)系時(shí)，多注意“不超過(guò)”、“低于”、“不少于”等不等量關(guān)系的詞語(yǔ)；不等式組的應(yīng)用題也常和方程結(jié)合，不等式的解作為方案類(lèi)問(wèn)題選擇的范圍，取整后得到對(duì)應(yīng)方案。1．（2023?赤峰）某集團(tuán)有限公司生產(chǎn)甲乙兩種電子產(chǎn)品共8萬(wàn)件，準(zhǔn)備銷(xiāo)往東南亞國(guó)家和地區(qū)．已知2件甲種電子產(chǎn)品與3件乙種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售額相同；3件甲種電子產(chǎn)品比2件乙種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售額多1500元．（1）求甲種電子產(chǎn)品與乙種電子產(chǎn)品銷(xiāo)售單價(jià)各多少元？（2）若使甲乙兩種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售總收入不低于5400萬(wàn)元，則至少銷(xiāo)售甲種電子產(chǎn)品多少件？【分析】（1）設(shè)甲種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)是x元，乙種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)是y元，根據(jù)“2件甲種電子產(chǎn)品與3件乙種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售額相同；3件甲種電子產(chǎn)品比2件乙種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售額多1500元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)銷(xiāo)售甲種電子產(chǎn)品m萬(wàn)件，則銷(xiāo)售乙種電子產(chǎn)品（8﹣m）萬(wàn)件，利用銷(xiāo)售總額＝銷(xiāo)售單價(jià)×銷(xiāo)售數(shù)量，結(jié)合銷(xiāo)售總額不低于5400萬(wàn)元，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)甲種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)是x元，乙種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)是900元，乙種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)是600元；（2）設(shè)銷(xiāo)售甲種電子產(chǎn)品m萬(wàn)件，則銷(xiāo)售乙種電子產(chǎn)品（8﹣m）萬(wàn)件，根據(jù)題意得：900m+600（8﹣m）≥5400，解得：m≥2，∴m的最小值為2．答：至少銷(xiāo)售甲種電子產(chǎn)品2萬(wàn)件．2．（2023?懷化）某中學(xué)組織學(xué)生研學(xué)，原計(jì)劃租用可坐乘客45人的A種客車(chē)若干輛，則有30人沒(méi)有座位；若租用可坐乘客60人的B種客車(chē)，則可少租6輛，且恰好坐滿(mǎn)．（1）求原計(jì)劃租用A種客車(chē)多少輛？這次研學(xué)去了多少人？（2）若該校計(jì)劃租用A、B兩種客車(chē)共25輛，要求B種客車(chē)不超過(guò)7輛，且每人都有座位，則有哪幾種租車(chē)方案？（3）在（2）的條件下，若A種客車(chē)租金為每輛220元，B種客車(chē)租金每輛300元，應(yīng)該怎樣租車(chē)才最合算？【分析】（1）設(shè)原計(jì)劃租用A種客車(chē)x輛，則這次研學(xué)去了（45x+30）人，根據(jù)這次去研學(xué)的人數(shù)不變，可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)租用B種客車(chē)y輛，則租用A種客車(chē)（25﹣y）輛，根據(jù)“租用的25輛客車(chē)可乘坐人數(shù)不少于1200人，且租用的B種客車(chē)不超過(guò)7輛”，可得出關(guān)于y的一元一次不等式組，解之可得出y的取值范圍，再結(jié)合y為正整數(shù)，即可得出各租車(chē)方案；（3）利用總租金＝每輛A種客車(chē)的租金×租用A種客車(chē)的輛數(shù)+每輛B種客車(chē)的租金×租用B種客車(chē)的輛數(shù)，可分別求出選擇各方案所需總租金，比較后，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)原計(jì)劃租用A種客車(chē)x輛，則這次研學(xué)去了（45x+30）人，根據(jù)題意得：45x+30＝60（x﹣6），解得：x＝26，∴45x+30＝45×26+30＝1200．答：原計(jì)劃租用A種客車(chē)26輛，這次研學(xué)去了1200人；（2）設(shè)租用B種客車(chē)y輛，則租用A種客車(chē)（25﹣y）輛，根據(jù)題意得：，解得：5≤y≤7，又∵y為正整數(shù)，∴y可以為5，6，7，∴該學(xué)校共有3種租車(chē)方案，方案1：租用5輛B種客車(chē)，20輛A種客車(chē)；方案2：租用6輛B種客車(chē)，19輛A種客車(chē)；方案3：租用7輛B種客車(chē)，18輛A種客車(chē)；（3）選擇方案1的總租金為300×5+220×20＝5900（元）；選擇方案2的總租金為300×6+220×19＝5980（元）；選擇方案3的總租金為300×7+220×18＝6060（元）．∵5900＜5980＜6060，∴租用5輛B種客車(chē)，20輛A種客車(chē)最合算．3．（2023?黑龍江）2023年5月30日上午9點(diǎn)31分，神舟十六號(hào)載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空．某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)到當(dāng)?shù)仉娨暸_(tái)演播大廳觀看現(xiàn)場(chǎng)直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購(gòu)進(jìn)A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購(gòu)進(jìn)A款和用400元購(gòu)進(jìn)B款的文化衫的數(shù)量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計(jì)劃用不多于14800元，不少于14750元購(gòu)買(mǎi)文化衫，求有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？（3）在實(shí)際購(gòu)買(mǎi)時(shí)，由于數(shù)量較多，商家讓利銷(xiāo)售，A款七折優(yōu)惠，B款每件讓利m元，采購(gòu)人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購(gòu)買(mǎi)方案所需資金恰好相同，試求m值．【分析】（1）設(shè)B款文化衫每件x元，則A款文化衫每件（x+10）元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用500元購(gòu)進(jìn)A款和用400元購(gòu)進(jìn)B款的文化衫的數(shù)量相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出B款文化衫的單價(jià)，再將其代入（x+10）中，可求出A款文化衫的單價(jià)；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)y件A款文化衫，則購(gòu)買(mǎi)（300﹣y）件B款文化衫，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不多于14800元且不少于14750元，可列出關(guān)于y的一元一次不等式組，解之可得出y的取值范圍，再結(jié)合y為正整數(shù)，即可得出共有6種購(gòu)買(mǎi)方案；（3）設(shè)購(gòu)買(mǎi)300件兩款文化衫所需總費(fèi)用為w元，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，可得出w關(guān)于y的函數(shù)關(guān)系式，由（2）中的所有購(gòu)買(mǎi)方案所需資金恰好相同（即w的值與y值無(wú)關(guān)），利用一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出m﹣5＝0，解之即可得出m的值．【解答】解：（1）設(shè)B款文化衫每件x元，則A款文化衫每件（x+10）元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝40，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是所列方程的解，且符合題意，∴x+10＝40+10＝50．答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)y件A款文化衫，則購(gòu)買(mǎi)（300﹣y）件B款文化衫，根據(jù)題意得：，解得：275≤y≤280，又∵y為正整數(shù)，∴y可以為275，276，277，278，279，280，∴共有6種購(gòu)買(mǎi)方案；（3）設(shè)購(gòu)買(mǎi)300件兩款文化衫所需總費(fèi)用為w元，則w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），∵（2）中的所有購(gòu)買(mǎi)方案所需資金恰好相同，∴w的值與y值無(wú)關(guān)，∴m﹣5＝0，∴m＝5．答：m的值為5．（建議用時(shí)：35分鐘）1．（2023?淄博）已知x＝1是方程的解，那么實(shí)數(shù)m的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【分析】將x＝1代入原方程即可求出m的值．【解答】解：將x＝1代入方程，得：﹣＝3，解得：m＝2．故選：B．2．（2023?南通）若實(shí)數(shù)x，y，m滿(mǎn)足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，則代數(shù)式﹣2xy+1的值可以是（）A．3 B． C．2 D．【分析】結(jié)合已知條件解含參的二元一次方程組，然后代入﹣2xy+1中確定其取值即可．【解答】解：由題意可得，解得：，則﹣2xy+1＝﹣2××+1＝﹣+1＝﹣+1＝﹣+1＝﹣+≤，∵3＞＞2＞，∴A，B，C不符合題意，D符合題意，故選：D．3．（2023?青海）為了緬懷革命先烈，傳承紅色精神，青海省某學(xué)校八年級(jí)師生在清明節(jié)期間前往距離學(xué)校15km的烈士陵園掃墓．一部分師生騎自行車(chē)先走，過(guò)了30min后，其余師生乘汽車(chē)出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知汽車(chē)的速度是騎車(chē)師生速度的2倍，設(shè)騎車(chē)師生的速度為xkm/h．根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)題意得汽車(chē)的速度是2xkm/h，再將30min轉(zhuǎn)化為h，然后根據(jù)“同時(shí)到達(dá)”列出方程即可得出答案．【解答】解：∵騎車(chē)師生的速度為xkm/h，汽車(chē)的速度是騎車(chē)師生速度的2倍，∴汽車(chē)的速度是2xkm/h，又∵30min＝h，∴．故選：B．4．（2023?廣州）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜3，∴原不等式組的解集為：﹣1≤x＜3，∴該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：故選：B．5．（2023?齊齊哈爾）如果關(guān)于x的分式方程的解是負(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2【分析】解含參的分式方程，結(jié)合已知條件及分式有意義的條件求得m的取值范圍即可．【解答】解：將分式方程兩邊同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)得：x＝m+1，∵原分式方程的解是負(fù)數(shù)，∴m+1＜0，且m+1+1≠0，解得：m＜﹣1且m≠﹣2，故選：D．6．（2023?吉林）一元二次方程x2﹣5x+2＝0根的判別式的值是（）A．33 B．23 C．17 D．【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式Δ＝b2﹣4ac即可求出值．【解答】解：x2﹣5x+2＝0，∵a＝1，b＝﹣5，c＝2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝25﹣8＝17．故選：C．7．（2023?瀘州）關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情況是（）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)a的取值有關(guān)【分析】先計(jì)算一元二次方程根的判別式，根據(jù)根的判別式得結(jié)論．【解答】解：∵Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣1）＝4a2﹣4a2+4＝4＞0．∴關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：C．8．（2023?成都）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，是《算經(jīng)十書(shū)》之一，書(shū)中記載了這樣一個(gè)題目：今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺，問(wèn)木長(zhǎng)多少尺？設(shè)木長(zhǎng)x尺，則可列方程為（）A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1 C．（x+1）＝x﹣4.5 D．（x﹣1）＝x+4.5【分析】設(shè)木長(zhǎng)x尺，根據(jù)題意列出方程解答即可．【解答】解：設(shè)木長(zhǎng)x尺，根據(jù)題意可得：，故選：A．9．（2023?日照）若關(guān)于x的方程﹣2＝的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m＞﹣ B．m＜ C．m＞﹣且m≠0 D．m＜且m≠【分析】先解分式方程，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)和分式方程無(wú)意義的情況，即可得出m的取值范圍．【解答】解：﹣2＝，去分母得，2x﹣4（x﹣1）＝3m，整理得，2x﹣4x+4＝3m，解得，x＝，∵分式方程的解為正數(shù)，∴4﹣3m＞0且，∴m＜且m≠．故選：D．10．（2023?錦州）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜ B．k≤ C．k＜且k≠0 D．k≤且k≠0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，得k≠0，根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得出Δ≥0，求出k的取值范圍即可得出答案．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，∴k≠0，∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，解得k≤，∴k的取值范圍是k≤且k≠0，故選：D．11．（2023?眉山）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿(mǎn)足x﹣y＝4，則m的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】把方程組的兩個(gè)方程相減得到2x﹣2y＝2m+6，結(jié)合x(chóng)﹣y＝4，得到m的值．【解答】解：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組為，①﹣②，得：2x﹣2y＝2m+6，∴x﹣y＝m+3，∵x﹣y＝4，∴m+3＝4，∴m＝1．故選：B．12．關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅有4個(gè)，則m的取值范圍是（）A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣3【分析】先解不等式組，再根據(jù)僅有4個(gè)整數(shù)解得出m的不等式組，再求解．【解答】解：解不等式組得：m+3＜x＜3，由題意得：﹣2≤m+3＜﹣1，解得：﹣5≤m＜﹣4，故選：A．13．（2023?重慶）若關(guān)于x的不等式組的解集為x＜﹣2，且關(guān)于y的分式方程+＝2的解為正數(shù)，則所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)a的值之和為13．【分析】先通過(guò)不等式組的解確定a的范圍，再根據(jù)分式方程的解求a值即可得出答案．【解答】解：解不等式組，得：，∵原不等式組的解集為：x＜﹣2，∴﹣≥﹣2，∴a≤5，解分式方程+＝2，得y＝，∵y＞0且y≠1，∴＞0且≠1，∴a＞﹣2且a≠1，∴﹣2＜a≤5，且a≠1，∴符合條件的整數(shù)a有：﹣1，0，2，3，4，5，∴﹣1+0+2+3+4+5＝13．故答案為：13．14．（2023?眉山）已知方程x2﹣3x﹣4＝0的根為x1，x2，則（x1+2）?（x2+2）的值為6．【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系作答．【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣4＝0的根為x1，x2，∴x1+x2＝3，x1?x2＝﹣4，∴（x1+2）?（x2+2）＝x1?x2+2x1+2x2+4＝﹣4+2×3+4＝6．故答案為：6．15．（2023?婁底）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，則m2+＝6．【分析】把m代入x2﹣2x﹣1＝0得到m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，把m2﹣1＝2m代入變形后的式子計(jì)算即可．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，∴m2+＝（m﹣）2+2＝（）2+2＝22+2＝6．故答案為：6．16．（2023?山西）解方程：．【分析】由題意，根據(jù)分式方程的解題步驟先找出最簡(jiǎn)公分母，化為整式方程，解方程后檢驗(yàn)即可得結(jié)果．【解答】解：由題意得最簡(jiǎn)公分母為2（x﹣1），∴原方程可化為：2+2x﹣2＝3．∴x＝．檢驗(yàn)：把x＝代入2（x﹣1）＝1≠0，且原方程左邊＝右邊．∴原方程的解為x＝．17．（2023?無(wú)錫）（1）解方程：x2﹣2x﹣4＝0；（2）解不等式組：．【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝5，然后利用直接開(kāi)平方法解方程；（2）先分別解兩個(gè)不等式得到x≤﹣1和x＜1，然后利用同小取小得到不等式組的解集．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣4＝0，x2﹣2x＝4，x2﹣2x+1＝5，（x﹣1）2＝5，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣；（2），解不等式①得x≤﹣1，解不等式②得x＜1，所以不等式組的解集為x≤﹣1．18．（2023?湖北）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．（1）求證：無(wú)論m取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．【分析】（1）要證明方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即證明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再將（2a+b）（a+2b）＝20變形可得2（a+b）2+ab＝20，將a+b，ab的代入可得關(guān)于m的一元二次方程，求解即可．【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，∴無(wú)論m取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b，∴a+b＝＝2m+1，ab＝＝m2+m，∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2（a2+2ab+b2）+ab＝2（a+b）2+ab，∴2（a+b）2+ab＝20，∴2（2m+1）2+m2+m＝20，整理得：m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1，∴m的值為﹣2或1．19．（2023?寧夏）“人間煙火味，最撫凡人心”，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來(lái)源．某經(jīng)營(yíng)者購(gòu)進(jìn)了A型和B型兩種玩具，已知用520元購(gòu)進(jìn)A型玩具的數(shù)量比用175元購(gòu)進(jìn)B型玩具的數(shù)量多30個(gè)，且A型玩具單價(jià)是B型玩具單價(jià)的1.6倍．（1）求兩種型號(hào)玩具的單價(jià)各是多少元？根據(jù)題意，甲、乙兩名同學(xué)分別列出如下方程：甲：＝+30，解得x＝5，經(jīng)檢驗(yàn)x＝5是原方程的解．乙：＝1.6×，解得x＝65，經(jīng)檢驗(yàn)x＝65是原方程的解．則甲所列方程中的x表示B型玩具的單價(jià)，乙所列方程中的x表示A型玩具的數(shù)量（2）該經(jīng)營(yíng)者準(zhǔn)備用1350元以原單價(jià)再次購(gòu)進(jìn)這兩種型號(hào)的玩具共200個(gè)，則最多可購(gòu)進(jìn)A型玩具多少個(gè)？【分析】（1）根據(jù)所列方程即可判斷出x的意義；（2）設(shè)可購(gòu)進(jìn)A型玩具a個(gè)，則8a+5（200﹣a）≤1350，解不等式即可得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的單價(jià)；乙所列方程中的x表示A型玩具的數(shù)量；故答案為：B型玩具的單價(jià)；A型玩具的數(shù)量；（2）設(shè)可購(gòu)進(jìn)A型玩具a個(gè)，則B型玩具（200﹣a）個(gè)，根據(jù)題意得：8a+5（200﹣a）≤1350，a≤116，∴整數(shù)a最大值是116，答：最多可購(gòu)進(jìn)A型玩具116個(gè)．20．（2023?煙臺(tái)）中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，是中華文明的智慧結(jié)晶．《孫子算經(jīng)》、《周髀算經(jīng)》是我國(guó)古代較為普及的算書(shū)，許多問(wèn)題淺顯有趣．某書(shū)店的《孫子算經(jīng)》單價(jià)是《周髀算經(jīng)》單價(jià)的，用600元購(gòu)買(mǎi)《孫子算經(jīng)》比購(gòu)買(mǎi)《周髀算經(jīng)》多買(mǎi)5本．（1）求兩種圖書(shū)的單價(jià)分別為多少元？（2）為等備“3.14數(shù)學(xué)節(jié)”活動(dòng)，某校計(jì)劃到該書(shū)店購(gòu)買(mǎi)這兩種圖書(shū)共80本，且購(gòu)買(mǎi)的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半．由于購(gòu)買(mǎi)量大，書(shū)店打折優(yōu)惠，兩種圖書(shū)均按八折出售，求兩種圖書(shū)分別購(gòu)買(mǎi)多少本時(shí)費(fèi)用最少？【分析】（1）設(shè)《周髀算經(jīng)》的單價(jià)是x元，則《孫子算經(jīng)》的單價(jià)是x元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用600元購(gòu)買(mǎi)《孫子算經(jīng)》比購(gòu)買(mǎi)《周髀算經(jīng)》多買(mǎi)5本，可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出《周髀算經(jīng)》的單價(jià)，再將其代入x中，即可求出《孫子算經(jīng)》的單價(jià)；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)m本《孫子算經(jīng)》，則購(gòu)買(mǎi)（80﹣m）本《周髀算經(jīng)》，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，設(shè)購(gòu)買(mǎi)這兩種圖書(shū)共花費(fèi)w元，利用總費(fèi)用＝單價(jià)×數(shù)量，可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問(wèn)題．【解答】解：（1）設(shè)《周髀算經(jīng)》的單價(jià)是x元，則《孫子算經(jīng)》的單價(jià)是x元，根據(jù)題意得：﹣＝5，解得：x＝40，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是所列方程的解，且符合題意，∴x＝×40＝30．答：《孫子算經(jīng)》的單價(jià)是30元，《周髀算經(jīng)》的單價(jià)是40元；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)m本《孫子算經(jīng)》，則購(gòu)買(mǎi)（80﹣m）本《周髀算經(jīng)》，根據(jù)題意得：80﹣m≥m，解得：m≤．設(shè)購(gòu)買(mǎi)這兩種圖書(shū)共花費(fèi)w元，則w＝30×0.8m+40×0.8（80﹣m），∴w＝﹣8m+2560，∵﹣8＜0，∴w隨m的增大而減小，又∵m≤，且m為正整數(shù)，∴當(dāng)m＝53時(shí)，w取得最小值，此時(shí)80﹣m＝80﹣53＝27．答：當(dāng)購(gòu)買(mǎi)53本《孫子算經(jīng)》、27本《周髀算經(jīng)》時(shí)，總費(fèi)用最少．21．（2023?通遼）某搬運(yùn)公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A，B兩種型號(hào)的機(jī)器搬運(yùn)貨物，每臺(tái)A型機(jī)器比每臺(tái)B型機(jī)器每天少搬運(yùn)10噸貨物，且每臺(tái)A型機(jī)器搬運(yùn)450噸貨物與每臺(tái)B型機(jī)器搬運(yùn)500噸貨物所需天數(shù)相同．（1）求每臺(tái)A型機(jī)器，B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物多少?lài)?？?）每臺(tái)A型機(jī)器售價(jià)1.5萬(wàn)元，每臺(tái)B型機(jī)器售價(jià)2萬(wàn)元，該公司計(jì)劃采購(gòu)兩種型號(hào)機(jī)器共30臺(tái)，滿(mǎn)足每天搬運(yùn)貨物不低于2880噸，購(gòu)買(mǎi)金額不超過(guò)55萬(wàn)元，請(qǐng)幫助公司求出最省錢(qián)的采購(gòu)方案．【分析】（1）設(shè)每臺(tái)A型機(jī)器每天搬運(yùn)貨物x噸，則每臺(tái)B型機(jī)器每天搬運(yùn)貨物（x+10）噸，根據(jù)“A型機(jī)器人每天搬運(yùn)540噸貨物與B型機(jī)器每天搬運(yùn)600噸貨物所需臺(tái)數(shù)相同”列方程即可得解；（2）先根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解不等式組求出m的取值范圍，再根據(jù)題意列出一次函數(shù)解析式，利用次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出答案．【解答】解：（1）設(shè)每臺(tái)A型機(jī)器每天搬運(yùn)貨物x噸，則每臺(tái)B型機(jī)器每天搬運(yùn)貨物（x+10）噸，由題意得：，解得：x＝90，當(dāng)x＝90時(shí)，x（x+10）≠0，∴x＝90是分式方程的根，∴x+10＝90+10＝100，答：每臺(tái)A型機(jī)器每天搬運(yùn)貨物90噸，每臺(tái)B型機(jī)器每天搬運(yùn)貨物100噸；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A型機(jī)器m臺(tái)，購(gòu)買(mǎi)總金額為w萬(wàn)元，由題意得：，解得：10≤m≤12，w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；∵﹣0.5＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝12時(shí)，w最小，此時(shí)w＝﹣0.5×12+60＝54，∴購(gòu)買(mǎi)A型機(jī)器12臺(tái)，B型機(jī)器18臺(tái)時(shí)，購(gòu)買(mǎi)總金額最低是54萬(wàn)元．（建議用時(shí)：45分鐘）1．（2024?柳州一模）方程x2﹣4x＝0的解是（）A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4【分析】方程左邊分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解．【解答】解：方程分解因式得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4．故選：C．2．（2023?臨沂模擬）已知二元一次方程組，則x﹣y的值為（）A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6【分析】利用加減消元法求出二元一次方程組的解，即可得出答案．【解答】解：，②×2，得2x﹣4y＝2③，①﹣③，得3y＝3，解得y＝1，將y＝1代入①，得x＝3，∴方程組的解為，∴x﹣y＝2．故選：A．3．（2024?長(zhǎng)沙模擬）元旦將至，九（1）班全體學(xué)生互贈(zèng)賀卡，共贈(zèng)賀卡1980張，問(wèn)九（1）班共有多少名學(xué)生？設(shè)九（1）班共有x名學(xué)生，那么所列方程為（）A．x2＝1980 B．x（x+1）＝1980 C．x（x﹣1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980【分析】根據(jù)題意得：每人要贈(zèng)送（x﹣1）張賀卡，有x個(gè)人，然后根據(jù)題意可列出方程：（x﹣1）x＝1980．【解答】解：根據(jù)題意得：每人要贈(zèng)送（x﹣1）張賀卡，有x個(gè)人，∴全班共送：（x﹣1）x＝1980，故選：D．4．（2023?綿竹市模擬）若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則m的值是（）A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無(wú)解，得到最簡(jiǎn)公分母為0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母得：﹣x﹣m+x（x+2）＝（x+2）（x﹣2），由分式方程無(wú)解，得到x＝2或x＝﹣2，把x＝2代入整式方程得：m＝6；把x＝﹣2代入整式方程得：m＝2．故選：A．5．（2024?旺蒼縣一模）用配方法解方程x2﹣4x﹣10＝0，下列配方結(jié)果正確的是（）A．（x+2）2＝14 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝14 D．（x﹣2）2＝6【分析】先移項(xiàng)，再配方，即可得出選項(xiàng)．【解答】解：x2﹣4x﹣10＝0，移項(xiàng)，得x2﹣4x＝10，配方，得x2﹣4x+4＝10+4，即（x﹣2）2＝14．故選：C．6．（2024?柳州一模）方程x2+x+3＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．無(wú)法判斷 D．無(wú)實(shí)數(shù)根【分析】用一元二次方程根的判別式（Δ＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況即可．【解答】解：b2﹣4ac＝12﹣4×1×3＜0，∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故D符合題意，故選：D．7．（2023?蕉嶺縣一模）《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問(wèn)題，原文如下：今有人共買(mǎi)物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．問(wèn)物價(jià)幾何？譯文為：現(xiàn)有一些人共同買(mǎi)一個(gè)物品，每人出11元，還盈余8元；每人出9元，則還差12元．問(wèn)這個(gè)物品的價(jià)格是多少元？（）A．118 B．102 C．88 D．78【分析】設(shè)共有x人，這個(gè)物品的價(jià)格是y元，根據(jù)每人出11元，還盈余8元；每人出9元，則還差12元．列出二元一次方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)共有x人，這個(gè)物品的價(jià)格是y元，由題意得：，解得：，即這個(gè)物品的價(jià)格是102元，故選：B．8．（2024?深圳模擬）關(guān)于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正確的是（）甲乙丙丁兩邊同時(shí)除以（x﹣1）得到x＝3．移項(xiàng)得x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（x+3）＝0，∴x﹣1＝0或x+3＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3．整理得x2﹣4x＝﹣3，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝28，∴x＝＝2±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．整理得x2﹣4x＝﹣3，配方得x2﹣4x+4＝1，∴（x﹣2）2＝1，∴x﹣2＝±1，∴x1＝1，x2＝3．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】分別利用解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，配方法，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【解答】解：甲的解法錯(cuò)誤，方程兩邊不能同時(shí)除以（x﹣1），這樣會(huì)漏解；乙的解法錯(cuò)誤，移項(xiàng)時(shí)3（x﹣1）沒(méi)有變號(hào)；丙的解法錯(cuò)誤，就沒(méi)有將原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以c的值錯(cuò)誤；丁利用配方法解方程，計(jì)算正確；故選：D．9．（2023?潮安區(qū)一模）關(guān)于x的不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，則a滿(mǎn)足（）A．a(chǎn)＝10 B．10≤a＜12 C．10＜a≤12 D．10≤a≤12【分析】先分別求出每一個(gè)不等式的解集，然后根據(jù)口訣“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到”并結(jié)合不等式組有3個(gè)整數(shù)解，得出關(guān)于a的不等式求解即可．【解答】解：由6﹣3x＜0得：x＞2，由2x≤a得：，∵不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，∴不等式組的整數(shù)解為3、4、5，∴，解得10≤a＜12，故選：B．10．（2023?霞山區(qū)校級(jí)一模）關(guān)于x的一元二次方程（x﹣2）2＝a﹣1有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是a≥1．【分析】根據(jù)平方的意義得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（x﹣2）2＝a﹣1有實(shí)數(shù)根，∴a﹣1≥0，解得a≥1，故答案為：a≥1．11．（2023?興寧區(qū)二模）為滿(mǎn)足春節(jié)市場(chǎng)需求，某商場(chǎng)在節(jié)前購(gòu)進(jìn)大批某品牌童裝，該品牌童裝若每件盈利40元，平均每天可售出20件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每件童裝降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件，若商場(chǎng)希望該品牌童裝日盈利為1200元，同時(shí)為了盡量減少庫(kù)存，請(qǐng)問(wèn)該童裝應(yīng)降價(jià)20元．【分析】設(shè)該童裝每件降價(jià)x元，則每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用商場(chǎng)銷(xiāo)售該童裝的日盈利＝每件盈利×日銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合要盡量減少庫(kù)存，即可得出該童裝應(yīng)每件降價(jià)20元．【解答】解：設(shè)該童裝每件降價(jià)x元，則每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，依題意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．又∵要盡量減少庫(kù)存，∴x＝20．答：該童裝應(yīng)每件降價(jià)20元最合適．故答案為：20．12．（2024?灞橋區(qū)校級(jí)一模）用“△”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a△b＝a2b+a﹣b，如：1△3＝12×3+1﹣3＝1，若2△x＝x+6（其中x為有理數(shù)），則x的值為2．【分析】先根據(jù)已知條件中的新定義，列出關(guān)于x的一元一次方程，解方程求出x即可．【解答】解：∵a△b＝a2b+a﹣b，∴2△x＝x+6，22x+2﹣x＝x+6，4x﹣x﹣x＝6﹣2，2x＝4，x＝2，故答案為：2．13．（2024?大渡口區(qū)模擬）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x＜﹣2，且關(guān)于y的分式方程的解為負(fù)整數(shù)，則所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)a的值之和是﹣13．【分析】先解不等式組，然后根據(jù)不等式組的解集為x＜﹣2，可得≥﹣2，從而可得：a≥﹣8，再解分式方程可得y＝，從而根據(jù)分式方程的解為負(fù)整數(shù)，可得＜0且≠﹣1，進(jìn)而可得﹣8≤a＜1且a≠﹣2，最后根據(jù)分式方程的解為負(fù)整數(shù)可得a＝﹣8或﹣5，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x＜﹣2，解不等式②得：x≤，∵不等式組的解集為x＜﹣2，∴≥﹣2，解得：a≥﹣8，，2y＝a﹣（y+1），解得：y＝，∵分式方程的解為負(fù)整數(shù)，∴＜0且≠﹣1，∴a＜1且a≠﹣2，∴﹣8≤a＜1且a≠﹣2，∵分式方程的解為負(fù)整數(shù)，∴a＝﹣8或﹣5，∴所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)a的值之和是﹣13，故答案為：﹣13．14．（2023?陸豐市一模）解方程組：．【分析】利用加減消元法求解即可．【解答】解：，①×3+②×2，得：13x＝26，解得：x＝2，把x＝2代入①，得y＝4，∴方程組的解為：．15．（2023?富?？h模擬）解方程：2x2﹣3x＝1﹣2x．【分析】先把原方程化為一般式，再計(jì)算判別式的值，然后利用求根公式計(jì)算出方程的根．【解答】解：原方程化為2x2﹣x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，∴x＝＝，∴x1＝1，x2＝﹣．16．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)三模）（1）解方程：2x2+2x﹣1＝0；（2）解不等式組：．【分析】（1）根據(jù)公式法可以解答此方程；（2）先解出每個(gè)不等式的解集，即可得到不等式組的解集．【解答】解：（1）2x2+2x﹣1＝0，a＝2，b＝2，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，∴x＝＝＝＝，∴x1＝，x2＝；（2），解不等式①，得：x＞﹣6，解不等式②，得：x≤，∴該不等式組的解集是﹣6＜x≤．17．（2024?雁塔區(qū)校級(jí)二模）解分式方程：．【分析】利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：原方程去分母得：2（x﹣1）﹣3（x+1）＝1，解得：x＝﹣4，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣4時(shí)，x2﹣1＝16﹣1＝15≠0，∴x＝﹣4是原分式方程的解．18．（2024?瀘縣一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．（1）求證：無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若一元二次方程的兩根為x1，x2，且滿(mǎn)足+﹣x1x2＝19，求m的值．【分析】（1）利用根的判別式求出關(guān)于m的代數(shù)式，整理成非負(fù)數(shù)的形式即可判定b2﹣4ac≥0；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)得到兩根之和和兩根之積，然后把+﹣x1x2＝19，轉(zhuǎn)換為（x1+x2）2﹣3x1x2＝19，然后利用前面的等式即可得到關(guān)于m的方程，解方程即可求出結(jié)果．【解答】