2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫：考點(diǎn)10 反比例函數(shù)及其應(yīng)用（解析版）

考點(diǎn)10反比例函數(shù)及其應(yīng)用

在命題趨勢(shì)

反比例函數(shù)這個(gè)考點(diǎn)在中考數(shù)學(xué)中，單獨(dú)出題幾率比較的大，常考考點(diǎn)為：反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)、

K的幾何意義、雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題以及反比例函數(shù)的應(yīng)用與綜合題

等c其中前三個(gè)考點(diǎn)多以選擇填空題的形式出題，后三個(gè)考點(diǎn)則是基礎(chǔ)簡(jiǎn)答題以及壓軸題。在填空題中，

對(duì)反比例函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征考察的比較多，而且難度逐漸增大，常結(jié)合其他規(guī)則幾何圖形的性質(zhì)一起出題,

多數(shù)題目的技巧性較強(qiáng)，復(fù)習(xí)中需要多加注意。另外壓軸題中也常以反比例函數(shù)為背景，考察一些新定義

類問題。綜合反比例函數(shù)以上特點(diǎn)，考生在復(fù)習(xí)該考點(diǎn)時(shí)，需要準(zhǔn)備掌握其各性質(zhì)規(guī)律，并且多注意其與

幾何圖形結(jié)合題的思考探究。

在知號(hào)導(dǎo)圖

反比例的定義:

注重存考向

一、反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)

二、反比例函數(shù)與不等式間的關(guān)系

三、反比例函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征

四、反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義

五、反比例函數(shù)的應(yīng)用

考向一：反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)

解析式產(chǎn)K伏為常數(shù)，跳H0)

X

圖象十小

所在象限第一、二象限(x、y同號(hào))第二、四象限(x、y異號(hào))

增減性在其每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大在其每個(gè)象限內(nèi)，y隨X的增大而

而減小用大

對(duì)稱性關(guān)于直線y=x,y=-x成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

【易錯(cuò)警示】

>反比例函數(shù)增減性的描述，一定要有“在其每個(gè)象限內(nèi)”這個(gè)前提;

>由圖象去求k值時(shí)，一定要注意其正負(fù)符號(hào)

方汝技巧

增減性的直接應(yīng)用技巧：若點(diǎn)A(x1,V1：，點(diǎn)B(x2,y2)在反比例函數(shù)的同一支上，則有

當(dāng)k>0時(shí)，若xx>X2?則yi<y2；

當(dāng)kVO時(shí),若xi>X2，則yi>y2；

典例引頷

4?-1J

1.反比例函數(shù)y='圖象的對(duì)稱軸的條數(shù)是，一條.

x

【分析】任意一個(gè)反比例函數(shù)的圖象都是軸對(duì)稱圖形，且對(duì)稱軸有且只有兩條.

【解答】解：沿直線丁=工或），=-1折疊，直線兩旁的部分都能夠完全重合，所以對(duì)稱軸有2條.

故答案為：2.

2.如圖所示，正比例函數(shù)），=%x與反比例函數(shù)），=也的圖象有一個(gè)交點(diǎn)（2,-1）,則這兩個(gè)函數(shù)圖象的

【分析】反比例函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，則與經(jīng)過原點(diǎn)的直線的兩個(gè)交點(diǎn)一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

【解答】解：由圖象可知：直線y=總工經(jīng)過原點(diǎn)與雙曲線y="相交于兩點(diǎn)，

x

又由于雙曲線y=0■與直線），=，依均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

x

則兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-1）,

則另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,1）.

故答案為：（-2,1）.

3.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，若反比例函數(shù)），=比型空的圖象位第二、四象限，則左的取值范圍是」

x

<2022.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)列不等式即可解得答案.

【解答】解：???反比例函數(shù)尸卜2022的圖象位第二、四象限，

x

rj：-2022<0,

解得2V2022,

故答案為：女V2022.

4.已知反比例函數(shù)），=-2，下列結(jié)論中不正確的是（）

A.圖象必經(jīng)過點(diǎn)（-3,2）B.圖象位于第二、四象限

C.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.在每一個(gè)象限內(nèi).），隨x的增大而減小

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正確.本題得

以解決.

【解答】解：???反比例函數(shù)y=-?，

???圖象必經(jīng)過點(diǎn)（-3,2）,故選項(xiàng)A正確，不符合題意；

圖象位于第二、四象限，故選項(xiàng)8正確，不符合題意；

圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)。正確，不符合題意；

在每一個(gè)象限內(nèi).），隨x的增大而增大，故選項(xiàng)。不正確，符合題意；

故選：O.

5.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ov+b與y=旦（其中公人是常數(shù)，abWO）的大致圖象是（）

ax

【解答］解：若a>0,b>0,

則y=or+b經(jīng)過一、二、三象限，反比例函數(shù)y=q-（ab^O）位于一、三象限，

ax

若a>0,b<0,

則曠=欠+方經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)數(shù)y=-k（必力0）位于二、四象限，

ax

若a<0,。>0,

貝叮=奴+6經(jīng)過一、二、四象限，反比例函數(shù)y=3-（"W0）位于二、四象限，

ax

若a<0,b<0,

則y=ov+b經(jīng)過二、三、四象限，反比例函數(shù)y=-L（時(shí)#0）位于一、三象限，

ax

故選：A.

6.邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。的對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O,AB〃工軸，BC〃y軸，反比例函數(shù)尸返■與y=?

X

返的圖象均與正方形ABC。的邊相交，則圖中的陰影部分的面積是（）

x

【分析】先根據(jù)兩反比例函數(shù)的解析式確定出兩函數(shù)圖象之間的關(guān)系，再根據(jù)正方形ABCD的對(duì)稱中心

是坐標(biāo)原點(diǎn)。可知圖中四個(gè)小正方形合等，反比例函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形全等，故陰影部

分的面積即為兩個(gè)小正方形即大正方形面積的一半.

【解答】解：由兩函數(shù)的解析可知：兩函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.

???正方形的對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)0,

???四圖小正方形全等，每圖小正方形的面積=2X4X4=4,

???反比例函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形全等，

???陰影部分的面積=4X2=8.

故選：C.

y」（x>0）

函數(shù)y=,x的圖象上有兩點(diǎn)A（xi,yi）、B（x2,*）,針對(duì)yi上

片」?（x<0）

x

法如下，

甲：若X1V0VX2,則#>"；乙：若1|+X2=O,則yi="；

丙：若OVxiV垃，則yi>”.

下列判斷正確的是（）

A.只有甲錯(cuò)B.只有丙對(duì)C.甲、丙都對(duì)D.甲、乙、丙都錯(cuò)

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得出答案.

小〉0）

【解答】解：如圖，函數(shù)y=,的圖象為,

y=-(x<0)

???可知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

若MV0VX2,則不能判斷yi,”的大小，故甲是錯(cuò)誤的;

若xi+x2=0,則yi=",故乙是正確的；

???當(dāng)￡>0時(shí)，y隨x的增大而減小，

/.0<xi<x2,則yi>”，故丙是正確的；

故選：A.

考向二：反比例函數(shù)與不等式間的關(guān)系

當(dāng)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交時(shí)，會(huì)產(chǎn)生如下兩種圖形，對(duì)應(yīng)結(jié)論如下:

1.如圖①，若反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交于反比例函數(shù)的兩支于點(diǎn)A,B,則有

若yi>yz，則自變量x的取值范圍是：nVxVO或x>m

若yiVyz,則自變量x的取值范圍是：xVn或OVxVm

2.如圖②，若反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交于反比例函數(shù)的同一支于點(diǎn)A,B,則有

若yi>yz,則自變量x的取值范圍是：mVxVn或xVO

若yiVyz,則自變量x的取值范圍是：x>n或OVxVm

②

方飲技巧

反比例函數(shù)與不等式結(jié)合考察增減性時(shí)，答案的形式都是包含2部分的(即誰或誰)，并且

其中一部分肯定與0有關(guān)！(特定問題中已經(jīng)說明應(yīng)用范圍的例外)

典例引微

1.如圖，一次函數(shù)y=or+b與反比例函數(shù)y=K(&>0)的圖象交于點(diǎn)A(1,2),B(m,-1).則關(guān)于x

A.x<-2或OVxVlB.x<-1或0VxV2

C.?2VxV0或x>lD.-IVxVO或%>2

【分析】先求出反比例函數(shù)解析式，達(dá)而求出點(diǎn)8的坐標(biāo)，然后直接利用圖象法求解即可.

【解答】解：???4(1,2)在反比例函數(shù)圖象上，

.*./:=IX2=2,

???反比例函數(shù)解析式為y上，

X

???B(m,-1)在反比例函數(shù)圖象上，

,*:n=2二一2

-1

:?B(-2,-1),

由題意得關(guān)于x的不等式ax+b>K的解集即為一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)自變量的取值范

x

圍，

???關(guān)于X的不等式ax+b>上的解集為-2<x<o或QI,

x

故選：C.

2.如圖，直線y=ar+h與x軸相交于點(diǎn)A(1,0),與函數(shù)y=區(qū)的圖象交于點(diǎn)仄C,點(diǎn)8的橫坐標(biāo)是4,

點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是-3,則不等式組OV“+bV照的解是()

尸

A.-3<x<lB.-3<x<4C.-3<x<0D.0<x<l

【分析1利用數(shù)形結(jié)合的思想，直接得出關(guān)于x的不等式OVor+b〈區(qū)的解集.

x

【解答】解：觀察圖象可得，

當(dāng)?3VxV0時(shí)，直線廠心力位于x軸的上方、函數(shù)尸K圖象得下方，

x

???不等式組OVat+bvK的解是-3VxV0.

x

故選：C.

3.如圖，直線），=〃□+〃與雙曲線），=乂相交于力（-1,2）,B（2,b）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C.

x

（1）求〃?，〃的值；

（2）若點(diǎn)。與點(diǎn)。關(guān)于/軸對(duì)稱，求△A8O的面積.

（3）請(qǐng)直接寫出加計(jì)〃-K>0時(shí)，x的取值范圍.

【分析】（1）由題意，將4坐標(biāo)代入一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，即可求出機(jī)與〃的值;

（2）得出點(diǎn)。和點(diǎn)。的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；

（3）根據(jù)圖象即可求得.

【解答】解：（1）把x=-1,y=2；x=2,y=力代入y=K,

X

解得：k=-2,b=-1；

把x=-1,y=2；x=2,y=-1代入y=mx+〃，

解得：m=-1,n=l；

（2）???直線y=-x+1與y軸交點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,1）,

六點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,?1）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,-1）,

???△八8￡）的面積一卷><（1+1）X（1+2）=3；

（3）觀察圖象，當(dāng)出+K>o時(shí)，x的取值范圍是xV-1或0VxV2.

x

4.已知：正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=區(qū)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2,

x

（1）當(dāng)x=-3時(shí)，求反比例函數(shù)y=K的值；

x

（2）當(dāng)-3<%V2時(shí)（x#0）,反比例函數(shù)y=K的取值范圍是yV-■^或v>2；

（3）當(dāng)正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時(shí)，x的取值范圍是-2VD或Q2

【分析】（1）求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出反比例函數(shù)的關(guān)系式，代入計(jì)算即可得出答案;

（2）求出當(dāng)x=-3,x=2時(shí)，相應(yīng)的反比例函數(shù)的值，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象得出答案即可；

（3）根據(jù)對(duì)稱性求出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，艱據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖象及交點(diǎn)坐標(biāo)得出答案.

【解答】解：（1）???正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)產(chǎn)區(qū)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2,

x

這個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=y=2,

即這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,2）,

??.*=2X2=4,

???反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=‘，

x

當(dāng)x=-3時(shí),y=?3，

,3

即當(dāng)x=-3時(shí)，反比例函數(shù)尸K的值為?專

（2）當(dāng)x=2時(shí)，y=—=2,當(dāng)x=-3時(shí)，y=--,由反比例函數(shù)的圖象可知，

23

當(dāng)-3VxV0時(shí),即圖象在第三象限,y<-生

3

當(dāng)。VxV2時(shí)，即圖象在第一象限，y>2,

???當(dāng)-3Vx<2時(shí)（xWO）,反比例函數(shù)y=K的取值范圍是yV-2或）?2,

x3

故答案為：yV?筍)>2；

(3)由對(duì)稱性可知正比例函數(shù))，=x的圖象與反比例函數(shù))，=必的圖象交點(diǎn)4(2,2),B(-2,-2),

x

所以當(dāng)正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時(shí)，x的取值范圍是-2Vx<0或心>2,

故答案為：?2VxV0或x>2.

5.如圖，直線y=Hr+b(匕#0)與雙曲線(內(nèi)K0)相交于4(I,2)、B(〃?,-1)兩點(diǎn).

(1)求直線和雙曲線的解析式;

(2)若Ai(xi,y]),A2(X2>y2),A?(X3,K)為雙曲線上的三點(diǎn)，且xiV0<x2〈x3,請(qǐng)直接寫出yi,

y2ty3的大小關(guān)系式為V2>y3>yi；

(3)當(dāng)-4VXV-1時(shí)，反比例函數(shù))的取值范圍為-2<v<--l；

(4)觀察圖象，請(qǐng)直接寫出不等式卜產(chǎn)十b<絲的解集：。-2或OVxVl.

【分析】(1)將A坐標(biāo)代入反比例解析式中求出內(nèi)的值，確定出雙曲線解析式，將B坐標(biāo)代入反比例解

析式;求出，〃的值，確定出8坐標(biāo)，將A與8坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出心與人的值，即可確定出

直線解析式；

(2)根據(jù)三點(diǎn)橫坐標(biāo)的正負(fù)，得到4與出位于第一象限，對(duì)應(yīng)函數(shù)值大于0,Ai位于第三象限，函數(shù)

值小于0,且在第一象限為減函數(shù)，即可得到大小關(guān)系式；

(3)分別求出工=-4和x=-1時(shí)y的值即可得出結(jié)論；

(4)由兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象即可得出所求不等式的解集.

【解答】解：(1)將A(1,2)代入雙曲線解析式得：內(nèi)=2,即雙曲線解析式為y=2；

將-1)代入雙曲線解析式得：7=2,即機(jī)=?2,8(-2,-1),

m

rki+b=2

將A與8坐標(biāo)代入直線解析式得：1,

-2k[+b=-l

解得：匕=1,b=l,

則直線解析式為：y=x+l；

(2)VX1<O<X2<X3,且反比例函數(shù)在第一象限為減函數(shù)，

與43位于第一象限，即y2>y3>0，Ai位于第三象限，即yiVO,

則y2>*>yi.

故答案為：y2>y3>y\z

(3)當(dāng)x=-4時(shí)，y=-2.=-A；

42

當(dāng)％=-1時(shí)，y=-2,

.??當(dāng)-4VxV-1時(shí)，-2VyV-

2

故答案為：-2<y<-X

2

(4)由A(1,2),8(-2,-1),

由yi=?%+。，y2=—.當(dāng)yiV”時(shí)，

x

利用函數(shù)圖象得：不等式Hr+bV”的解集為xV-2或OVxVl.

x

故答案為：xV?2或OVrVl.

考向三：反比例函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征

1.所有反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相乘=比例系數(shù)k

2.如果一個(gè)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則該點(diǎn)的坐標(biāo)符合其解析式，可以根據(jù)其解析式設(shè)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐

標(biāo)

3.當(dāng)反比例函數(shù)與其他圖形結(jié)合考察時(shí)，多注意與反比例函數(shù)結(jié)合的圖形的性質(zhì)應(yīng)用

典例引辱

1.若反比例函數(shù)丁=區(qū)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-I),則這個(gè)函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)()

x

A.(-X2)B.(-2,-1)C.(-V2，V2)D.(1,2)

22

【分析】將(I,-1)代入y=K即可求出2的值，再根據(jù)&=書解答即可.

x

【解答】解：???反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-1),

：.k=\X(-1)=-1,

A、V-Ax2=

2

，這個(gè)函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)（-工，1）,故本選項(xiàng)符合題意;

2

B、V-2X（-1）=2W-1,

???這個(gè)函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過點(diǎn)（?2,-1）,故本選項(xiàng)不合題意；

C.v-V2xV2=-2^-1,

工這個(gè)函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過點(diǎn)（-1,4）,故本選項(xiàng)不合題意；

。、V-1x2=1^-1,

2

???這個(gè)函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過點(diǎn)（2,3）,故本選項(xiàng)不合題意.

故選:4

2.在函數(shù)了二1117（m為常數(shù)）的圖象上有三點(diǎn)（?3,川），（-1,”），（3,*）,則函數(shù)值的大小關(guān)系

x

是（）

A.J3<yi<y2B.y2<y3<y\C.y3<yi<y\D.y\<yi<y3

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出反比例函數(shù)的圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)

的值判斷出yi,戶，），3的大小關(guān)系即可.

【解答】解：???-謂-1V0,

???反比例函數(shù)口（加為常數(shù)）的圖象在二、四象限，并且在每一象限內(nèi)），隨x的增大而增大，

X

V-3<-1<0,

；?點(diǎn)（-3,yi）,（-I,"）在第二象限，

.\0<yi<y2,

V3>0,

???點(diǎn)（3,”）在第四象限，

/.）3<yi<y2.

故選:A.

3.如圖，直角三角形A08的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，NQ4B=30°,點(diǎn)A在反比例函數(shù)了二2（乂>0）圖象

上，若反比例函數(shù)了工經(jīng)過點(diǎn)8,那么女的值為（）

C.-4D.-6

【分析】過點(diǎn)B作BCA.X軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)4作ADA.x軸于點(diǎn)D,由△BCOSAO/M,可知

SABCO4XBCXCO4S△AOD=1,從而解決問題，

【解答】解：過點(diǎn)B作8C_Lx軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AO_Lx軸于點(diǎn)O,

???/BOA=90°,

???NBOC+/4。。=90°,

???/AOD+NOAD=90°,

:?乙BOC=4OAD,

又???N8CO=NAOO=90<>,

:.△BCOSRODA,

???辿:tan30。=^，

A03

?5ABCO1

???

5△AOD3

7yXADXDO-|xy=3?

乙乙

SABCO4XBCXCO4S△AOD=^

???經(jīng)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)圖象在第二象限,

.??反比例函數(shù)的解析式為：

X

：.k=-2.

故選：B.

4.如圖，矩形A8CO的邊A6與y軸平行，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,機(jī)），C（3,m+6）,反比例函數(shù)丁=三（不

>0）的圖象同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)B與點(diǎn)。，則〉的值為9.

【分析】設(shè)以。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1,y）、（斯2）,再根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)。在反比例函數(shù)數(shù)y=K（七>0）

x

的圖象上求出機(jī)的值，進(jìn)而可得出女的值.

【解答】解：:四邊形A8CO是矩形，頂點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,?。?，C（3,e+6）,

???設(shè)3、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1,m+6）、（3,〃?），

???點(diǎn)3與點(diǎn)。在反比例函數(shù)y=K（x>0）的圖象上，

A=7H+6—3〃?，

??陽=3,

.?/=3X3=9.

故答案是：9.

5.如圖，直線y=-工+3與坐標(biāo)軸分別相交于A,B兩點(diǎn),過48兩點(diǎn)作矩形ABC。,AB=2AD,雙曲線y』

x

上在第一象限經(jīng)過C,D兩點(diǎn)，則k的值是

【分析】作?！╛Lx軸于”，易證△AOHSABAO,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得史

AOBOAB2

即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的表達(dá)式即可求出々值.

【解答】解：作?！╛Lr軸于H,

將y=0代入直線y=-x+3得-x+3=0,

解得：x=3.

???點(diǎn)4的坐標(biāo)為（3,0）.

將x=0代入直線丁=?x+3得；y=3,

???點(diǎn)5的坐標(biāo)為（0,3）,

???。4=3,08=3,

???/B4D=90°,

：.^DAH+ZBAO=90°.

???/BAO+NA8O=90°,

A/DAH=ZABO.

又'；NDHA=NBOA=90°,

Z.XADHS/\BAO,

.DHAHAD1pnDHAH1

AOBOAB2332

??DH二AH二力.

Rg

?**OH=OA+AH=3-^z-干

乙乙

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為費(fèi)介

,:曲線y*在第一象限經(jīng)過D點(diǎn)，

??9v327

224

故答案為：27

4

6.如圖，點(diǎn)A是雙曲線），=2（XV0）上一動(dòng)點(diǎn)，連接OA,作08_L04,且使08=204,當(dāng)點(diǎn)A在雙曲

線），=工上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)8在雙曲線），=區(qū)上移動(dòng)，則k的值為-4.

xx

X

【分析】過A作AC_Lx軸于點(diǎn)。，過8作8￡>_Lx軸于點(diǎn)力，可設(shè)A(x,A),由條件證得△AOCS/\OBD,

從而可表示出8點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得關(guān)于左的方程，可求得左的值.

【解答】解：丁點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=3(x<0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

???可設(shè)4Cx,1),

x

：,0C=-X,AC=-X

■:OBLOA,

???^BOD+ZAOC=NAOC+NOAC=90°,

:,4BOD=/OAC,

.:乙BDO=/ACO,

：.XAOCsAOBD,

'：0B=20Af

?AC=OC=OA=J.

??而BDOB

AOD=2AC=-2,BD=2OC=-2A

：,R(-2,2x),

???點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=K圖象上，

x

：?k=-2X2X=-4,

x

故答案為：-4.

考向四：反比例函數(shù)k的幾何意義

反比例函數(shù)k與幾何圖形結(jié)合常見模型:

典例引41

1.在反比例函數(shù)），=@的圖象中，陰影部分的面積不等于6的是（）

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y5■中女的幾何意義，過雙曲線上任意一點(diǎn)引X軸、y軸垂線，所得矩形面積

X

為因解答即可.

【解答】解：A、圖形面積為因=6；

8、陰影是梯形，面積為9；

C、。面積均為兩個(gè)三角形面積之和，為2X■因)=6.

2

故選:B.

2.如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=K(x>0)圖象上的一點(diǎn)，A4垂直于x軸，垂足為5,△0A8的面積為8.若

x

點(diǎn)P(小4)也在此函數(shù)的圖象上，則。的值是()

A.2B.-2C.4D.-4

【分析】根據(jù)2的幾何含義可得女的值，從而得出反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)而把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，從而

得出。的值.

【解答】解：垂直于k軸，/XOAB的面積為8,

，氏=2X8=16,

.?.T，

x

???點(diǎn)尸(a,4)也在此函數(shù)的圖象上，

.?.4=獨(dú)

a

,a=4,

故選：C.

3.如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=K(x<0)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作ABJ_y軸于點(diǎn)￡),且點(diǎn)。為線段48的

中點(diǎn).若點(diǎn)C為x軸上任意一點(diǎn)，且AABC的面積為11,則求k的值()

A.-4B.-11C.11D.11

萬

【分析】連接。4,則有SM8C=2S”O(jiān)O,根據(jù)Z的幾何意義，可得」KL=2,根據(jù)圖象可知kV0,即可

2

求出攵的值.

【解答】解：連接。4,如圖所示：

???48_L），軸，

：.AB//OC,

??,0是48的中點(diǎn)，

:?SMBC=2S4ADO,

???S"DO=山吐，△A4C的面積為11,

2

A|M=11,

根據(jù)圖象可知，AV0,

：.k=-11.

故選：B.

4.如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)），='和y=2在第一象限的圖象分別是。和,設(shè)點(diǎn)尸在C1上，軸于點(diǎn)

A,交C2于4,則△POB的面積為（)

y

%.

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)反比例函數(shù))，=K(AHO)系數(shù)k的幾何意義得到S△戶"=上義4=2,SABOA=LX2=1,

x22

然后利用SgOB=S"-SmQA進(jìn)行/算即可.

【解答】解：???以_Lx軸于點(diǎn)A,交C2于點(diǎn)8,

S/\POA=—X4—2?X2=1?

22

：?SWCR=2-1=1.

故選：A.

5.如圖，點(diǎn)月、B在反比例函數(shù)y上的圖象上，過點(diǎn)A、8作x軸的垂線，叁足分別是M、N,射線48交

x

x軸于點(diǎn)C,若OM=MN=NC,四邊形AMNB的面積是3,則k的值為-4.

【分析】設(shè)OM=a=MN=NC,由點(diǎn)4、B在反比例函數(shù)y=K(2X0)的圖象上，可以表示AM、BN,

x

由各個(gè)部分面積之間的關(guān)系列方程可求出&的值.

【解答】解：設(shè)OM=m則OM=MN=NC=a,

???點(diǎn)A、8在反比例函數(shù)y=K的圖象上，AM±OC.BN工OC,

x

.?.4M=±BN=*

a2a

VSMOC=SMOM+SK邊形AMNB+SABNC，

:.-」X3〃XK=--+3-2XqXJL,

2a222a

解得，k--4,

故答案為：-4.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtZ\ABC的斜邊4C在y軸上，且OA=OC,ZACB=30°,4c=4,反

比例函數(shù)yLK（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)8.

（1）求左的值：

（2）若84的延長(zhǎng)線與反比例函數(shù)”=-肯叵（xVO）的圖象在第二象限交于點(diǎn)O,求△BCD的面積.

【分析】（1）連接08,作5E_L），軸于Q,易證得△408是的等邊三角形，即可求得S"08=追，進(jìn)一

步求得S/,.BOE=L=LSAAOB=亞~'根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求得k=6；

222

（2）作。尸_Ly軸于凡利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得。的橫坐標(biāo)，進(jìn)而即可求得△ACO的

面積，由OA=OC,可求得SAABC=2SMOB=2^T^,SABCD=S^ACD+S^ABC=^^[3.

【解答】解：（1）連接。8,作8E_Ly軸于￡>,

???"△ABC的斜邊AC在），軸上，且OA=OC,AC=4,

：.0B=^AC=0A=2,

2

???乙4。8=30°,

.??NOAB=60°,

???△AO8是的等邊三角形，

,SAAOB忖X2X奉義2=如，

，S^BOE=—k=-XSAAOS=亞~,

222

（2）作。以Ly軸于尸，

VZDAF=ZOAB=60°,

:,DF=MAF,

設(shè)。產(chǎn)=〃，則A/=〃-2,

:?DF=M（〃-2）,

??D（丁§（2-w）,〃），

???點(diǎn)。在反比例函數(shù)”=-4叵(x<0)的圖象上,

X

/.V3(2-〃)?〃=-36，即n2-2n-3=0,

解得〃1=3,〃2=-1(舍去)，

/.DF=V3X(3-2)=如，

.*.5MCD=X4C*DF=-i-x4XV5=2聰，

22

S^AOB=^3?OA=OC,

SMBC=2S^AOB=2A^3?

，S^BCD=S^ACD+S^ABC=4V3?

考向五：反比例函數(shù)的應(yīng)用

一.反比例函數(shù)的應(yīng)用通常是先根據(jù)題意列出函數(shù)表達(dá)式，畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)解決相

關(guān)問題，同時(shí)注意自變量的取值范圍

二.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的結(jié)合問題應(yīng)對(duì)策略：

①確定解析式，由一次函數(shù)解析式確定反比例函數(shù)解析式，由反比例函數(shù)解析式確定一

次函數(shù)解析式

②求交點(diǎn)坐標(biāo)，通常聯(lián)立反比例函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式

③利用函數(shù)圖象求解對(duì)應(yīng)的不等式，需要過交點(diǎn)坐標(biāo)作X軸的垂線

1.在?個(gè)可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時(shí)，氣體）的密度也會(huì)隨之

改變，密度p（依〃/）是體積V（W3）的反比例函數(shù)，它的圖象如圖所示，當(dāng)丫二8病時(shí)，氣體的密度

是（）kg/而.

A.1B.2C.4D.8

【分析】設(shè)密度p（單位：k城）與體積V（單位：〃?3）的反比例函數(shù)解析式為p=X,把點(diǎn)（4,2）

代人解析式求出k,再把v的值代入解析式即可求出氣體的密度.

【解答】解：設(shè)密度p與體積V的反比例函數(shù)解析式為p=區(qū)，把點(diǎn)（4,2）代入解p=K,得及=8,

VV

???密度P與體積V的反比例函數(shù)解析式為p=8,把V=8代入p=8.

VV

得p=l.

故選：A.

2.甲、乙、丙、丁四所學(xué)校舉行了航天知識(shí)競(jìng)賽，并將各校競(jìng)賽成績(jī)的優(yōu)秀率及參賽人數(shù)以點(diǎn)的形式描在

平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)式表示該校參賽人數(shù)，縱坐標(biāo)y表示競(jìng)賽成績(jī)的優(yōu)秀率（該校優(yōu)秀

人數(shù)與該校參加競(jìng)賽人數(shù)的比值），其中描述甲、丁兩所學(xué)校情況的點(diǎn)恰好在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上,

則這四所學(xué)校在這次航天知識(shí)競(jìng)賽中成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)最多的是（）

即

\?乙

、

A.甲B.乙C.閃D.T

【分析】根據(jù)題意可知孫的值即為該校的優(yōu)秀人數(shù)，再根據(jù)圖象即可確定乙校的優(yōu)秀人數(shù)最多.

【解答】解：根據(jù)題意，可知個(gè)的值即為該校的優(yōu)秀人數(shù)，

???描述甲、丁兩所學(xué)校情況的點(diǎn)恰好在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，

，甲、丁兩所學(xué)校的優(yōu)秀人數(shù)相同，

???點(diǎn)乙在反比例函數(shù)圖象上面，

，乙校的不，的值最大，即優(yōu)秀人數(shù)最多，

故選：B.

3.如圖1是一個(gè)亮度可調(diào)節(jié)的臺(tái)燈，其燈光亮度的改變，可以通過調(diào)節(jié)總電阻控制電流的變化來實(shí)現(xiàn).如

圖2是該臺(tái)燈的電流/（A）與電阻R（Q）成反比例函數(shù)的圖象，該圖象經(jīng)過點(diǎn)尸（880,0.25）.根據(jù)圖

象可知，下列說法正確的是（）

圖1圖2

A.當(dāng)/V0.25時(shí)，RV880B./與N的函數(shù)關(guān)系式是/=2"（R>0）

R

C.當(dāng)R>1000時(shí)，/>0.22D.當(dāng)880VRV1000時(shí)，/的取值范圍是0.22V/V0.25

【分析】由待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)/與R的函數(shù)關(guān)系式是/=旦（心>0）,

R

???該圖象經(jīng)過點(diǎn)P（880,0.25）,

:.[7=220,

???/與R的函數(shù)關(guān)系式是/=2型（/?>0）,故選項(xiàng)3不符合題意；

R

當(dāng)R=0.25時(shí)，7=880,當(dāng)R=1000時(shí)，/=0.22,

???反比例函數(shù)/=U（R>0）/隨R的增大而減小，

R

當(dāng)RV0.25時(shí)，/>880,當(dāng)1000時(shí)，Z<0.22,故選項(xiàng)4,C不符合題意；

???R=0.25時(shí)，7=880,當(dāng)K=1000時(shí),7=0.22,

二?當(dāng)880VRV1000時(shí)，/的取值范圍是0.22V/V0.25,故。符合題意；

故選：D.

4.隨著私家車數(shù)量的增加，城市的交通也越來越擁堵.通常情況下，某段高架橋上車輛的行駛速度y（千

米向）與高架橋上每百米車的數(shù)量4（輛）的關(guān)系如圖所示，當(dāng)x210時(shí)，y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，當(dāng)

車的行駛速度低于40千米/時(shí)時(shí)，交通就會(huì)擁堵.為避免出現(xiàn)交通擁堵，高架橋上每百米車的數(shù)量x（x

>0）的取值范圍是（）

A.04W20B.10<x<20C.0<x<20D.0<x<20

【分析】利用已知反比例函數(shù)圖象過（10.X0L得出其函數(shù)解析式，再利用y=40時(shí)，求出工的最值,

進(jìn)而求出x的取值范圍.

【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：），=K（x>10）,

則將(10,80),代入得:80=旦,

10

解得女=800,

???反比例函數(shù)的解析式為尸駟（x^lO）,

故當(dāng)車速度為40千米/時(shí)，則40=駟,

解得:x=20,

故高架橋上每百米擁有車的數(shù)量x應(yīng)該滿足的范圍是：0VxW20G為整數(shù)）.

故選：D.

5.為了預(yù)防新冠肺炎，某學(xué)校對(duì)教室采用藥薰消毒法進(jìn)行消毒，已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的

含藥量y（〃?g）與時(shí)間x（min）成正比例，藥物燃燒后，y（.mg）與x（加〃）成反比例，如圖所示，現(xiàn)

測(cè)得藥物8加?〃燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣每立方米的含藥量為6/咫，請(qǐng)你根據(jù)題中提供的信息，解答下列問題：

（1）分別求出藥物燃燒時(shí)和藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3mg且持續(xù)時(shí)間不低于10〃麗時(shí)，才能殺滅空氣中

的毒，那么這次消毒是否有效？為什么？

x/(min)

【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法分別求出函數(shù)解析式;

（2）利用y=3時(shí)分別代入求出答案.

【解答】解：（1）設(shè)藥物燃燒時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為），=&了（％,。）,

代人(8,6)得6=8%,

設(shè)藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為），=±2（幻>0）,

k

代入（8,6）得6=—M9

8

，幻=48,

???藥物燃燒時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為尸3X（0WXW8）,藥物燃燒后），關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：產(chǎn)堂

4x

（j>8）,

1x（0（x<8）

??.尸J&；

“絲（x>8）

x

（2）有效，理由如下：

把y=3代入）=*,得：x=4,

把y=3代入得：x=16,

x

716-4=12,

???這次消毒是有效的.

在跟蹤ijll練

1.（2022?西藏）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)尸◎+》與尸也（其中a6是常數(shù)，MW0）的大致圖

ax

【分析】根據(jù)〃、〃的取值，分別判斷出兩個(gè)函數(shù)圖象所過的象限，要注意分類討論.

【解答］解：若a>0,b>0,

則y=ov+力經(jīng)過一、二、三象限，反比例函數(shù)），=也（"/0）位于一、三象限，

ax

若a>0,b<0t

則y=or+力經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)數(shù)y=±-（ab^O）位于二、四象限，

ax

若a<0,b>0f

則y=ov+力經(jīng)過一、二、四象限，反比例函數(shù)），=上（HW0）位于二、四象限，

ax

若￡?<0,b<0t

則y=or+b經(jīng)過二、三、四象限，反比例函數(shù)丁=上（HWO）位于一、三象限，

ax

故選:A.

2.（2022?海南）若反比例函數(shù)），=KaW0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,?3）,則它的圖象也一定經(jīng)過的點(diǎn)是（）

x

A.（-2,-3）B.（-3,-2）C.（1,-6）D.（6,1）

【分析】將（2,-3）代入y=K（2H0）即可求出2的值，再根據(jù)％=xy解答即可.

x

【解答】解：???反比例函數(shù)y=Ka=0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,-3）,

x

：.k=2X（-3）=-6,

A、-2X（-3）=6W-6,故A不正確，不符合題意；

8、（-3）X（-2）=6K-6,故B不正確，不符合題意；

C、IX（-6）=-6,故C正確，符合題意，

D、6X1=6^-6,故。不正確