2024年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)十大類型壓軸題復(fù)習(xí)匯編

2024年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)十大類型壓軸題復(fù)習(xí)匯

編（精品）

數(shù)學(xué)綜壓軸題是為考察考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力而設(shè)計(jì)的，集中體現(xiàn)知識(shí)的綜合

性和方法的綜合性，多數(shù)為函數(shù)型綜合題和幾何型綜合題。

函數(shù)型綜合題：是給定直角坐標(biāo)系和幾何圖形，先求函數(shù)的解析式，再進(jìn)行圖形

的研究，求點(diǎn)的坐標(biāo)或研究圖形的某些性質(zhì)。求已知函數(shù)的解析式主要方法是待定系

數(shù)法，關(guān)鍵是求點(diǎn)的坐標(biāo)，而求點(diǎn)的坐標(biāo)基本方法是幾何法（圖形法）和代數(shù)法（解

析法）。

幾何型綜合題：是先給定幾何圖形，根據(jù)已知條件進(jìn)行計(jì)算，然后有動(dòng)點(diǎn)（或動(dòng)

線段）運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)產(chǎn)生線段、面積等的變化，求對(duì)應(yīng)的（未知）函數(shù)的解析式，求函

數(shù)的自變量的取值范圍，最百根據(jù)所求的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行探索研究。一般有：在什么條

件下圖形是等腰三角形、直角三角形，四邊形是平行四邊形、菱形、梯形等，或探索

兩個(gè)三角形滿足什么條件相似等，或探究線段之間的數(shù)量、位置關(guān)系等，或探索面積

之間滿足一定關(guān)系時(shí)求X的直等，或直線（圓）與圓的相切時(shí)求自變量的值等。求未

知函數(shù)解析式的關(guān)鍵是列出包含自變量和因變量之間的等量關(guān)系（即列出含有X、y的

方程），變形寫成y=f（x）的形式。找等量關(guān)系的途徑在初中主要有利用勾股定理、

平行線截得比例線段、三角形相似、面積相等方法。求函數(shù)的自變量的取值范圍主要

是尋找圖形的特殊位置（極端位置）和根據(jù)解析式求解。而最后的探索問(wèn)題千變?nèi)f化，

但少不了對(duì)圖形的分析和研究，用幾何和代數(shù)的方法求出x的值。

解中考?jí)狠S題技能：中考?jí)狠S題大多是以坐標(biāo)系為橋梁，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，通

過(guò)建立點(diǎn)與數(shù)即坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，另

一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數(shù)問(wèn)題的解答。關(guān)鍵是掌握幾種常用的數(shù)學(xué)思

想方法。

一是運(yùn)用函數(shù)與方程思想。以直線或拋物線知識(shí)為載體，列（解）方程或方程組

求其解析式、研究其性質(zhì)。

二是運(yùn)用分類討論的思想。對(duì)問(wèn)題的條件或結(jié)論的多變性進(jìn)行考察和探究。

三是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)的思想。由已知向未知，由復(fù)雜向簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換。中考?jí)狠S題

它是對(duì)考生綜合能力的一個(gè)全面考察，所涉及的知識(shí)面廣，所使用的數(shù)學(xué)思想方法也

較全面。因此，可把壓軸題分離為相對(duì)獨(dú)立而又單一的知識(shí)或方法組塊去思考和探究。

解中考?jí)狠S題技能技巧：

一是對(duì)自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況做一個(gè)完整的全面的認(rèn)識(shí)。根據(jù)自己的情況考試的時(shí)候

重心定位準(zhǔn)確，防止“撿芝麻丟西瓜二所以，在心中一定要給壓軸題或幾個(gè)“難點(diǎn)”

一個(gè)時(shí)間上的限制，如果超過(guò)你設(shè)置的上限，必須要停止，回頭認(rèn)真檢查前面的題，

盡量要保證選擇、填空萬(wàn)無(wú)一失，前面的解答題盡可能的檢查一遍。

二是解數(shù)學(xué)壓軸題做一問(wèn)是一問(wèn)。第一問(wèn)對(duì)絕大多數(shù)同學(xué)來(lái)說(shuō)，不是問(wèn)題；如果

第一小間不會(huì)解，切忌不可輕易放棄第二小問(wèn)。過(guò)程會(huì)多少寫多少，因?yàn)閿?shù)學(xué)解答題

是按步驟給分的，寫上去的東西必須要規(guī)范，字跡要工整，布局要合理；過(guò)程會(huì)寫多

少寫多少，但是不要說(shuō)廢話，計(jì)算中盡量回避非必求成分：盡量多用幾何知識(shí)，少用

代數(shù)計(jì)算，盡量用三角函數(shù)，少在直角三角形中使用相似三角形的性質(zhì)。

三是解數(shù)學(xué)壓軸題一般可以分為三個(gè)步驟。認(rèn)真審題，理解題意、探究解題思路、

正確解答。審題要全面審視題目的所有條件和答題要求，在整體上把握試題的特點(diǎn)、

結(jié)構(gòu)，以利于解題方法的選擇和解題步驟的設(shè)計(jì)。解數(shù)學(xué)壓軸題要善于總結(jié)解數(shù)學(xué)壓

軸題中所隱含的重要數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及方程的

思想等。認(rèn)識(shí)條件和結(jié)論之間的關(guān)系、圖形的幾何特征與數(shù)、式的數(shù)量、結(jié)構(gòu)特征的

關(guān)系，確定解題的思路和方法.當(dāng)思維受阻時(shí)，要及時(shí)調(diào)整思路和方法，并重新審視

題意，注意挖掘隱蔽的條件和內(nèi)在聯(lián)系，既要防止鉆牛角尖，又要防止輕易放棄。

中考?jí)狠S題是為考察考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力而設(shè)計(jì)的題目，其特點(diǎn)是知識(shí)點(diǎn)多,

覆蓋面廣，條件隱蔽，關(guān)系復(fù)雜，思路難覓，解法靈活。所以，解數(shù)學(xué)壓軸題，一要

樹立必勝的信心，要做到：數(shù)形結(jié)合記心頭，大題小作來(lái)轉(zhuǎn)化，潛在條件不能忘，化

身為靜多畫圖，分類討論要嚴(yán)密，方程函數(shù)是工具，計(jì)算推理要嚴(yán)謹(jǐn)，創(chuàng)新品質(zhì)得提

另I。

目錄

第一講中考?jí)狠S題十大類型之動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

第二講中考?jí)狠S題十大類型之函數(shù)類問(wèn)題

第三講中考?jí)狠S題十大類型之面積問(wèn)題

第四講中考?jí)狠S題十大類型之三角形存在性問(wèn)題

第五講中考?jí)狠S題十大類型之四邊形存在性問(wèn)題

第六講中考?jí)狠S題十大類型之線段之間的關(guān)系

第七講中考?jí)狠S題十大類型之定值問(wèn)題

第八講中考?jí)狠S題十大類型之幾何三大變換問(wèn)題

第九講中考?jí)狠S題十大類型之實(shí)踐操作、問(wèn)題探究

第十講中考?jí)狠S題十大類型之圓

第十一講中考?jí)狠S題綜合訓(xùn)練一

第十二講中考?jí)狠S題綜合訓(xùn)練二

第一講中考?jí)狠S題十大類型之動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.

1.（2008河北）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AB=5Qf力仁30,D,E,6分別是AC,

AB,式的中點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)沿折線止小心⑦以每秒7個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速

運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)8出發(fā)沿8A方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作射線

QKA.AB,交折線旗。于點(diǎn)G.點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)?繞行一周叵到點(diǎn)。時(shí)停

止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止.設(shè)點(diǎn)尸，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是，秒（r>0）.

（1）D,尸兩點(diǎn)間的距離是；

（2）射線QK能否把四邊形CQ）分成面積相等的兩部分？若能，求出f的值.若不

能，說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到折線即-小上，且點(diǎn)P又恰好落在射線QK上時(shí)，求/的值；

（4）連結(jié)PG,當(dāng)PG〃/18時(shí)，請(qǐng)直?接?寫出/的值.

備用圖

2.（2011山西太原）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的州是平行四邊形.直線/

經(jīng)過(guò)。、。兩點(diǎn).點(diǎn)力的坐標(biāo)為（8,0）,點(diǎn)夕的坐標(biāo)為（11,4）,動(dòng)點(diǎn)P在線段處

上從點(diǎn)。出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)力運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2

個(gè)單位的速度沿月一8一。的方向向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)尸作4V垂直于x軸，與折線O~C-B

相交于點(diǎn)機(jī)當(dāng)只0兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)只

0運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為「秒（f>0）,△/幽的面積為￡

（1）點(diǎn)。的坐標(biāo)為，直線/的解析式為.

（2）試求點(diǎn)0與點(diǎn)材相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的1的取值范圍.

（3）試求題⑵中當(dāng)「為何值時(shí)，S的值最大，并求出S的最大值.

（4）隨著￡0兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)."在線段"上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)門/的延長(zhǎng)線與直線/相

交于點(diǎn)M試探究：當(dāng)Z為何值時(shí)，△Q%V為等腰三角形？請(qǐng)直接寫出6的值.

3.（2011四川重慶）如圖，矩形/陽(yáng)9中，四=6,BC=2y[3,點(diǎn)。是力8的中點(diǎn)，點(diǎn)〃

在A8的延長(zhǎng)線上，且鰭=3.一動(dòng)點(diǎn)￡從〃點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿

辦勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)4點(diǎn)后，立即以原速度沿力。返回；另一動(dòng)點(diǎn)/從一點(diǎn)出發(fā)，以

每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線⑸勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)反/同時(shí)出發(fā)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停

止運(yùn)動(dòng).在點(diǎn)￡、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以用為邊作等邊△跖。，使△如。和矩形/比》

在射線力的同側(cè)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為方秒（[20）.

（1）當(dāng)?shù)冗叺倪叀梗デ『媒?jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間方的值；

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)等邊△￡/心和矩形/比力重疊部分的面積為S,請(qǐng)直接

寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量。的取值范圍；

（3）設(shè)￡G與矩形力比?的對(duì)角線4。的交點(diǎn)為〃，是否存在這樣的Z,使△40〃是等

腰三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的「的值；若不存在，請(qǐng)斗明理由.0

DDC.

FofP

400B至PP

備用圖1備用圖2

三、測(cè)試提高

1.(2011山東煙臺(tái))如圖，在直角坐標(biāo)系中，梯形力四的底邊相在x軸上，底

邊⑦的端點(diǎn)〃在y軸上.直線3的表達(dá)式為廣-加爭(zhēng)點(diǎn)?!、〃的坐標(biāo)分別為

(-4,0),(0,4).動(dòng)點(diǎn)2自/點(diǎn)出發(fā)，在47上勻速運(yùn)動(dòng).動(dòng)點(diǎn)。自點(diǎn)8出發(fā)，

在折線讖?上勻速運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒1個(gè)單位.當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它

們同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)￡(秒)時(shí)，△。戶。的面積為S(不能構(gòu)成△〃國(guó)的動(dòng)

點(diǎn)除外).

(1)求出點(diǎn)反。的坐標(biāo)；

(2)求S隨f變化的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)方為何值時(shí)S有最大值？并求出最大值.

Ay

備用圖

第二講中考?jí)狠S題十大類型之函數(shù)類問(wèn)題

（2011浙江溫州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-4,

0）,點(diǎn)夕的坐標(biāo)為（0,力（0>0）.〃是直線/山上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作尸CLx軸，垂足

為乙記點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為〃（點(diǎn)〃不在y軸上），連結(jié)4〃Q

設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為a.

（1）當(dāng)爐3時(shí),

①直線14的解析式；

②若點(diǎn)戶的坐標(biāo)是（-1,///）,求/〃的值；

（2）若點(diǎn)〃在第一象限，記直線/區(qū)與U。的交點(diǎn)為〃當(dāng)P'〃:屐1:3時(shí)，求d

的值;

（3）是否同時(shí)使^〃。為等

腰直角三角請(qǐng)求出所有滿

足要求的a,3的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.（2010武漢）如圖，拋物線凹="2一2批+/,經(jīng)過(guò)力（一1,0）,C（2,|）兩點(diǎn)，與x

軸交于另一點(diǎn)自

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若拋物線的頂點(diǎn)為加點(diǎn)〃為線段仍上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8重合），點(diǎn)0在線段

物上移動(dòng)，且乙冊(cè)045°,設(shè)線段。尸x,J船等為,求必與x的函數(shù)關(guān)系式，并

直接寫出自變量x的取值范圍；

（3）在同一平面直角坐標(biāo)系中，兩條直線產(chǎn)/〃，產(chǎn)〃分別與拋物線交于點(diǎn)反G,與

（2）中的函數(shù)圖象交于點(diǎn)色"問(wèn)四邊形力粉能否為平行四邊形？若能，求創(chuàng)〃

之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖

3.（20H江蘇鎮(zhèn)江）在平面直角坐標(biāo)系x分中，直線4過(guò)點(diǎn)力（1,0）且與y軸平行，直

線過(guò)點(diǎn)4（0,2）且與*軸平行，直線4與&相交于點(diǎn)R點(diǎn)少為直線4二一點(diǎn)，反比

例函數(shù)），=人6>0）的圖象過(guò)點(diǎn)方且與直線乙相交于點(diǎn)〃

x

（1）若點(diǎn)與與點(diǎn)尸重合，求A的值；

（2）連接施、OF、EF.若上2,且△。跖的面積為△陽(yáng)1的面積2倍，求點(diǎn)少的坐

標(biāo)；

（3）是否存在點(diǎn)月及y軸上的點(diǎn)也使得以點(diǎn)以E、尸為頂點(diǎn)的三角形與△時(shí)全

等？若存在，求￡點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.（2010浙江舟山）中，ZJ=ZZ^30°，力氏26.把△/回放在平面直角坐標(biāo)系

中，使月8的中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。（如圖），和可以繞點(diǎn)。作任意角度的旋轉(zhuǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)8在第一象限，縱坐標(biāo)是如時(shí)，求點(diǎn)夕的橫坐標(biāo)；

2

（2）如果拋物線），=<"+法+c（a/0）的對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，請(qǐng)你探究：

①當(dāng)〃=立，人」，八一至?xí)r，46兩點(diǎn)是否都在這條拋物線上？并說(shuō)明理由；

425

②設(shè)為—2明，是否存在這樣的/〃值，使小〃兩點(diǎn)不可能同時(shí)在這條拋物線上？若

存在，直接寫出力的值；若不存在,、,請(qǐng)說(shuō)明理由.

B

1

C

OI

5.（湖北黃岡）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示.

（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點(diǎn)"的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)N為線段8"上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)0.當(dāng)點(diǎn)N在線

段以上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)N不與點(diǎn)幾點(diǎn)必重合）,設(shè)0Q的長(zhǎng)為t,四邊形AQ1C面積為S,

求S與寸之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量方的取值范圍；

（3）在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)只使△陽(yáng)。為直角三角形？若存在，求

出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）將△小。補(bǔ)成矩形，使得△勿。的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)

頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點(diǎn)坐標(biāo)（不需要計(jì)算過(guò)

（2011山東東營(yíng)）如圖所示，四邊形力外是矩形，點(diǎn)力、。的坐標(biāo)分別為（-3,o）,

(0,1),點(diǎn)〃是線段外上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)反。不重合)，過(guò)點(diǎn)〃作直線)，=/十交

折線如夕于點(diǎn)E.

⑴記△。龍的面積為￡求S與6的函數(shù)關(guān)系式；

⑵當(dāng)點(diǎn)月在線段以上時(shí)，且tan/〃小L若矩形以回關(guān)于直線小的對(duì)稱圖形

2

為四邊形試探究四邊形QA旦G與矩形十回的重疊部分的面積是否發(fā)生變

化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第三講中考?jí)狠S題十大類型之面積問(wèn)題

(2011遼寧大連)如圖，拋物線戶c經(jīng)過(guò)力(一1,0)、8(3,0)、C(0,

3)三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)只與直線相相交于點(diǎn)機(jī)連接處.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)0,使△◎的與△冏7的面積相等，若存在，求點(diǎn)。的

坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

(3)在第一象限、對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)必使△/次獷與△發(fā)監(jiān)的面

y

p

積相等，若存在，直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

2.（2011湖北十堰）如圖，己知拋物線片V+H+C與*軸交于點(diǎn)/（1,0）和點(diǎn)B,

與y軸交于點(diǎn)。（0,-3）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖（1）,己知點(diǎn)〃（0,T）.問(wèn)在拋物線上是否存在點(diǎn)G（點(diǎn)G在y軸的

左側(cè)），使得△刖？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由：

（3）如圖（2）,拋物線上點(diǎn)〃在x軸上的正投影為點(diǎn)￡（-2,0）,尸是”的中點(diǎn),

連接。EP為線段做上的一點(diǎn),若/EP六/BDF,求線段形的長(zhǎng).

一\\L

BV\IEoA二

3.（2010天津）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線），=-/+法

+c與x軸交于點(diǎn)4、B（點(diǎn)A在點(diǎn)5的左側(cè)），與），軸的正半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為從

（1）若6=2,c=3,求此時(shí)拋物線頂點(diǎn)￡的坐標(biāo)；

（H）將（I）中的拋物線向下平移，若平移后，在四邊形力跳右中滿足S

△夠二SfBC，求此時(shí)直線歌的解析式；

（III）將（I）中的拋物線作適當(dāng)?shù)钠揭?，若平移后，在四邊?中滿足S卡2s

△他，且頂點(diǎn)E恰好落在直線》=-4?3上，求此時(shí)拋物線的解析式.

4.(2011山東聊城)如圖，在矩形⑦中，H8=12cm,BC=8cm,點(diǎn)、E、F、G分別從點(diǎn)

A.B、。同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)，點(diǎn)區(qū)G的速度均為2cm/s,點(diǎn)

廠的速度為4cm/s,當(dāng)點(diǎn)/追上點(diǎn)G(即點(diǎn)/與點(diǎn)G重合)時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng).設(shè)

移動(dòng)開始后第笈時(shí)，的面積為余iR

(1)當(dāng)方=ls時(shí)\S的值是多少？

(2)寫出S與1之間的函數(shù)解析式，并指出自變量1的取值范圍：

⑶若點(diǎn)尸在矩形的邊龍上移動(dòng)，當(dāng)［為何值時(shí)，以點(diǎn)從E、尸為頂點(diǎn)的三角形與

以C、F、G為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(2011江蘇淮安)如圖，在中，Z6^90°,力仁8,B小6,點(diǎn)P在AB上,A六2,

點(diǎn)區(qū)尸同時(shí)從點(diǎn)尸出發(fā)，分別沿為、處以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)力、B勻

速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)夕到達(dá)點(diǎn)力后立刻以原速度沿四向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)6運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)夕時(shí)停止，

點(diǎn)少也隨之停止.在點(diǎn)從夕運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以即為邊作正方形砒洱,使它與△相。

在線段4?的同側(cè).設(shè)昆方運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1秒(r>0),正方形EFGH與4ABe重疊

部分面積為S.

(1)當(dāng)G時(shí)，正方形￡/右〃的邊長(zhǎng)是.當(dāng)片3時(shí)，正方形〃的邊長(zhǎng)是.

(2)當(dāng)0VZW2時(shí)，求S與￡的函數(shù)關(guān)系式；

(3)直接答出：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)力為何值時(shí)，S最大？最大面積是多少？

AEPFB

c

G

AEPFB

備用圖

三、測(cè)試提高

1.(2010山東東營(yíng))如圖，在銳角三角形力仇?中，冊(cè)12,仇?的面積為48,〃，E

分別是邊力其力。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(〃不與凡”重合)，且保持龐〃應(yīng)；以以為邊，

在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形DEFG.

(1)當(dāng)正方形分尸G的邊6F在歐上時(shí)，求正方形〃￡7&的邊長(zhǎng)；

(2)設(shè)施二x,△28。與正方形比FG重疊部分的面積為外試求y關(guān)于x的函數(shù)

關(guān)系式，寫出x的取值范圍，并求出y的最大值.

第四講中考?jí)狠S題十大類型之

三角形存在性問(wèn)題

板塊一、等腰三角形存在性

1.（2011江蘇鹽城）如圖，己知一次函數(shù)），=:十7與正比例函數(shù)），='的圖象交于點(diǎn)

4

4且與x軸交于點(diǎn)自

（1）求點(diǎn)力和點(diǎn)8的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)力作力入y軸于點(diǎn)G過(guò)點(diǎn)8作直線/〃y軸.動(dòng)點(diǎn)〃從點(diǎn)0出發(fā)，以每

秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿"?力的路線向點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線/從點(diǎn)一出發(fā)，以

相同速度向左平移，在平移過(guò)程中，直線/交一軸于點(diǎn)兄交線段以或線段力。于

點(diǎn)。.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)力時(shí)，點(diǎn)尸和直線/都停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為Z秒.是否存在以4A。為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，

求「的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（備用圖）

2.（2009湖北黃岡）如圖，在平面直角坐標(biāo)系矛?中，拋物線產(chǎn)與x軸

的交點(diǎn)為點(diǎn)力，與p軸的交點(diǎn)為點(diǎn)8,過(guò)點(diǎn)方作片軸的平行線與。，交拋物線于點(diǎn)C,

連結(jié)力C.現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)只0分別從。，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度

沿以向終點(diǎn)力移動(dòng)，點(diǎn)。以每秒1個(gè)單位的速度沿以向點(diǎn)片移動(dòng)，點(diǎn)〃停止運(yùn)動(dòng)

時(shí)，點(diǎn)。也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，線段%,u。相交于點(diǎn)〃，過(guò)點(diǎn)〃作/應(yīng)〃以，交。于點(diǎn)

E,射線0公交x軸于點(diǎn)￡設(shè)動(dòng)點(diǎn)R。移動(dòng)的時(shí)間為六單位：秒）

⑴求4B,。三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形血勿為平行四邊形？請(qǐng)寫出計(jì)算過(guò)程；

⑶當(dāng)0</<2時(shí)<△/於的面積是否總為定值？若是，求出此定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明

2

理由；

⑷當(dāng)方為何值時(shí)，△，沙為等腰三角形？請(qǐng)寫出解答過(guò)程.

板塊二、百角二角形

3.（2009四川眉山）如圖，已知直線y=gx+l與），軸交于點(diǎn)4與x軸交于點(diǎn)〃，拋物

線y=gf+笈+c與直線交于/、￡兩點(diǎn)，與x軸交于反。兩點(diǎn)，且夕點(diǎn)坐標(biāo)為（1,

0）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）動(dòng)點(diǎn)〃在x軸上移動(dòng)，當(dāng)△必“是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)，的坐標(biāo).

4.(2010廣東中山)如圖所示，矩形⑶的邊長(zhǎng)/斤6,除4,點(diǎn)b在加上，上2.動(dòng)

點(diǎn)"、"分別從點(diǎn)〃、5同時(shí)出發(fā)，沿射線為、線段胡向點(diǎn)力的方向運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)，"可

運(yùn)動(dòng)到%的延長(zhǎng)線上)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)力時(shí)?，欣N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).連接

FM、FN,當(dāng)尺M(jìn)」獷不在同一直線上時(shí)，可得△月價(jià)；過(guò)『三邊的中點(diǎn)作△見(jiàn)口設(shè)

動(dòng)點(diǎn)KN的速度都是1個(gè)單位/杪，雙”運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒.試解答下列問(wèn)題：

(1)說(shuō)明

(2)設(shè)0W4(即材從〃到力運(yùn)動(dòng)的時(shí)間段).試問(wèn)x為何值時(shí)，△尸檢為直角三

角形？當(dāng)x在何范圍時(shí)，△戶0『不為直角三角形？

(3)問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí),線段批最短?求此時(shí)脈的值.

板塊三、相似三角形存在性

5.（2011湖北天門）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線），=奴?+法

+3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為4（-3,0）、B（1,0）,過(guò)頂點(diǎn)。作"Lx軸于點(diǎn)//.

（1）直接填寫：4，b=,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為；

（2）在），軸上是否存在點(diǎn)〃，使得△力切是以力。為斜邊的直角三角形？若存在，求

出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸與頂點(diǎn)。不重合），于點(diǎn)Q,

當(dāng)△/T0與△力）相似時(shí)，求點(diǎn)〃的坐標(biāo).

（備用圖）

三、測(cè)試提高

1.（2009廣西欽州）如圖，已知拋物線），=3/十歷十,與坐標(biāo)軸交于爾B、C三點(diǎn)，A

4

點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,0）,過(guò)點(diǎn)。的直線），3與x軸交于點(diǎn)0,點(diǎn)夕是線段%上

4f

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PH1OB于點(diǎn)、H.若PB=5t,且

（1）填空：點(diǎn)。的坐標(biāo)是，b=,。=；

（2）求線段。〃的長(zhǎng)（用含方的式子表示）；

（3）依點(diǎn)戶的變化，是否存在C的值，使以鼻〃、。為頂點(diǎn)的三角形與△口。相似？

若存在，求出所有「的值；若不存在，說(shuō)明理由.

第五講中考?jí)狠S題十大類型之

四邊形存在性問(wèn)題

1.（2009黑龍江齊齊哈爾）直線y=-3x+6與坐標(biāo)軸分別交于力、8兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)只Q

4

同時(shí)從。點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)/I點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止.點(diǎn)。沿線段如運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1

個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)，沿路線運(yùn)動(dòng).

(1)直接寫出/、〃兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)設(shè)點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為￡秒，△"V的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)5=翌時(shí)、求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)。、只0為頂點(diǎn)的平行四邊形

5

的第四個(gè)頂點(diǎn),"的坐標(biāo).

2.(2010河南)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)4(-4,0),8(0,-4),。(2,0)三

占

八、、?

(1)求拋物線的解析式：

(2)若點(diǎn)必為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為明,協(xié)的面積為S.求

S關(guān)于/〃的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.

(3)若點(diǎn)尸是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能夠

使得點(diǎn)只0、B、。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)。的坐標(biāo).

M

3.（2011黑龍江雞西）已知直線），=Gx+46與x軸、y軸分別交于東夕兩點(diǎn)，

/力除60°,%與x軸交于點(diǎn)U

（1）試確定直線式、的解析式；

（2）若動(dòng)點(diǎn)，從/點(diǎn)出發(fā)沿力。向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)（不與力、。重合），同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從。點(diǎn)

出發(fā)沿M向點(diǎn)力運(yùn)動(dòng)（不與C、力重合），動(dòng)點(diǎn)戶的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，

動(dòng)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度.設(shè)的面積為S,尸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為力

秒，求S與方的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)△力國(guó)的面積最大時(shí)，y軸上有一點(diǎn)肌平面內(nèi)是否存在

一點(diǎn)M使以4Q、欣川為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出1點(diǎn)的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7

4.(2007河南)如圖，對(duì)稱軸為直線x=5的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6,0)和B(0,4).

(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)夕(x,y)是效物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形困〃足以勿

為對(duì)角線的平行四邊形，求四邊形隔尸的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出

自變量x的取值范圍；

(3)①當(dāng)四邊形?？谙Φ拿娣e為24時(shí)，，請(qǐng)判斷四/是否為菱形？

②是否存在點(diǎn)區(qū)使四邊形陽(yáng)修為正方形？若存在，求出點(diǎn)￡的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

y

5.(2010黑龍江大興安嶺)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù))'=2x+i2的圖象分別交

x軸、y軸于A、B兩點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A的直線交y軸正半軸于點(diǎn)M,且點(diǎn)M為線段0B的中

/占、、、?

(1)求直線4"的解析式；

(2)試在直線4V上找一點(diǎn)尸，使得叢叱=叢」如，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)〃為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)"使以人

B、M、〃為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

三、測(cè)試提高

1.(2009遼寧撫順)已知：如圖所示，關(guān)于x的拋物線

產(chǎn)小+x+c?力0)與x軸交于點(diǎn)/(-2,0)、點(diǎn)8(6,0),與y軸交于點(diǎn)C

(1)求出此拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)在拋物線上有一點(diǎn)〃，使四邊形相〃C為等腰梯形，寫出點(diǎn)〃的治標(biāo)，并求出

直線力〃的解析式；

(3)在(2)中的直線助交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)機(jī)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)Rx軸上

有一動(dòng)點(diǎn)Q.是否存在以小秋P、。為頂點(diǎn)的平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫

出點(diǎn)。的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第六講中考?jí)狠S題十大類型之

線段之間的關(guān)系

（2010天津）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OAC8的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)/I、B

分別在x軸、），軸的正半地上，Q4=3,08=4,〃為邊陽(yáng)的中點(diǎn).

（I）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CQE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

溫馨提示：如圖，可以作點(diǎn)。關(guān)于X軸

的對(duì)稱點(diǎn)連接8'與X軸交于點(diǎn)E,

此時(shí)△CDE的周長(zhǎng)是最小的.這樣，你只需

求出的長(zhǎng)，就可以確定點(diǎn)E的坐標(biāo)了.

y

B

（II）若七、尸為邊Q4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且"=2,當(dāng)四邊形CD環(huán)的周長(zhǎng)最小時(shí)，

求點(diǎn)E、b的坐標(biāo).

2.（2011四川廣安）四邊形力四是直角梯形，BC//AD,

ZBAD=9Q°,9與y軸相交于點(diǎn)機(jī)且"是比的中點(diǎn)，力、B、〃三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

力（-1,0）,>7（-1,2）,〃（3,0）.連接〃隊(duì)并把線段〃獷沿以方向平移到〃M若

拋物線）=加+法+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)〃、欣M

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點(diǎn)R使得若存在，求出點(diǎn)戶的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為2點(diǎn)0是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

點(diǎn)0在什么位置時(shí)有最大？并求出最大值.

3.（2011四川眉山）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/（0,1）,方（T,4）,將點(diǎn)夕繞

點(diǎn)/順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到點(diǎn)G頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)R設(shè)點(diǎn)尸到x軸的距離為4,點(diǎn)Q到點(diǎn)力的距離為試

說(shuō)明W=4+1；

（3）在⑵的條件下，請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)點(diǎn)〃位于何處時(shí)，△處。的周長(zhǎng)有最小值，并求出△

陽(yáng)。的周長(zhǎng)的最小值.

4.（2011福建福州）已知，如圖,二次函數(shù)y=a/+2ov-3am00）圖象的頂點(diǎn)為〃，與

X釉交于/、夕兩點(diǎn)（8在/點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)從8關(guān)于直線=對(duì)稱.

（1）求力、〃兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn)力在直線/上；

（2）求二次函數(shù)解析式；

（3）過(guò)點(diǎn)8作直線以〃/〃交直線/于4點(diǎn)，機(jī)N分別為直線/1〃和直線/上的兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn),連接HN、NM、MK,求〃牝W/U必和的最小值.

5.(2009湖南郴州)如圖L已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)"(一2,

-1),且P(—1,—2)為雙曲線上的一點(diǎn)，0為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，為垂直于x

軸，垂直于y軸，垂足分別是4B.

(1)寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；

(2)當(dāng)點(diǎn)0在直線加上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線加上是否存在這樣的點(diǎn)0,使得△。掰與△以〃

面積相等？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以利、。。為鄰邊的平行四

圖1圖2

6.（2010江蘇蘇州）如圖，以A為頂點(diǎn)的拋物線與），軸交于點(diǎn)夕.已知力、〃兩點(diǎn)的坐

標(biāo)分別為（3,0）.（0,4）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)例（加小是拋物線上的一點(diǎn)（加、〃為正整數(shù)），且它位于對(duì)稱軸的右側(cè).若

以〃、B、O、A為頂點(diǎn)的四邊形四條邊的長(zhǎng)度是四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，試問(wèn)：對(duì)于拋物線對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)2,必2+。笈+加2>28

是否總成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

三、測(cè)試提高

1.（2009浙江舟山）如圖，已知點(diǎn)力（-4,8）和點(diǎn)8（2,〃）在拋物線），=加上.

（1）求a的值及點(diǎn)〃關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)〃的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)0,使得力仆Q4

最短，求出點(diǎn)0的坐標(biāo)；

(2)平移拋物線)，-辦2,記平移后點(diǎn)力的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為"，點(diǎn)〃的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為ZT,點(diǎn)

C(-2,0)和點(diǎn)〃(-4,0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn).

①當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí),"aCB'最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式;

②當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形/B9切的周長(zhǎng)最

短？若存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第七講中考?jí)狠S題十大類型之定值問(wèn)題

1.（2011天津）己知拋物線G；），［=3"2-X十1,點(diǎn)尸（1,1）.

（I）求拋物線G的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（H）①若拋物線G與y軸的交點(diǎn)為力，連接力兄并延長(zhǎng)交拋物線G于點(diǎn)〃，求證:

11c

--+---=2;

AFBF

②拋物線G上任意一點(diǎn)〃（/，?）（0<xp<i）,連接用并延長(zhǎng)交拋物線G

于點(diǎn)。（與，為），試判斷工+±=2是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

PFQF

cm）將拋物線&作適當(dāng)?shù)钠揭?，得拋物線a：

2

y2=^（x-//）,若時(shí)，），24x恒成立，求力的最大值.

2.（2009湖南株洲）如圖，已知△/1/%為直角三角形，Z4CB=90°,AC=8C,點(diǎn)A、

。在x軸上，點(diǎn)3坐標(biāo)為（3,m）（加>0）,線段A3與y軸相交于點(diǎn)。，以P（1,0）

為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)8、D.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)（用用表示）;

（2）求拋物線的解析式：

（3）設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)尸至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PQ并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)連

結(jié)3Q并延長(zhǎng)交4c于點(diǎn)F，試證明：R7（AC+EC）為定值.

3.(2008山東濟(jì)南)已知：拋物線廣加+bx+c(aW0),頂點(diǎn)。(1,-3),與x軸交于

48兩點(diǎn)，A(-1,O).

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)如圖，以4?為直徑作圓，與拋物線交于點(diǎn)D與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)區(qū)依次連

接小D、B、￡,點(diǎn)P為線段位?上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(〃與/、夕兩點(diǎn)不重合)，過(guò)點(diǎn)夕作加J_/￡

于機(jī)PN1DB于N,請(qǐng)判斷也+型是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)

BEAD

明理由；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)S是線段露上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)S作尸鰭，分別與

邊力尺在相交于點(diǎn)尺G"與兒夕不重合，G與E、〃不重合)，請(qǐng)判斷2=竺是

?PBEG

否成立.若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.（2011湖南株洲）孔明是?個(gè)喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們?起研究某條拋

物線），=?（〃<0）的性質(zhì)時(shí).，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原

點(diǎn).0,兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：

（1）若測(cè)得OA=O3=2后（如圖1）,求。的值；

（2）對(duì)同一條拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置時(shí)，過(guò)B作“_Lx

軸于點(diǎn)尸，測(cè)得。尸=1,寫出此時(shí)點(diǎn)8的坐標(biāo)，并求點(diǎn)A的橫?坐?標(biāo)?；

（3）對(duì)該拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點(diǎn)A、3的

連線段總經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)，試說(shuō)明理由并求出該點(diǎn)的坐標(biāo).

5.（2009湖北武漢）如圖,拋物線），=?+法-4〃經(jīng)過(guò)A.L0）、C（0,4）兩點(diǎn),與x軸交

于另一點(diǎn)B.

（1）求拋物線的解析式：

（2）已知點(diǎn)。（皿〃?+1）在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)〃關(guān)于直線回對(duì)稱的點(diǎn)的坐

標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，連接協(xié)，點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，且NZW>=45。，求點(diǎn)〃的

坐標(biāo).

三、測(cè)試提高

1.(2009湖南湘西)在直角坐標(biāo)系x%中，拋物線)，=/+以+c

與x軸交于兩點(diǎn)從反與y軸交于點(diǎn)C,其中力在8的左側(cè)，8的坐標(biāo)是(3,0).將

直線)，二履沿y軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C.

(1)求〃的值；

(2)求直線比和拋物線的解析式；

(3)求的面積：

(4)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為〃，點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上，且

/APD-/ACB,求點(diǎn)〃的坐標(biāo).

4

3

2

-4-3-2-11234-v

-1

-2

-3

-4

第八講中考?jí)狠S題十大類型之

幾何三大變換問(wèn)題

1.（2009山西太原）問(wèn)題解決：如圖（1）,將正方形紙片A3CO折疊，使點(diǎn)B落在8

邊上一點(diǎn)E（不與點(diǎn)C,Q重合），壓平后得到折痕A/N.當(dāng)。=」時(shí)，求4”的值.

CD2BN

方法指導(dǎo)：

為了求得處的值,可先求BN、AM的長(zhǎng)，不妨設(shè)：AB=2

類比歸納：在圖（1）中，若里=則理的值等于；

CDBN-------

若學(xué)』則—的值于__________;若烏=!（〃

BNCDn

為整數(shù)），則4”的值于.（用含〃的式

BN

子表示）

聯(lián)系拓廣：如圖（2）,將矩形紙片A3CQ折疊，使點(diǎn)3落在CZ）邊上一點(diǎn)E（不與點(diǎn)

CE1

C,加重合），壓平后得到折痕MN,設(shè)—=

BC）CDn

貝嚼的值等于含"?，〃的式子表示）

2.（2011陜西）如圖①，在矩形力靦中，將矩形折疊，使夕落在邊力〃（含端點(diǎn)）上,

落點(diǎn)記為￡,這時(shí)折痕與邊隙或邊切（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)凡然后再展開鋪平，則以

B、E、/為頂點(diǎn)的△〃跖稱為矩形力版的“折痕三角形”.

（1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCD的任意一個(gè)“折痕△斯’是一個(gè)

________三角形；

（2）如圖②，在矩形力及力中，A即2,叱4.當(dāng)它的“折痕△麻尸’的頂點(diǎn)/位于

邊力〃的中點(diǎn)時(shí)，畫出這個(gè)“折痕△弼'，并求出點(diǎn)6的坐標(biāo)；

（3）如圖③，在矩形ABCD中,力廬2,除4,該矩形是否存在面積最大的“折痕

△BEF9'2若存在，說(shuō)明理由，并求出此時(shí)點(diǎn)￡的坐標(biāo)；若不存在，為什么？

圖①

3.（2010江西南昌）課題：兩個(gè)重疊的正多邊形，其中的一個(gè)繞某一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形

成的有關(guān)問(wèn)題.

實(shí)驗(yàn)與論證

設(shè)旋轉(zhuǎn)角N448=。。VN444）,%，％,°3,夕“展，娛所表示的角如

（2）圖1一圖4中,連接4〃時(shí)，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線

4〃垂直且被它平分的線段？若存在，請(qǐng)選擇其中的一個(gè)圖給出證明；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由；歸納與猜想

設(shè)正〃邊形444…4H與正〃邊形AoBB…重合（其中,4與5重合）,現(xiàn)將正n

邊形4區(qū)民…嬴繞頂點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。（0。＜白（空）.

n

（3）設(shè)明與上述“夕3,%，…”的意義一樣，請(qǐng)直接寫出明的度數(shù)；

（4）試猜想在〃邊形且不添加其他輔助線的情形下，是否存在與直線4〃垂直且被

它平分的線段？若存在，請(qǐng)將這條線段用相應(yīng)的頂點(diǎn)字母表示出來(lái)（不要求證明）；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.（2009山東德州）已知正方形力8⑦中，￡為對(duì)角線劭上一點(diǎn)，過(guò)￡點(diǎn)作比1劭

交〃C于凡連接〃RG為以中點(diǎn)，連接面，CG.

（1）求證：E"G,,

（2）將圖①中△*繞8點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，如圖②所示，取原中點(diǎn)G,連接a7,

夕.問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

（3）將圖①中△⑸如繞￡點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）

中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）

圖①圖②圖③

5.（2010江蘇蘇州）劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動(dòng)中，用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形，見(jiàn)

圖①、②.圖①中，=90°,ZA=3O°,8C=6cm；圖②中，ZD=90°,ZE=45°,

力匹=4cm.圖③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將△力E尸的直角邊與△/%的斜邊

力。重合在一起，并將△。瓦'沿力。方向移動(dòng).在移動(dòng)過(guò)程中，〃、夕兩點(diǎn)始終在NC

邊上（移動(dòng)開始時(shí)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合）.

（1）在△。歷沿力。方向移動(dòng)的過(guò)程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：R。兩點(diǎn)間的距離逐漸

.（填“不變”、“變大”或“變小”）

（2）劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步地研究，編制了如下問(wèn)題：

問(wèn)題①：當(dāng)△。所移動(dòng)至什么位置，即A力的長(zhǎng)為多少時(shí)，RC的連線與平行？

問(wèn)題②：當(dāng)△3EF移動(dòng)至什么位置，即AO的長(zhǎng)為多少時(shí)，以線段A。、小、的長(zhǎng)

度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形？

問(wèn)題③：在△。所的移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得NFCO=15。?如果存在，

求出的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

請(qǐng)你分別完成上述三個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程.

(圖②)

三、測(cè)試提高

1.(2009湖南常德)如圖1,若△位和△血力為等邊三角形，亂4分別以，⑦的中

點(diǎn)，易證：CD二BE,△4,哪是等邊三角形.

(1)當(dāng)把△被繞力點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，①二班'是否仍然成立？若成立請(qǐng)證明，

若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)△3'繞/I點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，△/施V是否還是等邊三角形？若是，請(qǐng)

給出證明，并求出當(dāng)力廬24〃時(shí)，△/M與及帆的面積之比：若不是，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

圖2第九講中考?jí)狠S題十大類型之

實(shí)踐操作、問(wèn)題探究

1.(2009陜西)問(wèn)題探究

(1)請(qǐng)?jiān)趫D①的正方形AACO內(nèi)，畫出使N/陽(yáng)力0。的一?個(gè)?點(diǎn)P,并說(shuō)明理由.

(2)請(qǐng)?jiān)趫D②的正方形A8C。內(nèi)(含邊)，畫出使N4處與0°的所?有?的點(diǎn)P，并說(shuō)

明理由.

問(wèn)題解決

(3)如圖③，現(xiàn)在一塊矩形鋼板ABC。，AB=4,除3.工人師傅想用它裁出兩塊

全等的、面積最大的△川叨和4

CP1〃鋼板，且/APF/CP'介60°,請(qǐng)你在圖③中畫出符合要求的點(diǎn)尸和尸'，

并求出aAPB的面積（結(jié)果保留根號(hào)）.

11r?I1r

J1_①_1LJ②LJ_③_L

2.（2011江西）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：

誼NBAeo（00<^<90°）.現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線力以力。之間，并使小棒兩

端分別落在兩射線上.

活動(dòng)一：

如圖甲所示，從點(diǎn)4開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點(diǎn)處互相垂直，

A4為第1根小棒.

圖甲

數(shù)學(xué)思考：

（1）小棒能無(wú)限擺下去嗎？答：.（填“能”或“不能”）

（2）設(shè)4Al二A&二4&二1.

①。二______度；

②若記小棒的長(zhǎng)度為4(〃為正整數(shù)，如44=%，4&=%，),求出

此時(shí)的,%的值，并直接寫出/(用含〃的式子表示).

活動(dòng)二：

如圖乙所示，從點(diǎn)A開始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中為第1根小棒，

且4A2二AA.

數(shù)學(xué)思考：

(1)若已經(jīng)向右擺放了3根小棒，則4二，0=,%=；(用含

八82

e的式子表示)

(2)若只能擺放4根小棒，"本飛么____

,?AA，A,C

圖乙

求。的范圍.

3.(2009浙江義烏)已知點(diǎn)4、3分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。、〃是某個(gè)函數(shù)圖

象上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形45⑦(力、B、a〃各點(diǎn)依次排列)為正方形時(shí)，稱這個(gè)正方

形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形.例如：如圖，正方形48徵是一次函數(shù))，=犬+1圖象

的其中一個(gè)伴侶正方形.

(1)若某函數(shù)是一次函數(shù))，=x+l,求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長(zhǎng)；

(2)若某函數(shù)是反比例函數(shù)y=》Z>0),它的圖象的伴侶正方形為力比〃點(diǎn)〃(2,

x

而(m<2)在反比例函數(shù)圖象上，求力的值及反比例函數(shù)解析式；

(3)若某函數(shù)是二次函數(shù)y二小+以〃，。)，它的圖象的伴侶正方形為/a〃aD

中的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4).寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，

寫出符合題意的其中一條拋物線解析式，并判斷你寫出的拋物線的伴侶正

方形的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？.(本小題只需直接寫出答案)

4..................1（3,4）

2

1

-2D_1~~2~3^x

4.（2011江蘇南京）

問(wèn)題情境

已知矩形的面積為a（d為常數(shù)，a>0）,當(dāng)該矩形的長(zhǎng)為多少時(shí)，它的周長(zhǎng)最小？

最小值是多少？

數(shù)學(xué)模型

設(shè)該矩形的長(zhǎng)為筋周長(zhǎng)為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為），=21+%>0）.

探索研究

⑴我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，先