2024年上海高考數(shù)學(xué)復(fù)習全程規(guī)劃考點7函數(shù)與數(shù)學(xué)模型（2種題型）含詳解

考點07函數(shù)與數(shù)學(xué)模型（2種題型）

【課程安排細目表】

一、真題搶先刷，考向提前知

二、考點清單

三、題型方法

四.刷?？?/p>

但一、真題搶先刷，考向提前知

一.填空題（共1小題）

a^x-lx<0

1.（2022?上海）若函數(shù)/（x）=1x+ax>0,為奇函數(shù)，求參數(shù)。的值為.

0x=0

二.解答題（共6小題）

2.（2023?上海）為了節(jié)能環(huán)保、節(jié)約材料，定義建筑物的“體形系數(shù)"S=，，其中凡為建筑物暴露在空氣中的

V0

面模（單位：平方米），%為建筑物的體積（單位：立方米）.

（1）若有一個圓柱體建筑的底面三徑為R，高度為〃，暴露在空氣中的部分為上底面和側(cè)面，試求該建筑體的

“體形系數(shù)”S；（結(jié)果用含R、”的代數(shù)式表示）

T2

（2）定義建筑物的“形狀因子”為尸上一，其中A為建筑物底面面積，L為建筑物底面周長，又定義7為總建

A

筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）.設(shè)〃為某宿舍樓的層數(shù)，層高為3米，

則可以推導(dǎo)出該宿舍樓的“體形系數(shù)”為s=J率+卷.當/=18,rnioooo時，試求當該宿舍樓的層數(shù)〃為

多少時，“體形系數(shù)”5最小.

3.（2021?上海）已知一企業(yè)今年第一季度的營業(yè)額為1.1億元，往后每個季度增加0.05億元，第一季度的利潤為

0.16億元，往后每一季度比前一季度增長4%.

（1）求今年起的前20個季度的總營業(yè)額；

（2）請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%?

4.(2020?上海)在研究某市交通情況時，道路密度是指該路段上一定時間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以時間，車輛密度是該

路段一定

時間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以該路段的長度，現(xiàn)定義交通流量為%為道路密度，g為車輛密度，交通流量v=

80.

f(x)=t100-135*(y)x,0<x<40

-k(x-40)+85,40《x480

(I：1若交通流量6>95,求道路密度x的取值范圍；

(2)已知道路密度x=8O時，測得交通流量v=50,求車輛密度9的最大值.

5.(2018?上海)某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.某地上班族S中

的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示：當S中x%(OVxVIOO)的成員自駕時，自駕群體的人均通勒時間

為

'30,0<x<30

fQ)=\1800“/(單位：分鐘)，而公交群體的人均通勤時間不受工影響，恒為40分

2x4匕-90，30<<100

xx

鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：

(1)當X在什么范圍內(nèi)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？

（2）求該地上班族S的人均通勤時間g（x）的表達式；討論g（x）的單調(diào)性，并說明其實際意義.

6.（2020?上海）有一條長為120米的步行道CM,A是垃圾投放點5,若以。為原點，為x軸正半軸建立直角

坐標系，設(shè)點8G,0）,現(xiàn)要建設(shè)另一座垃圾投放點32。，0）,函數(shù)/（x）表示與3點距離最近的垃圾投放點

的距離.

（1）若1=60,求啟（10）、Ro（SO）、%o（95）的值，并寫出啟（x）的函數(shù)解析式：

（2）若可以通過力（x）與坐標軸圍成的面積來測算扔垃圾的便利程度，面積越小越便利.問：垃圾投放點32建

在何處才能比建在中點時更加便利？

7.（2019?上海）改革開放40年，我國衛(wèi)生事業(yè)取得巨大成就，衛(wèi)生總費用增長了數(shù)十倍.衛(wèi)生總費用包括個人現(xiàn)

在支出、社會支出、政府支出，如表為2012年-2015年我國衛(wèi)生費用中個人現(xiàn)金支出、社會支出和政府支出的

費用（單位；億元）和在衛(wèi)生總費用中的占比.

年份衛(wèi)生總費個人現(xiàn)金衛(wèi)生支出社會衛(wèi)生支出政府衛(wèi)生支出

用（億絕對數(shù)（億占衛(wèi)生總費用絕對數(shù)（億占衛(wèi)生總費用絕對數(shù)（億占衛(wèi)生總費用

元）元）比重（%）元）比重（%）元）比重（%）

201228119.009656.3234.3410030.7035.678431.9829.99

201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14

201435312.4011295.4131.9913437.7538.0510579.2329.96

201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45

(數(shù)據(jù)來源于國家統(tǒng)計年鑒)

(1〕指出2012年到2015年之間我國衛(wèi)生總費用中個人現(xiàn)金支出占比和社會支出占比的變化趨勢：

(2)設(shè)，=1表示1978年，第〃年衛(wèi)生總費用與年份/之間擬合函數(shù)/(f)=3會痣？咤/研究函數(shù)/(/)

]?巳6.4421)-。all3ut

的單調(diào)性，并預(yù)測我國衛(wèi)生總費用首次超過12萬億的年份.

Q二、考點清單

一.函數(shù)最值的應(yīng)用

函數(shù)的最值顧名思義就是指函數(shù)在某段區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值.在口常生活中我們常常會遇到如何使成本最

低，如何用料最少，如何占地最小等等的問題，這里面就可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.另外，最值可分為最大值

和最小值.

這種題的關(guān)鍵是把現(xiàn)實的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的問題，具體的說是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，這里面需要同學(xué)們要具

有轉(zhuǎn)化思維，具有一定的建模能力，在很多高考題中也常常以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視.這里我們以具

體的例題來講解.

例：城關(guān)中學(xué)要建造一個長方形游泳池，其容積為480（）立方米，深為3米，如果建造池底的單價是建造池壁單價

的1.5倍，怎樣設(shè)計水池才能使總造價最低？設(shè)池壁造價為每平方米，〃元，則最低造價為多少？

解：設(shè)水池底面的長為x米，寬為4800+3X米，總造價為卜則

乂4800szi「……4800、,1600.

y=xX——X1.5m+3X2（x-t-r—）如一2400〃?+6（XH------）（6分）

3x3xx

求導(dǎo)可得，=6m（l-^）

X

令y'=6m（l羋2）=0,可得K=40…（11分）

X

，函數(shù)在（0,40）上單調(diào)遞增，在（40,+8）上單調(diào)遞減

???當池底長為40米,寬為池米時，總造價最低為2880加元.

這是工程上一個很常見的成本最低的句題，也很有代表性，在這個立體當中，我們要做的第一步是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，

把求成本最低的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，這個題在構(gòu)建模型的時候最關(guān)鍵的是要找到造價與底面長的美系，從

而又把造價問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于底面長的一個函數(shù)，這也是我們常用的方法.第二步構(gòu)建函數(shù)，然后運用數(shù)學(xué)方法求解，

這個是重點，求解的一般方法為基本不等式和求導(dǎo)判定單調(diào)性.

【高考預(yù)測】

應(yīng)用題緊貼實際，很能體現(xiàn)學(xué)以致用，是出題老師很喜歡的一種題型，解答這種題需要考生先苦練基本功，會求一

般函數(shù)的最值；然后也具備基本的建模能力，在文字當中找到它們的內(nèi)在邏輯關(guān)系，最后以函數(shù)的形式表達出來.

二.分段函數(shù)的應(yīng)用

分段函數(shù)顧名思義指的是一個函數(shù)在不同的定義域內(nèi)的函數(shù)表達式不一樣，有些甚至不是連續(xù)的.這個在現(xiàn)實

當中是很常見的，比如說水的階梯價，購物的時候買的商品的量不同，商品的單價也不同等等，這里面都涉及到分

段函數(shù).

【具體應(yīng)用】

正如前面多言，分段函數(shù)與我們的實際聯(lián)系比較緊密，那么在高考題中也時常會以應(yīng)用題的形式出現(xiàn).下面我們通

過例題來分析一下分段函數(shù)的解法.

例：市玫府為招商引資，決定對外資企業(yè)第一年產(chǎn)品免稅.某外資廠該年A型產(chǎn)品出廠價為每件60元，年銷售量

為11.8萬件.第二年，當?shù)卣_始對該商品征收稅率為〃％（OV/Y10（）,即銷售100元要征收p元）的稅收，于

是該產(chǎn)品的出廠價上升為每件需七元，預(yù)計年銷售量將減少p萬件.

（I）將第二年政府對該商品征收的稅收y（萬元）表示成〃的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；

（II）要使第二年該廠的稅收不少于16萬元，則稅率〃％的范圍是多少？

（III）在第二年該廠的稅收不少于16萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則〃應(yīng)為多少？

解：（I）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8-〃）萬件，

年銷售收入為幽匕（11.8-p）萬元，

100-p

政府對該商品征收的稅收），=黑半〃%（萬元）

故所求函數(shù)為丁=就一（11.8-p）p

由及p>0得定義域為0<〃VU.8…（4分）

（//）由>216得_8°一（11.8-〃）p216

100-p

化簡得p2-I2p+2OWO,即（p-2）（p-10）W0,解得2WpWlO.

故當稅率在［0.02,0.1］內(nèi)時，稅收不少于16萬元.…（9分）

（///）第二年，當稅收不少于16萬元時，

廠家的銷售收入為g（〃）=例”（11.8-p）（2W.W10）

100-p

Tg（P）茶？L（1L8-P）=8OO在［2,10］是減函數(shù)

100-p100-p

?'?g（〃），nax=g（2）=800（萬元）

故當稅率為2%時，廠家銷售金額最大.

這個典型的例題當中，我們發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)首先還是要有函數(shù)的功底，要有一定的建模能力，這個與分不分段其實無

關(guān).我們重點看看分段函數(shù)要注意的地方.第一，要明確函數(shù)的定義域和其相對的函數(shù)表達式；第二注意求的是整

個一大段的定義域內(nèi)的值域還是分段函數(shù)某段內(nèi)部的值；第三，注意累加的情況和僅僅某段函數(shù)的討論.

【考查預(yù)測】

修煉自己的內(nèi)功，其實分不分段影響不大，審清題就可以了，另外，最好畫個圖來解答.

三.根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型

1.實阮問題的函數(shù)刻畫

在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫.用函數(shù)的觀點看實際問題,是學(xué)習函數(shù)的

重要內(nèi)容.

2.用函數(shù)模型解決實際問題

（1）我據(jù)擬合：

通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近

我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達式，求出具體的函數(shù)表達式,

再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合.

（2）常用到的五種函數(shù)模型：

①直線模型：?次函數(shù)模型），=履+〃（^0）,圖象增長特點是直線式上升（x的系數(shù)心>0）,通過圖象可以直觀地認

識它，特例是正比例函數(shù)模型廠如1>0）.

②反比例函數(shù)模型：（&>0）型，增長特點是），隨x的增大而減小.

x

③指數(shù)函數(shù)模型：）=4?"+。（》>0,且人H1,〃六0）,其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越

快（底數(shù)5>1,〃>0）,常形象地稱為指數(shù)爆炸.

④對數(shù)函數(shù)模型，即>=福。gd+〃（。>0,〃?W0）型，增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢

（底數(shù)4>1,〃1>0）.

⑤幕函數(shù)模型，即>=〃"+｝（g0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y=ad+公+C（。工0）,其特點是隨著自變

量的增大，函數(shù)值先減小后增大（?>0）.

在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖象的直觀運用，分析圖象特點,分析變量x的范困，同時還要

與實際問題結(jié)合，如取整等.

3.函數(shù)建模

（1）定義：用數(shù)學(xué)思想、方法、迪解決實際問題的過程，叫作數(shù)學(xué)建模.

（2）過程：如下圖所示.

（實骯情境）

ZZEZ

（提出問題）

不

合

乎

實

際

回用結(jié)果〕

【典型例題分析】

典例I：某公司為了實現(xiàn)1000萬元的利潤目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到10萬元時，

按銷售利潤進行獎勵，且獎金數(shù)額），（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數(shù)額不超過

5萬元,同時獎金數(shù)額不超過利潤的25%,其中模型能符合公司的要求的是（參考數(shù)據(jù)：LOO3600弋6,57*1.945,

1"10202.302）（）

A.廠。皿艮廠"C.廠/+9"廠（

分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當工日10,1000］時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；

③yWx?25%,然后一一驗證即可.

解答：辭：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：

當.隹［10,1000］時，

①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③yWK?25%=1x,

A中，函數(shù)），=0.025x,易知滿足①，但當￡>200時，），>5不滿足公司要求：

B中，函數(shù)丁=1.003工，易知滿足①，但當￡>60（）時，）>5不滿足公司要求；

C+，函數(shù)y=/+log7x,易知滿足①，當工=1000時，y取最大值/+log71000=4-37V5,且/+log7xW』x恒成立，

4

故滿足公司要求；

。中，函數(shù)易知滿足①，當％=400時，y>5不滿足公司要求；

故選。

點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查方案的優(yōu)化設(shè)計，解題的關(guān)鍵是一一驗證.

典例2：某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2015年度進行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，服

裝的年銷量x萬件與年促銷1萬元之間滿足關(guān)系式3-1=上&為常數(shù)），如果不搞促銷活動，服裝的年銷量只能

t+1

是1萬件.已知2015年生產(chǎn)服裝的設(shè)備折舊，維修等固定費用需要3萬元，每生產(chǎn)1萬件服裝需再投入32萬元的

生產(chǎn)費用，若將每件服裝的售價定為：”每件生產(chǎn)成本的15（）%”與“平均每件促銷費的一半”之和，試求：

（1）2015年的利潤y（萬元）關(guān)于促銷費/（萬元）的函數(shù)；

（2）該企業(yè)2015年的促銷費投入多少萬元M,企業(yè)的年利潤最人？

（注：利潤=銷售收入■生產(chǎn)成本-促銷費，生產(chǎn)成本=固定費用+生產(chǎn)費用）

分析：口）通過工表示&年利潤），，井化簡整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費/萬元的函數(shù).

（2）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進行化簡即可用基本不等式求出最值，即促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年

利潤最大.

解答：解：（1）由題意：3?1=上.

t+1

且當/=0時，x=\.

所以4=2,所以3-x=N—,…（1分）

t+1

生產(chǎn)成本為32x+3,每件售價_1（咨至）琮?，…（2分）

所以，尸［2（警衛(wèi)）臉］X-（物+3）-t-（3分）

^iL+50?<^>50）；―（2分）

22t+12

（2）因為且-當且僅當里即f=7時取等號，…（4分）

t+12kQt+12

所以)W50-8=42,…(1分)

答：促銷費投入7萬元時，企業(yè)的年利潤最大.…(I分)

點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，看出基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題

的能力，強調(diào)對知識的理解和熟練運用，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

【解題方法點撥】

用函數(shù)模型解決實際問題的常見類型及解法：

(1)解函數(shù)關(guān)系已知的應(yīng)用題

①確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=/(x)中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)=/(x)；②討論x與y的對應(yīng)關(guān)系，針對具體的函

數(shù)去討論與題目有關(guān)的問題；③給出實際問題的解，即根據(jù)在函數(shù)關(guān)系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案.

(2)解函數(shù)關(guān)系未知的應(yīng)用題

①閱讀理解題意

看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類型：

②抽象函數(shù)模型

在理解問題的基礎(chǔ)上，把實際問題抽象為函數(shù)模型；

③研究函數(shù)模型的性質(zhì)

根據(jù)函數(shù)模型，結(jié)合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關(guān)性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；

④得出問題的結(jié)論

根據(jù)函數(shù)模型的解，結(jié)合實際問題的實際意義和題目的要求，給出實際問題的解.

四.帶絕對值的函數(shù)

I.當函數(shù)體中包含絕對值，就需要對絕對值內(nèi)的部分的正負情況進行討論，因此含絕對值的函數(shù)本質(zhì)上是分段函

數(shù)，往往需要先去絕對值再結(jié)合函數(shù)圖象進行研究.

2.①形如)，=/(％)|的函數(shù)，由于［f(x)|=,“f(x,)、,【二,因此研究此類函數(shù)往往結(jié)合函數(shù)圖象，可以看

-f(x),f(x)<0

成由的圖象在九軸上方部分不變，下方部分關(guān)于X軸對稱得到，例如y=*-1|的圖象如下圖：

?f（.x）=a\x-m\+b\x-n\t（m<n）的圖象是以ACm,f（m））,B（n,/（〃））為折點的折線.

當〃+。>0時，兩端向上無限延伸，故存在最小值，最小值為加〃｛/（機），/（〃））；

當〃+〃<（）時，兩端向下無限延伸,故存在最大值,最大值為（/n）,f（n）｝；

當〃+〃=0時，兩端無限延伸且平行x軸，故既有最大值又有最小值，最大值為f（n）｝：最小值為〃血｛/

而方法

一.分段函數(shù)的應(yīng)用（共11小題）

1.（2023?楊浦區(qū)校級三模）設(shè)y=f（X）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，當xe[-1,1）時，

x+a,T<x<0

=<

f（K）|_2__x?其中“cR，若￡（費）=￡得）‘則=---------------------.

5

3

—,x）0

2.（2023?崇明區(qū)二模）若函數(shù)y=<eX的圖像上點A與點B、點C與點。分別關(guān)于原點對稱，除此之

ax*12,3x<0

外，不存在函數(shù)圖像上的其它兩點關(guān)于原點對稱，則實數(shù)。的取值范圍是

sin兀x,x€[0,2]

3.（2023?嘉定區(qū)校級三模）已知函數(shù)f（x）=、，若滿足f（〃）=f（b）=f（c）

J.o§2Q23(xl1),K€(2,

（4、/?、C互不相等），則〃+/?+（:的取值范圍是（）

A.：3,2023.5)B.(3,2024)C.[3,2024)D.[3,2025)

Ilog3x|0<x<3

4.(2023?寶山區(qū)校級模擬)已知函數(shù)/(%)=\兀，若存在實數(shù)川，X2,X3,M滿足/(用)

sin(~7~x)3《x415

6

=f(X2)=f(X3)=f(X4),其中XIVrVx3〈X4,則XlxmX4取值范圍是()

A.(60,96)B.(45,72)C.(30,48)D.(15,24)

乂一1+]x>0

5.（2023?虹口區(qū)校級三模）已知函數(shù)f（x）=_____'，點M、N是函數(shù)/（x）圖像上不同的兩個點，則

1+x2,x<0

tan/MON為坐標原點）的取值范圍是

x+2,x<a

6.（2023?松江區(qū)模擬）己知函數(shù)f（x）=《，若對任意實數(shù)〃，總存在實數(shù)加，使得/（xo）=b,

x2-x-l,x）a

則實數(shù)。的取值范圍是

1-|x-1|x￡[0,2]

7.（2023?松江區(qū)校級模擬）已知函數(shù)fG）=,

實數(shù)A的取值范圍是,

3x2x40

8.（2023?普陀區(qū)校級三模）己知函數(shù)f（x）='，若/（XI）=/（X2）（X1^X2）,則K1+X2的最大值

e2x,x>0

'+1,點P,。是曲線。上任意兩個不同點，若N

9.（2023?楊浦區(qū)校級二模）已知曲線C：y=

,x>0

POQW①則稱P,Q兩點心有靈犀，若P,Q始終心有靈犀，貝！。的最小值。o的正切值tanOo=.

x-<o

10.（2023?黃浦區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（x）={Xx,若對任意的打日2,+8）,都存在短日-2,-1],

Ix-aIx>0

使得/（xi）?/（*）則實數(shù)a的取值范圍為.

'Ix+a|+|x-2|,x〉0

11.（2023?徐匯區(qū)校級模擬）已知a€R,函數(shù)/CO=|?1一’的最小值為2〃，則由滿足條件的

x-ax+ya+1，x<0

a的值組成的集合是.

二.根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型（共14小題）

12.（2023?嘉定區(qū)校級三模）一般的數(shù)學(xué)建模包含如下活動過程：①建立模型；②實際情境；③提出問題；④求解

模型；⑤實際結(jié)果；⑥檢驗結(jié)果，請寫出正確的序號順序.

13.（2023?長寧區(qū)二模）某小學(xué)開展勞動教育，欲在圍墻邊用柵欄圍成一個2平方米的矩形植物和植園，矩形的一

條邊為圍墻，如圖，則至少需要米柵欄.

14.（2023?閔行區(qū)校級二模）某環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企'也要限期整改、設(shè)企業(yè)的污

水排放量VV與時間/的關(guān)系為用-f（b）-f（a）的大小評價在口,可這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力

的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如圖所示.則下列正確的命題是（）

污

水

達

標

排

放

戶

業(yè)弱

乙企

力比

理能

水治

的污

企業(yè)

，甲

間內(nèi)

這段時

m，⑵

A.在

弱

企業(yè)

比乙

能力

治理

污水

業(yè)的

甲企

刻，

12時

B.在

標

不達

排放都

的污水

兩企業(yè)

甲、乙

刻，

13時

C.在

強

力最

理能

水治

的污

，⑵

在m

中，

時間

這三段

［⑵⑶

⑵，

，［小

,川

在［0

企業(yè)

D.甲

點人

點，

任意一

CB上

線段

P為

2.點

AC=