全國(guó)統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題八排列組合二項(xiàng)式定理梳理糾錯(cuò)預(yù)測(cè)學(xué)案理含解析

③字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)起先，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n．（2）二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)是指Cn0，Cn1，…，Cnn，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)．如(a+bx)n的二項(xiàng)綻開式中，第精題集訓(xùn)精題集訓(xùn)（70分鐘）經(jīng)典訓(xùn)練題經(jīng)典訓(xùn)練題一、選擇題．1．在的綻開式中，x3的系數(shù)為（）A．-15 B．15 C．-20 D．20【答案】C【解析】由二項(xiàng)式定理得的綻開式的通項(xiàng)，令12-3r=3，得r=3，所以T4=C63x3(-1【點(diǎn)評(píng)】二項(xiàng)式定理類問(wèn)題的處理思路：利用二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)進(jìn)行分析．2．在的綻開式中，除常數(shù)項(xiàng)外，其余各項(xiàng)系數(shù)的和為（）A．63 B． C． D．【答案】B【解析】常數(shù)項(xiàng)是，令x=1求各項(xiàng)系數(shù)和，1+2-16則除常數(shù)項(xiàng)外，其余各項(xiàng)系數(shù)的和為64-581=-517，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其通項(xiàng)公式的應(yīng)用．3．為了落實(shí)“精準(zhǔn)扶貧”工作，縣政府分派5名干部到3個(gè)貧困村開展工作，每個(gè)貧困村至少支配一名干部，則安排方案的種數(shù)有（）A．540 B．240 C．150 D．120【答案】C【解析】依據(jù)題意分派到3個(gè)貧困村得人數(shù)為3，1，當(dāng)分派到3個(gè)貧困村得人數(shù)為3，1，當(dāng)分派到3個(gè)貧困村得人數(shù)為2，2，所以共有60+90=150種，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和簡(jiǎn)潔的排列組合問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．4．高三畢業(yè)時(shí)，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)站成一排合影留念，其中戊站在正中間，則甲不與戊相鄰，乙與戊相鄰的站法種數(shù)為（）A．4 B．8 C．16 D．24【答案】B【解析】由題可知，戊站在正中間，位置確定，則只需排其余四人即可，則甲不與戊相鄰，乙與戊相鄰的站法有C21×【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分布分類計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．5．甲、乙、丙、丁四人分別去云南、張家界、北京三個(gè)地方旅游，每個(gè)地方至少有一人去，且甲、乙兩人不能同去一個(gè)地方，則不同分法的種數(shù)（）A．18 B．24 C．30 D．36【答案】C【解析】先計(jì)算4人中有兩名分在一個(gè)地方的種數(shù)，可從4個(gè)中選2個(gè)，和其余的2個(gè)看作3個(gè)元素的全排列共有C42A33種，再解除所以不同的支配方法種數(shù)是C42A3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合的綜合運(yùn)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化與劃歸的實(shí)力，屬于中檔題．6．2024年我國(guó)實(shí)現(xiàn)全面建設(shè)成小康社會(huì)的目標(biāo)之年，也是全面打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)之年．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了了解本鎮(zhèn)脫貧攻堅(jiān)狀況，現(xiàn)派出甲、乙、丙3個(gè)調(diào)研組到A、B、C、D、E等5個(gè)村去，每個(gè)村一個(gè)調(diào)研組，每個(gè)調(diào)研組至多去兩個(gè)村，則甲調(diào)研組到A村去的派法有（）A．48種 B．42種 C．36種 D．30種【答案】D【解析】甲只去1村，則方法為C42C22∴總方法數(shù)為C42C22C【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是確定完成事務(wù)的過(guò)程方法，依據(jù)完成事務(wù)的方法選擇分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理．7．如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)E域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇．要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（）A．56 B．72 C．64 D．84【答案】D【解析】分兩種狀況：（1）A、C不同色（留意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的2中顏色中隨意取一色）：有種；（2）A、C同色（留意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的3中顏色中隨意取一色）：有種，共有84種，故答案為D．【點(diǎn)評(píng)】（1）本題主要考查排列組合的綜合問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的駕馭水平和分析推理實(shí)力．（2）排列組合常用方法有一般問(wèn)題干脆法、相鄰問(wèn)題捆綁法、不相鄰問(wèn)題插空法、特別對(duì)象優(yōu)先法、等概率問(wèn)題縮倍法、至少問(wèn)題間接法、困難問(wèn)題分類法、小數(shù)問(wèn)題列舉法．8．2024年10月1日，中華人民共和國(guó)成立70周年，舉國(guó)同慶．將2，0，1，9，10這5個(gè)數(shù)字依據(jù)隨意次序排成一行，拼成一個(gè)6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．72 B．84 C．96 D．120【答案】B【解析】先選擇一個(gè)非0數(shù)排在首位，剩余數(shù)全排列，共有C4其中1和0排在一起形成10和原來(lái)的10有重復(fù)，考慮1和0相鄰時(shí)，且1在0的左邊，和剩余數(shù)字共有種排法，其中一半是重復(fù)的，故此時(shí)有12種重復(fù)．故共有96-12=84種，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力．9．《九章算術(shù)》中有一分鹿問(wèn)題：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿．欲以爵次分之，問(wèn)各得幾何．”在這個(gè)問(wèn)題中，大夫、不更、簪裊、上造、公士是古代五個(gè)不同爵次的官員，現(xiàn)皇帝將大夫、不更、簪梟、上造、公士這5人分成兩組（一組2人，一組3人），派去兩地執(zhí)行公務(wù)，則大夫、不更恰好在同一組的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】皇帝將大夫、不更、簪梟、上造、公士這5人分成兩組(一組2人，一組3人)，派去兩地執(zhí)行公務(wù)，基本領(lǐng)件總數(shù)n=C大夫、不更恰好在同一組包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)m=C所以大夫、不更恰好在同一組的概率為，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．10．（多選）已知的綻開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為45，且綻開式中各項(xiàng)系數(shù)和為1024，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．綻開式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為512C．綻開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大 D．綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為45【答案】BCD【解析】由題意，，所以n=10（負(fù)值舍去），又綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，所以1-a10=1024，所以a=-1，故偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B正確；綻開式的二項(xiàng)式系數(shù)與對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相同，所以綻開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大，故C正確；的綻開式的通項(xiàng)，令，解得r=2，所以常數(shù)項(xiàng)為，故D正確，故選BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)式基本定理及其通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題．11．記為1，2，3，4，5【答案】432【解析】依據(jù)題意，a，b，c，d，e，f為1，2，3，4，5，6的隨意一個(gè)排列，則共有A6若為偶數(shù)的對(duì)立事務(wù)為“為奇數(shù)”，(a+b)、、全部為奇數(shù)，有，故為偶數(shù)的排列的個(gè)數(shù)共有，故答案為432．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查分析解決問(wèn)題的實(shí)力，屬于中檔題．12．現(xiàn)有10個(gè)不同的產(chǎn)品，其中4個(gè)次品，6個(gè)正品．現(xiàn)每次取其中一個(gè)進(jìn)行測(cè)試，直到4個(gè)次品全測(cè)完為止，若最終一個(gè)次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被發(fā)覺(jué)，則該狀況出現(xiàn)的概率是_______．【答案】【解析】現(xiàn)有10個(gè)不同的產(chǎn)品，其中4個(gè)次品，6個(gè)正品．現(xiàn)每次取其中一個(gè)進(jìn)行測(cè)試，直到4個(gè)次品全測(cè)完為止，最終一個(gè)次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被發(fā)覺(jué)，基本領(lǐng)件總數(shù)，最終一個(gè)次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被發(fā)覺(jué)包含的基本領(lǐng)件為：優(yōu)先考慮第五次（位置）測(cè)試．這五次測(cè)試必有一次是測(cè)試正品，有種，4只次品必有一只排在第五次測(cè)試，有種，那么其余3只次品和一只正品將在第1至第4次測(cè)試中實(shí)現(xiàn)，有種．于是依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有種．∴最終一個(gè)次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被發(fā)覺(jué)的概率p，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，涉及到古典概型、排列組合等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查推理論證實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，是中檔題．13．現(xiàn)有排成一排的7個(gè)不同的盒子，將紅、黃、藍(lán)、白顏色的4個(gè)小球全部放入這7個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子最多放一個(gè)小球，則恰有兩個(gè)空盒相鄰且紅球與黃球不相鄰的不同放法共有_______種．（結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】336【解析】先不考慮紅球與黃球不相鄰，則4個(gè)小球有A44種排法，再支配空盒，有C再考慮紅球與黃球相鄰，則4個(gè)小球有A33A22因此所求放法種數(shù)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合應(yīng)用，考查綜合分析與求解實(shí)力，屬中檔題．14．在二項(xiàng)式的綻開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為______；各項(xiàng)系數(shù)的最小值為______．（結(jié)果均用數(shù)值表示）【答案】15，-20【解析】因?yàn)槎?xiàng)式，所以，當(dāng)r=2時(shí)，則T3=153x，含當(dāng)r=3時(shí)，則，此時(shí)系數(shù)最小，最小值為-20，故答案為15，-20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理綻開式的系數(shù)問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．高頻易錯(cuò)題高頻易錯(cuò)題一、填空題．1．12本相同的資料書安排給三個(gè)班級(jí)，要求每班至少一本且至多六本，則不同的安排方法共有_____種．【答案】25【解析】先分組，再排序，12本書分三個(gè)班級(jí)，且每班至少一本且至多六本，可能有1、5、6；2、4、6；2、5、5；3、3、6；3、4、5；4、4、4共6中狀況，當(dāng)一個(gè)班分1本，一個(gè)班分5本，一個(gè)班分6本，不同的方法有種；當(dāng)一個(gè)班分2本，一個(gè)班分4本，一個(gè)班分6本，不同的方法有種；當(dāng)一個(gè)班分2本，一個(gè)班分5本，一個(gè)班分5本，不同的方法有種；當(dāng)一個(gè)班分3本，一個(gè)班分3本，一個(gè)班分6本，不同的方法有種；當(dāng)一個(gè)班分3本，一個(gè)班分4本，一個(gè)班分5本，不同的方法有種；當(dāng)一個(gè)班分4本，一個(gè)班分4本，一個(gè)班分4本，不同的方法有種；所以一共有6+6+3+3+6+1=25，故答案為25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合，此種狀況解題的關(guān)鍵是先分組，再排序，屬于中檔題．精準(zhǔn)精準(zhǔn)預(yù)料題一、選擇題．1．綻開式中x-2y3項(xiàng)的系數(shù)為160，則A．2 B．4 C． D．-22【答案】C【解析】二項(xiàng)式1+ay6綻開式的通項(xiàng)為T令r=3可得二項(xiàng)式1+ay6綻開式中的系數(shù)為C6∴綻開式中x-2y3的系數(shù)為可得a3=-8，解得a=-2，故選【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．2．已知隨機(jī)變量X聽從二項(xiàng)分布，其期望EX=2，當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值為b，則a+bx5的綻開A．1 B．25 C．35 D【答案】B【解析】依據(jù)二項(xiàng)分布期望的定義，可知，得a=4，畫出不等式組表示的區(qū)域，如圖中陰影部分所示，其中A2，2，B平移直線z=x-y，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1，3時(shí)，z于是a+bx5令x=1，可得綻開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為25，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題把二項(xiàng)式定理與線性劃結(jié)合以及二項(xiàng)分布考查，屬于中檔題．3．某人連續(xù)投籃6次，其中3次命中，3次未命中，則他第1次、第2次兩次均未命中的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可得基本領(lǐng)件總數(shù)n=C第1次、第2次兩次均未命中包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)m=C所以他第1次、第2次兩次均未命中的概率是，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確求出基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)．4．某校高一開設(shè)4門選修課，有4名同學(xué)選修，每人只選1門，恰有2門課程沒(méi)有同學(xué)選修，則不同的選課方案有（）A．96種 B．84種 C．78種 D．16種【答案】B【解析】先確定選的兩門，再確定學(xué)生選42-2=14所以不同的選課方案有6×14=84，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了分步分類計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．5．甲、乙、丙3人站到共有6級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)是（）A．90 B．120 C．210 D．216【答案】C【解析】因?yàn)榧住⒁?、?人站到共有6級(jí)的臺(tái)階上，且每級(jí)臺(tái)階最多站2人，所以分為兩類：第一類，甲、乙、丙各自站在一個(gè)臺(tái)階上，共有：C6其次類，有2人站在同一臺(tái)階上，剩余1人獨(dú)自站在一個(gè)臺(tái)階上，共有：C3所以每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置的不同的站法總數(shù)是120+90=210，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列組合的應(yīng)用以及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，還考查了分析求解問(wèn)題的實(shí)力，屬于中檔題．6．2024年5月22日，國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)在發(fā)布的2024年國(guó)務(wù)院政府工作報(bào)告中提出，2024年要優(yōu)先穩(wěn)就業(yè)保民生，堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，努力實(shí)現(xiàn)全面建成小康社會(huì)目標(biāo)任務(wù)．為響應(yīng)黨中心號(hào)召，某單位確定再加派五名工作人員甲、乙、丙、丁、戊去所負(fù)責(zé)的A，B，C，D四個(gè)村小組幫助指導(dǎo)貧困戶脫貧，每個(gè)村小組至少派一人，為工作便利，甲不去A小組，乙去B小組，則不同的支配方法有（）A．24 B．42 C．120 D．240【答案】B【解析】當(dāng)甲、乙在同一小組時(shí)，即都在B小組時(shí)，則不同的支配方法有：；當(dāng)甲、乙不在同一小組時(shí)，依據(jù)題意可以分成C52-1=9組，乙所在的小組去B小組，甲有2因此有不同的支配方法有：，因此符合題意的不同的支配方法有6+36=42種方法，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)分析問(wèn)題實(shí)力，屬于中檔題．二、填空題．7．的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為________．【答案】-3【解析】，綻開式中常數(shù)項(xiàng)為，故答案為-3．【點(diǎn)評(píng)】（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問(wèn)題可以分兩步完成：第一步依據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要留意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；其次步是依據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類加法計(jì)數(shù)原理探討求解．8．?dāng)?shù)列an中，a1=1，an+1=2a【答案】454【解析】因?yàn)閍n+1所以an+1以2為首項(xiàng)，所以an+1=2×2則C，又C=2×CC5所以原式=486-32=454，故答案為454．【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是求出數(shù)列通項(xiàng)公式后，結(jié)合二項(xiàng)式定理對(duì)所求式子進(jìn)行合理變形，削減計(jì)算量．9．某地為提高社區(qū)居民身體素養(yǎng)和保健意識(shí)，從5名醫(yī)生和2名護(hù)士共7名醫(yī)務(wù)工作者中選出隊(duì)長(zhǎng)1人、副隊(duì)長(zhǎng)1人一般醫(yī)務(wù)工作者2人