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文檔簡介
吉林省四平市公主嶺市范家屯鎮(zhèn)第一中學(xué)2025屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.關(guān)于圓周率π,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計的值:先請全校名同學(xué)每人隨機寫下一個都小于的正實數(shù)對;再統(tǒng)計兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值,那么可以估計的值約為()A. B. C. D.2.已知集合,,,則的子集共有()A.個 B.個 C.個 D.個3.已知復(fù)數(shù)z滿足,則z的虛部為()A. B.i C.–1 D.14.如圖在直角坐標系中,過原點作曲線的切線,切點為,過點分別作、軸的垂線,垂足分別為、,在矩形中隨機選取一點,則它在陰影部分的概率為()A. B. C. D.5.運行如圖所示的程序框圖,若輸出的的值為99,則判斷框中可以填()A. B. C. D.6.洛書,古稱龜書,是陰陽五行術(shù)數(shù)之源,在古代傳說中有神龜出于洛水,其甲殼上心有此圖象,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽數(shù),四角黑點為陰數(shù).如圖,若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機選取1個數(shù),則其和等于11的概率是().A. B. C. D.7.單位正方體ABCD-,黑、白兩螞蟻從點A出發(fā)沿棱向前爬行,每走完一條棱稱為“走完一段”.白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥,黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥,它們都遵循如下規(guī)則:所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線(iN*).設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個頂點處,這時黑、白兩螞蟻的距離是()A.1 B. C. D.08.已知不同直線、與不同平面、,且,,則下列說法中正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則9.五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想,是華夏文明重要組成部分.古人認為,天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成,如圖,分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類元素中任選2類元素,則2類元素相生的概率為()A. B. C. D.10.若實數(shù)x,y滿足條件,目標函數(shù),則z的最大值為()A. B.1 C.2 D.011.設(shè)拋物線的焦點為F,拋物線C與圓交于M,N兩點,若,則的面積為()A. B. C. D.12.已知,,則()A. B. C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.“今有女善織,日益功疾,初日織五尺,今一月共織九匹三丈.”其白話意譯為:“現(xiàn)有一善織布的女子,從第2天開始,每天比前一天多織相同數(shù)量的布,第一天織了5尺布,現(xiàn)在一個月(按30天計算)共織布390尺.”則每天增加的數(shù)量為____尺,設(shè)該女子一個月中第n天所織布的尺數(shù)為,則______.14.已知實數(shù),滿足約束條件,則的最小值為______.15.函數(shù)的定義域為_____________.16.如圖是一個算法的偽代碼,運行后輸出的值為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,,,,證明:(1);(2).18.(12分)已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點,與的公共弦的長為.(1)求的方程;(2)過點的直線與相交于、兩點,與相交于、兩點,且與同向,設(shè)在點處的切線與軸的交點為,證明:直線繞點旋轉(zhuǎn)時,總是鈍角三角形;(3)為上的動點,、為長軸的兩個端點,過點作的平行線交橢圓于點,過點作的平行線交橢圓于點,請問的面積是否為定值,并說明理由.19.(12分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為:.(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程;(2)若直線與曲線交于,兩點,與曲線交于,兩點,求取得最大值時直線的直角坐標方程.20.(12分)某公園準備在一圓形水池里設(shè)置兩個觀景噴泉,觀景噴泉的示意圖如圖所示,兩點為噴泉,圓心為的中點,其中米,半徑米,市民可位于水池邊緣任意一點處觀賞.(1)若當時,,求此時的值;(2)設(shè),且.(i)試將表示為的函數(shù),并求出的取值范圍;(ii)若同時要求市民在水池邊緣任意一點處觀賞噴泉時,觀賞角度的最大值不小于,試求兩處噴泉間距離的最小值.21.(12分)已知圓M:及定點,點A是圓M上的動點,點B在上,點G在上,且滿足,,點G的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)設(shè)斜率為k的動直線l與曲線C有且只有一個公共點,與直線和分別交于P、Q兩點.當時,求(O為坐標原點)面積的取值范圍.22.(10分)設(shè)前項積為的數(shù)列,(為常數(shù)),且是等差數(shù)列.(I)求的值及數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設(shè)是數(shù)列的前項和,且,求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
由試驗結(jié)果知對0~1之間的均勻隨機數(shù),滿足,面積為1,再計算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對,滿足條件的面積,由幾何概型概率計算公式,得出所取的點在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計的值.【詳解】解:根據(jù)題意知,名同學(xué)取對都小于的正實數(shù)對,即,對應(yīng)區(qū)域為邊長為的正方形,其面積為,若兩個正實數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關(guān)的幾何概型時,關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積,必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標,找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.2、B【解析】
根據(jù)集合中的元素,可得集合,然后根據(jù)交集的概念,可得,最后根據(jù)子集的概念,利用計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,當時,當時,當時,當時,所以集合則所以的子集共有故選:B【點睛】本題考查集合的運算以及集合子集個數(shù)的計算,當集合中有元素時,集合子集的個數(shù)為,真子集個數(shù)為,非空子集為,非空真子集為,屬基礎(chǔ)題.3、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運算可得,即可得答案.【詳解】∵,∴,∴,∴復(fù)數(shù)的虛部為.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算、虛部概念,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
設(shè)所求切線的方程為,聯(lián)立,消去得出關(guān)于的方程,可得出,求出的值,進而求得切點的坐標,利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積,然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設(shè)所求切線的方程為,則,聯(lián)立,消去得①,由,解得,方程①為,解得,則點,所以,陰影部分區(qū)域的面積為,矩形的面積為,因此,所求概率為.故選:A.【點睛】本題考查定積分的計算以及幾何概型,同時也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解,考查計算能力,屬于中等題.5、C【解析】
模擬執(zhí)行程序框圖,即可容易求得結(jié)果.【詳解】運行該程序:第一次,,;第二次,,;第三次,,,…;第九十八次,,;第九十九次,,,此時要輸出的值為99.此時.故選:C.【點睛】本題考查算法與程序框圖,考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想,涉及判斷條件的選擇,屬基礎(chǔ)題.6、A【解析】
基本事件總數(shù),利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個,由此能求出其和等于11的概率.【詳解】解:從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機選取1個數(shù),基本事件總數(shù),其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4個,其和等于的概率.故選:.【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)規(guī)則,觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點,得到每爬1步回到起點,周期為1.計算黑螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點以及計算白螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點,即可計算出它們的距離.【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即過1段后又回到起點,可以看作以1為周期,由,白螞蟻爬完2020段后到回到C點;同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑螞蟻爬完2020段后回到D1點,所以它們此時的距離為.故選B.【點睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題,考查空間想象與推理能力,屬于中等題.8、C【解析】
根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個選項得到結(jié)果.【詳解】對于,若,則可能為平行或異面直線,錯誤;對于,若,則可能為平行、相交或異面直線,錯誤;對于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正確;對于,若,只有當垂直于的交線時才有,錯誤.故選:.【點睛】本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析,關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.9、A【解析】
列舉出金、木、水、火、土任取兩個的所有結(jié)果共10種,其中2類元素相生的結(jié)果有5種,再根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類,共有:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果,其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果,所以2類元素相生的概率為,故選A.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時,找準基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時,一定要按順序逐個寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.10、C【解析】
畫出可行域和目標函數(shù),根據(jù)平移得到最大值.【詳解】若實數(shù)x,y滿足條件,目標函數(shù)如圖:當時函數(shù)取最大值為故答案選C【點睛】求線性目標函數(shù)的最值:當時,直線過可行域且在軸上截距最大時,值最大,在軸截距最小時,z值最??;當時,直線過可行域且在軸上截距最大時,值最小,在軸上截距最小時,值最大.11、B【解析】
由圓過原點,知中有一點與原點重合,作出圖形,由,,得,從而直線傾斜角為,寫出點坐標,代入拋物線方程求出參數(shù),可得點坐標,從而得三角形面積.【詳解】由題意圓過原點,所以原點是圓與拋物線的一個交點,不妨設(shè)為,如圖,由于,,∴,∴,,∴點坐標為,代入拋物線方程得,,∴,.故選:B.【點睛】本題考查拋物線與圓相交問題,解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點是其中一個交點,從而是等腰直角三角形,于是可得點坐標,問題可解,如果僅從方程組角度研究兩曲線交點,恐怕難度會大大增加,甚至沒法求解.12、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的特征,求出和,再利用復(fù)數(shù)的模公式,即可得出結(jié)果.【詳解】因為,所以,解得則.故選:A.【點睛】本題考查相等復(fù)數(shù)的特征和復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、52【解析】
設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織尺布,由等差數(shù)列前項和公式求出,由此利用等差數(shù)列通項公式能求出.【詳解】設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織d尺布,
則,
解得,即每天增加的數(shù)量為,
,故答案為,52.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的求和公式,意在考查利用所學(xué)知識解決問題的能力,屬于中檔題.14、【解析】
作出滿足約束條件的可行域,將目標函數(shù)視為可行解與點的斜率,觀察圖形斜率最小在點B處,聯(lián)立,解得點B坐標,即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域,該目標函數(shù)視為可行解與點的斜率,故由題可知,聯(lián)立得,聯(lián)立得所以,故所以的最小值為故答案為:【點睛】本題考查分式型目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題,屬于簡單題.15、【解析】
由題意可得,,解不等式可求.【詳解】解:由題意可得,,解可得,,故答案為.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解,屬于基礎(chǔ)題.16、13【解析】根據(jù)題意得到:a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不滿足條件,故得到此時輸出的b值為13.故答案為13.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)先由基本不等式可得,而,即得證;(2)首先推導(dǎo)出,再利用,展開即可得證.【詳解】證明:(1),,,(當且僅當時取等號).(2),,,,,,,.【點睛】本題考查不等式的證明,考查基本不等式的運用,考查邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(1);(2)證明見解析;(3)是,理由見解析.【解析】
(1)根據(jù)兩個曲線的焦點相同,得到,再根據(jù)與的公共弦長為得出,可求出和的值,進而可得出曲線的方程;(2)設(shè)點,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到曲線在點處的切線方程,求出點的坐標,利用向量的數(shù)量積得出,則問題得以證明;(3)設(shè)直線,直線,、、,推導(dǎo)出以及,求出和,通過化簡計算可得出為定值,進而可得出結(jié)論.【詳解】(1)由知其焦點的坐標為,也是橢圓的一個焦點,,①又與的公共弦的長為,與都關(guān)于軸對稱,且的方程為,由此易知與的公共點的坐標為,,②聯(lián)立①②,得,,故的方程為;(2)如圖,,由得,在點處的切線方程為,即,令,得,即,,而,于是,因此是銳角,從而是鈍角.故直線繞點旋轉(zhuǎn)時,總是鈍角三角形;(3)設(shè)直線,直線,、、,則,設(shè)向量和的夾角為,則的面積為,由,可得,同理可得,故有.又,故,則,因此,的面積為定值.【點睛】本題考查了圓錐曲線的和直線的位置與關(guān)系,考查鈍角三角形的判定以及三角形面積為定值的求解,關(guān)鍵是聯(lián)立方程,構(gòu)造方程,利用韋達定理,以及向量的關(guān)系,得到關(guān)于斜率的方程,計算量大,屬于難題.19、(1)曲線,曲線.(2).【解析】
(1)用和消去參數(shù)即得的極坐標方程;將兩邊同時乘以,然后由解得直角坐標方程.(2)過極點的直線的參數(shù)方程為,代入到和:中,表示出即可求解.【詳解】解:由和,得,化簡得故:將兩邊同時乘以,得因為,所以得的直角坐標方程.(2)設(shè)直線的極坐標方程由,得,由,得故當時,取得最大值此時直線的極坐標方程為:,其直角坐標方程為:.【點睛】考查直角坐標方程、極坐標方程、參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用圓的極坐標方程中的幾何意義求距離的的最大值方法;中檔題.20、(1);(2)(i),;(ii).【解析】
(1)在中,由正弦定理可得所求;(2)(i)由余弦定理得,兩式相加可得所求解析式.(ii)在中,由余弦定理可得,根據(jù)的最大值不小于可得關(guān)于的不等式,解不等式可得所求.【詳解】(1)在中,由正弦定理得,所以,即.(2)(i)在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得,又所以,即.又,解得,所以所求關(guān)系式為,.(ii)當觀賞角度的最大時
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