陜西省西安市第七十中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

陜西省西安市第七十中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)四模試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值是（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，延長交右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．3．若的展開式中的系數(shù)為-45，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．2 C． D．4．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長為4的正三角形，俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個(gè)半圓構(gòu)成，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．5．已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．函數(shù)的部分圖象大致是（）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，若對任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．集合，則（）A． B． C． D．9．設(shè)函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，令．有以下6個(gè)論斷：①是奇函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對任意的實(shí)數(shù)，．那么正確論斷的編號是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤10．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．12．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的最大值為______.14．已知數(shù)列的前項(xiàng)滿足，則______.15．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為_______.16．若非零向量，滿足，，，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，為邊上一點(diǎn)，，.（1）求；（2）若，，求.18．（12分）設(shè)函數(shù)f(x)=x2?4xsinx?4cosx．（1）討論函數(shù)f(x)在[?π，π]上的單調(diào)性；（2）證明：函數(shù)f(x)在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．19．（12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求函數(shù)的最小值．20．（12分）在中，角所對的邊分別為，，的面積.（1）求角C；（2）求周長的取值范圍.21．（12分）某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè)，在一個(gè)開學(xué)季內(nèi)，每售出1盒該產(chǎn)品獲利50元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料，得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.該同學(xué)為這個(gè)開學(xué)季進(jìn)了160盒該產(chǎn)品，以（單位：盒，）表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)的市場需求量，（單位：元）表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.（1）根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場需求量的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）將表示為的函數(shù)；（3）以需求量的頻率作為各需求量的概率，求開學(xué)季利潤不少于4800元的概率.22．（10分）每年的寒冷天氣都會帶熱“御寒經(jīng)濟(jì)”，以交通業(yè)為例，當(dāng)天氣太冷時(shí)，不少人都會選擇利用手機(jī)上的打車軟件在網(wǎng)上預(yù)約出租車出行,出租車公司的訂單數(shù)就會增加.下表是某出租車公司從出租車的訂單數(shù)據(jù)中抽取的5天的日平均氣溫(單位：℃)與網(wǎng)上預(yù)約出租車訂單數(shù)(單位：份)；日平均氣溫（℃）642網(wǎng)上預(yù)約訂單數(shù)100135150185210（1）經(jīng)數(shù)據(jù)分析，一天內(nèi)平均氣溫與該出租車公司網(wǎng)約訂單數(shù)（份）成線性相關(guān)關(guān)系，試建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測日平均氣溫為時(shí),該出租車公司的網(wǎng)約訂單數(shù)；（2）天氣預(yù)報(bào)未來5天有3天日平均氣溫不高于，若把這5天的預(yù)測數(shù)據(jù)當(dāng)成真實(shí)的數(shù)據(jù)，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，則從這5天中任意選取2天，求恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于210份的概率.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分析：設(shè)，則，把用表示，然后令，由導(dǎo)數(shù)求得的最小值．詳解：設(shè)，則，，，∴，令，則，，∴是上的增函數(shù)，又，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是極小值也是最小值，，∴的最小值是．故選A．點(diǎn)睛：本題易錯(cuò)選B，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，解題時(shí)學(xué)生可能不會將其中求的最小值問題，通過構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，另外通過二次求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯(cuò)．2、D【解析】

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，則，，，和中，利用勾股定理計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，則，，，，根據(jù)對稱性知四邊形為矩形，中：，即，解得；中：，即，故，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.3、D【解析】

將多項(xiàng)式的乘法式展開，結(jié)合二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)，即可求得的值.【詳解】∵所以展開式中的系數(shù)為，∴解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)的簡單應(yīng)用，指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】由題意得到該幾何體是一個(gè)組合體，前半部分是一個(gè)高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一個(gè)底面半徑為2的半個(gè)圓錐，體積為故答案為A.點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.5、C【解析】

求出的元素，再確定其真子集個(gè)數(shù)．【詳解】由，解得或，∴中有兩個(gè)元素，因此它的真子集有3個(gè)．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的子集個(gè)數(shù)問題，解題時(shí)可先確定交集中集合的元素個(gè)數(shù)，解題關(guān)鍵是對集合元素的認(rèn)識，本題中集合都是曲線上的點(diǎn)集．6、C【解析】

判斷函數(shù)的性質(zhì)，和特殊值的正負(fù)，以及值域，逐一排除選項(xiàng).【詳解】，函數(shù)是奇函數(shù)，排除，時(shí)，，時(shí)，，排除，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，排除，符合條件，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題型，一般根據(jù)選項(xiàng)判斷函數(shù)的奇偶性，零點(diǎn)，特殊值的正負(fù)，以及單調(diào)性，極值點(diǎn)等排除選項(xiàng).7、D【解析】

先將所求問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，即得圖象恒在函數(shù)圖象的上方，再利用數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】由得，由題意函數(shù)得圖象恒在函數(shù)圖象的上方，作出函數(shù)的圖象如圖所示過原點(diǎn)作函數(shù)的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以切線斜率為，所以，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立中的應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想以及數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.8、D【解析】

利用交集的定義直接計(jì)算即可.【詳解】，故，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，注意常見集合的符號表示，本題屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當(dāng)是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時(shí)，例如：，則，，此時(shí)，故⑥錯(cuò)誤；故③④正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

利用平面向量平行的坐標(biāo)條件得到參數(shù)x的值.【詳解】由題意得，，，，解得.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行定理，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

求出，直接由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù).【詳解】.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

根據(jù)題意，由拋物線的方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，解可得，由離心率公式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，拋物線的焦點(diǎn)為，則雙曲線的焦點(diǎn)也為，即，則有，解可得，雙曲線的離心率.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是求出拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由三角函數(shù)圖象相位變換后表達(dá)函數(shù)解析式，再利用三角恒等變換與輔助角公式整理的表達(dá)式，進(jìn)而由三角函數(shù)值域求得最大值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則所以，當(dāng)函數(shù)最大，最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查表示三角函數(shù)圖象平移后圖象的解析式，還考查了利用三角恒等變換化簡函數(shù)式并求最值，屬于簡單題.14、【解析】

由已知寫出用代替的等式，兩式相減后可得結(jié)論，同時(shí)要注意的求解方法．【詳解】∵①，∴時(shí)，②，①－②得，∴，又，∴（）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式，由已知條件．類比已知求的解題方法求解．15、【解析】

根據(jù)雙曲線方程，可得漸近線方程，結(jié)合題意可表示，再由雙曲線a，b，c關(guān)系表示，最后結(jié)合雙曲線離心率公式計(jì)算得答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線為，所以該雙曲線的漸近線方程為.又因?yàn)槠湟粭l漸近線經(jīng)過點(diǎn)，即，則，由此可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的漸近線構(gòu)建方程表示系數(shù)關(guān)系進(jìn)而求離心率，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】

根據(jù)向量的模長公式以及數(shù)量積公式，得出，解方程即可得出答案.【詳解】，即解得或（舍）故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積公式以及模長公式的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）4【解析】

（1），利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可；（2）設(shè)，在中，用正弦定理將用x表示，在中用一次余弦定理即可解決.【詳解】（1）∵，∴，所以，.（2）∵，∴設(shè)，，在中，由正弦定理得，，∴，∴，∵，∴∴.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.18、見解析【解析】

（1）f(x)=2x?4xcosx?4sinx+4sinx=，由f(x)=1，x∈[?π，π]得x=1或或．當(dāng)x變化時(shí)，f(x)和f(x)的變化情況如下表：x1f(x)?1+1?1+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增．（2）由（1）得極大值為f(1)=?4；極小值為f()=f()<f(1)<1．又f(π)=f(?π)=π2+4>1，所以f(x)在，上各有一個(gè)零點(diǎn)．顯然x∈(π，2π)時(shí)，?4xsinx>1，x2?4cosx>1，所以f(x)>1；x∈[2π，+∞)時(shí)，f(x)≥x2?4x?4>62?4×6?4=8>1，所以f(x)在(π，+∞)上沒有零點(diǎn)．因?yàn)閒(?x)=(?x)2?4(?x)sin(?x)?4cos(?x)=x2?4xsinx?4cosx=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，從而x<?π時(shí)，f(x)>1，即f(x)在(?∞，?π)上也沒有零點(diǎn)．故f(x)僅在，上各有一個(gè)零點(diǎn)，即f(x)在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．19、（1）見解析（2）的最小值為【解析】

（1）由題可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，令，可得；令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，可得；令，可得或，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）方法一：當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，且，故函數(shù)的最小值為．方法二：當(dāng)時(shí)，，，則，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為．20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由可得到，代入，結(jié)合正弦定理可得到，再利用余弦定理可求出的值，即可求出角；（Ⅱ）由，并結(jié)合正弦定理可得到，利用，，可得到，進(jìn)而可求出周長的范圍．【詳解】解：（Ⅰ）由可知，∴.由正弦定理得.由余弦定理得，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，.的周長為.∵，∴，∴,∴的周長的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的運(yùn)用，考查了三角形的面積公式，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．21、（1），眾數(shù)為150；（2）