嘉興市重點中學2025屆高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷含解析

嘉興市重點中學2025屆高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標系中，經(jīng)過點，漸近線方程為的雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．2．若為虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函數(shù)，其中，記函數(shù)滿足條件：為事件，則事件發(fā)生的概率為A． B．C． D．4．某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．05．過拋物線的焦點作直線與拋物線在第一象限交于點A，與準線在第三象限交于點B，過點作準線的垂線，垂足為.若，則（）A． B． C． D．6．一個四棱錐的三視圖如圖所示（其中主視圖也叫正視圖，左視圖也叫側視圖），則這個四棱錐中最最長棱的長度是（）．A． B． C． D．7．已知復數(shù)滿足：（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．8．設橢圓：的右頂點為A，右焦點為F，B、C為橢圓上關于原點對稱的兩點，直線BF交直線AC于M，且M為AC的中點，則橢圓E的離心率是（）A． B． C． D．9．設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面10．若,,,則下列結論正確的是()A． B． C． D．11．已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)，，則A． B．C． D．12．設等差數(shù)列的前n項和為，且，，則()A．9 B．12 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐中，，，，且二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為__________.14．，則f（f（2））的值為____________．15．已知平面向量，的夾角為，且，則=____16．如圖是九位評委打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均分為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線:，點為拋物線的焦點，焦點到直線的距離為，焦點到拋物線的準線的距離為，且.（1）求拋物線的標準方程；（2）若軸上存在點，過點的直線與拋物線相交于、兩點，且為定值，求點的坐標.18．（12分）已知函數(shù).（1）若，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）時，若對一切恒成立，求a的取值范圍.19．（12分）已知矩陣不存在逆矩陣，且非零特低值對應的一個特征向量，求的值.20．（12分）在直角坐標系中，圓C的參數(shù)方程（為參數(shù)），以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.（1）求圓C的極坐標方程；（2）直線l的極坐標方程是，射線與圓C的交點為O、P，與直線l的交點為Q，求線段的長.21．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍.22．（10分）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；(2)若直線與曲線，的交點分別為、（、異于原點），當斜率時，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為，可設所求雙曲線的標準方程為k．再把點代入，求得k的值，可得要求的雙曲線的方程．【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設所求雙曲線的標準方程為k．又在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標準方程為故選：B【點睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，屬于基礎題．2、D【解析】

根據(jù)復數(shù)的運算，化簡得到，再結合復數(shù)的表示，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)復數(shù)的運算，可得，所對應的點為位于第四象限.故選D.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的運算，以及復數(shù)的幾何意義，其中解答中熟記復數(shù)的運算法則，準確化簡復數(shù)為代數(shù)形式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．3、D【解析】

由得，分別以為橫縱坐標建立如圖所示平面直角坐標系，由圖可知，.4、C【解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù).【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，其中，，為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為3.故選：C.【點睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎題.5、C【解析】

需結合拋物線第一定義和圖形，得為等腰三角形，設準線與軸的交點為，過點作，再由三角函數(shù)定義和幾何關系分別表示轉(zhuǎn)化出，，結合比值與正切二倍角公式化簡即可【詳解】如圖，設準線與軸的交點為，過點作.由拋物線定義知，所以，，，，所以.故選：C【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題6、A【解析】

作出其直觀圖，然后結合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計算每一條棱長即可.【詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖，如圖所示，其中底面是直角梯形，且，，平面，且，∴，，，，∴這個四棱錐中最長棱的長度是．故選．【點睛】本題考查了四棱錐的三視圖的有關計算，正確還原直觀圖是解題關鍵，屬于基礎題．7、A【解析】

利用復數(shù)的乘法、除法運算求出，再根據(jù)共軛復數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，則，所以.故選：A【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算、共軛復數(shù)的概念，屬于基礎題.8、C【解析】

連接，為的中位線，從而，且，進而，由此能求出橢圓的離心率.【詳解】如圖，連接，橢圓：的右頂點為A，右焦點為F，B、C為橢圓上關于原點對稱的兩點，不妨設B在第二象限，直線BF交直線AC于M，且M為AC的中點為的中位線，，且，，解得橢圓的離心率.故選：C【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了運算求解能力，屬于基礎題.9、B【解析】

本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤．10、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，取得的取值范圍，即可求解，得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，即，又由，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍是解答的關鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.11、B【解析】

由可得，所以，故選B．12、A【解析】

由，可得以及，而，代入即可得到答案.【詳解】設公差為d，則解得，所以.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，考查學生運算求解能力，是一道基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設的中心為T，AB的中點為N，AC中點為M，分別過M，T做平面ABC，平面PAB的垂線，則垂線的交點為球心O，將的長度求出或用球半徑表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半徑.【詳解】設的中心為T，AB的中點為N，AC中點為M，分別過M，T做平面ABC，平面PAB的垂線，則垂線的交點為球心O，如圖所示因為，，所以，，，又二面角的大小為，則，，所以，設外接球半徑為R，則，，在中，由余弦定理，得，即，解得，故三棱錐外接球的表面積.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積問題，解決此類問題一定要數(shù)形結合，建立關于球的半徑的方程，本題計算量較大，是一道難題.14、1【解析】

先求f（1），再根據(jù)f（1）值所在區(qū)間求f（f（1））.【詳解】由題意，f（1）=log3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案為：1．【點睛】本題考查分段函數(shù)求值，考查對應性以及基本求解能力.15、1【解析】

根據(jù)平面向量模的定義先由坐標求得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得；將化簡并代入即可求得.【詳解】，則，平面向量，的夾角為，則由平面向量數(shù)量積定義可得，根據(jù)平面向量模的求法可知，代入可得，解得，故答案為：1.【點睛】本題考查了平面向量模的求法及簡單應用，平面向量數(shù)量積的定義及運算，屬于基礎題.16、1【解析】

寫出莖葉圖對應的所有的數(shù)，去掉最高分，最低分，再求平均分．【詳解】解：所有的數(shù)為：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9個數(shù)，去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7個數(shù)，平均分為，故答案為1．【點睛】本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計算，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）先分別表示出，然后根據(jù)求解出的值，則的標準方程可求；（2）設出直線的方程并聯(lián)立拋物線方程得到韋達定理形式，然后根據(jù)距離公式表示出并代入韋達定理形式，由此判斷出為定值時的坐標.【詳解】（1）由題意可得，焦點，，則，，∴解得.拋物線的標準方程為（2）設，設點，，顯然直線的斜率不為0.設直線的方程為聯(lián)立方程，整理可得，，∴，∴要使為定值，必有，解得，∴為定值時，點的坐標為【點睛】本題考查拋物線方程的求解以及拋物線中的定值問題，難度一般.（1）處理直線與拋物線相交對應的定值問題，聯(lián)立直線方程借助韋達定理形式是常用方法；（2）直線與圓錐曲線的問題中，直線方程的設法有時能很大程度上起到簡化運算的作用。18、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）【解析】

（1）求導，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關系即可求出.（2）解法一：分類討論：當時，觀察式子可得恒成立；當時，利用導數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，可知；當時，令，由，，根據(jù)零點存在性定理可得，進而可得在上，單調(diào)遞減，即不滿足題意；解法二：通過分離參數(shù)可知條件等價于恒成立，進而記，問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值問題，通過二次求導，結合洛比達法則計算可得結論.【詳解】（1）當，，，，令，解得，當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解法一：當時，函數(shù)，若時，此時對任意都有，所以恒成立；若時，對任意都有，，所以，所以在上為增函數(shù)，所以，即時滿足題意；若時，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，，可知，一定存在使得，且當時，，所以在上，單調(diào)遞減，從而有時，，不滿足題意；綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為.解法二：當時，函數(shù)，又當時，，對一切恒成立等價于恒成立，記，其中，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，恒成立，從而在上單調(diào)遞增，，由洛比達法則可知，，，解得.實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與不等式恒成立問題，考查了分類與整合的解題思想，涉及分離參數(shù)法等技巧、涉及到洛比達法則等知識，注意解題方法的積累，屬于難題.19、【解析】

由不存在逆矩陣，可得，再利用特征多項式求出特征值3，0，，利用矩陣乘法運算即可.【詳解】因為不存在逆矩陣，，所以.矩陣的特征多項式為，令，則或，所以，即，所以，所以【點睛】本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關的問題，考查學生的運算能力，是一道容易題.20、（1）；（2）2【解析】

（1）首先利用對圓C的參數(shù)方程（φ為參數(shù)）進行消參數(shù)運算，化為普通方程，再根據(jù)普通方程化極坐標方程的公式得到圓C的極坐標方程．（2）設，聯(lián)立直線與圓的極坐標方程，解得；設，聯(lián)立直線與直線的極坐標方程，解得，可得．【詳解】（1）圓C的普通方程為，又，所以圓C的極坐標方程為.（2）設，則由解得，，得；設，則由解得，，得；所以【點睛】本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，考查圓的極坐標方程，考查極坐標方程的求解運算，考查了學生的計算能力以及轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題.21、（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意零點分段即可確定不等式的解集為；(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為，求解不等式可得實數(shù)a的取值范圍為試題解析：（I）當時，化為，當時，不等式化為，無解；當時，不等式化為，解得；當時，不等式化為，解得．所以的解集為．（II）由題設可得，所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為，，，的面積為．由題設得，故．所以