微積分復習教案

第一講極限理論一基本初等函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性和圖象，其中函數(shù)圖像是重中之重，由函數(shù)圖像可以輕易的得到函數(shù)的其它要素（P17-20）二求極限的各種方法⑴當SKIPIF1<0為連續(xù)函數(shù)時,SKIPIF1<0,則有SKIPIF1<0例1計算極限SKIPIF1<0⑵設(shè)SKIPIF1<0為非負整數(shù),SKIPIF1<0則SKIPIF1<0例2計算極限：⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0⑶用兩個重要極限求①SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）結(jié)論：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。②SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）實質(zhì)：外大內(nèi)小，內(nèi)外互倒例4計算極限：⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0⑷未定式的極限（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）①羅必達法則例5計算極限：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0②設(shè)法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同時有理化等方法）例6計算極限：⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0③用等價無窮小量代換（切記：被代換的部分和其他部分必須是相乘關(guān)系！）例7計算極限SKIPIF1<0⑸無窮小量乘有界變量仍是無窮小量。例8計算極限：⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0三連續(xù)和間斷1.連續(xù)的定義2.間斷點的定義和分類四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（這里有一些證明題值得注意）。第二講微分學一導數(shù)概念導數(shù)：SKIPIF1<0左導數(shù)：SKIPIF1<0右導數(shù)：SKIPIF1<0實質(zhì)：差商的極限。例1計算極限：⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0二各種求導法⑴導數(shù)公式表（P94）和四則運算法則（P85）例2設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；例3設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；⑵復合函數(shù)的求導（P90）例4求下列函數(shù)的導數(shù)①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0⑶隱函數(shù)求導（方法：把SKIPIF1<0當作SKIPIF1<0的函數(shù)，兩邊對SKIPIF1<0求導）例5求下列隱函數(shù)的導數(shù)①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0⑷對數(shù)求導法（多用于冪指函數(shù)和由多因子相乘構(gòu)成的函數(shù)的求導）例6求下列函數(shù)的導數(shù)①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0⑸由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導重點：由參數(shù)方程SKIPIF1<0確定的函數(shù)SKIPIF1<0的導數(shù)為SKIPIF1<0；例7設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；三高階導數(shù)例8設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；例9設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；四微分重點：函數(shù)SKIPIF1<0的微分是SKIPIF1<0例10設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；例11設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；五單調(diào)性和極值重點：⑴由SKIPIF1<0的符號可以判斷出SKIPIF1<0的單調(diào)性；⑵求SKIPIF1<0的極值方法：①求出SKIPIF1<0，令其為零，得到駐點及不可導點，姑且統(tǒng)稱為可疑點；②判斷在可疑點兩側(cè)附近SKIPIF1<0的符號，若左正右負，則取得極大值；若左負右正，則取得極小值；若同號，則不取得極值。例12求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間和極值點。例13證明：當SKIPIF1<0時，恒有SKIPIF1<0。六最值問題求函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最值之步驟：①求出SKIPIF1<0，令其為零，得到可疑點（駐點和不可導點），并求出函數(shù)在這些點處的取值；②求出函數(shù)在區(qū)間端點取值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③比較函數(shù)在可疑點和區(qū)間端點上的取值，最大者即為最大值，最小者即為最小值。例14求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的最值。⑴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0七凹凸性和拐點重點：⑴凹凸性概念：設(shè)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)連續(xù)，若對SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）則稱SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)是凹函數(shù)（凸函數(shù)）。（用此定義可以證明一些不等式，見下例）。⑵由SKIPIF1<0的符號可以判斷出SKIPIF1<0的凹凸性。SKIPIF1<0為正號則SKIPIF1<0是凹函數(shù)，SKIPIF1<0為負號則SKIPIF1<0是凸函數(shù)。⑵判斷SKIPIF1<0的拐點之方法：①求出SKIPIF1<0，令其為零，得到SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0的點和SKIPIF1<0不存在的點；②判斷在這些點兩側(cè)附近SKIPIF1<0的符號，若為異號，則該點是拐點；若同號，則該點不是拐點。例15求下列函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點。⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0例16證明：當SKIPIF1<0時，必有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）。第三講積分學一不定積分與原函數(shù)的概念與性質(zhì)⑴原函數(shù)：若SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的一個原函數(shù)。⑵不定積分：SKIPIF1<0的全體原函數(shù)稱為SKIPIF1<0的不定積分，即SKIPIF1<0，這里SKIPIF1<0⑶不定積分的性質(zhì)（P174,共2個）特別強調(diào)：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（切記常數(shù)SKIPIF1<0不可丟）二定積分的概念與性質(zhì)⑴定積分概念：SKIPIF1<0⑵定積分和不定積分的區(qū)別：定積分是和式的極限，計算結(jié)果是個常數(shù)；不定積分是由一族函數(shù)（被積函數(shù)的原函數(shù)）構(gòu)成的集合。⑶SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上可積的必要條件：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有界；充分條件：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)；⑷定積分的幾何意義：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0表示由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0圍成的曲邊梯形的面積。⑸定積分的性質(zhì)（P210,共7個）注意結(jié)合定積分的幾何意義理解之。例：⑥若對SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0。⑦若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，則存在SKIPIF1<0，使得滿足SKIPIF1<0。另：若SKIPIF1<0是奇函數(shù)，則SKIPIF1<0。三由變上限積分確定的函數(shù)⑴定義：設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，則稱函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為變上限積分確定的函數(shù)。⑵求導問題：SKIPIF1<0例1求下列函數(shù)的導數(shù)SKIPIF1<0。①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0⑶與羅必達法則結(jié)合的綜合題例2求下列極限：①SKIPIF1<0SKIPIF1<0②SKIPIF1<0四求積分的各種方法⑴直接積分法（兩個積分表P174和P185）例3計算積分：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0⑵第一換元法（湊微分法）重點：SKIPIF1<0SKIPIF1<0常用湊微分公式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。注意：在定積分的換元法中，要相應(yīng)調(diào)整積分上下限。例4計算積分：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0⑶第二換元法重點：SKIPIF1<0SKIPIF1<0常用換元方法：①被積函數(shù)中若有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0；若有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，這里SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小公倍數(shù)。②被積函數(shù)中若有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0；③被積函數(shù)中若有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0；④被積函數(shù)中若有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0；注意：在定積分的換元法中，要相應(yīng)調(diào)整積分上下限。例5計算積分：⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0例6設(shè)SKIPIF1<0是定義于實數(shù)集上的連續(xù)函數(shù)，證明⑴SKIPIF1<0，⑵SKIPIF1<0⑷分部積分法SKIPIF1<0關(guān)鍵：適當選擇SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。選擇的技巧有①若被積函數(shù)是冪函數(shù)乘易積函數(shù)，令SKIPIF1<0為易積函數(shù)，SKIPIF1<0為冪函數(shù)。②若被積函數(shù)是冪函數(shù)乘不易積函數(shù)，令SKIPIF1<0為冪函數(shù)，SKIPIF1<0為不易積函數(shù)。例7計算積分：SKIPIF1<0⑸有理分式函數(shù)的積分步驟：①若是假分式，先用分式除法把假分式化為多項式與真分式的和，多項式積分非常容易，下面重點考慮真分式SKIPIF1<0的積分。②把SKIPIF1<0分解成如下形式SKIPIF1<0這里SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0。③把SKIPIF1<0化為如下形式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0這里SKIPIF1<0為待定系數(shù)，通過對上式進行通分，令等式兩邊的分子相等，即可解得這些待定系數(shù)。④于是對SKIPIF1<0的積分就轉(zhuǎn)化成對上面等式的右端積分了，然后再對上式右端積分。例8計算積分：⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0五定積分的分段積分問題例9計算積分：⑴SKIPIF1<0。⑵SKIPIF1<0六定積分的應(yīng)用：重點是再直角坐標系下求平面圖形的面積。⑴由曲線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0[SKIPIF1<0]及直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0[SKIPIF1<0]圍成的圖形的面積為：SKIPI