數(shù)學(xué)學(xué)案：例題與探究絕對(duì)值不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講【例1】（經(jīng)典回放)（1）若x<5，n∈N，則下列不等式：①｜xlg｜〈5|lg｜；②|x｜lg<5lg;③xlg〈5|lg|;④|x｜lg〈5|lg|。其中，能夠成立的有___________.（2）不等式≥1成立的充要條件是___________.思路解析：(2）題求充要條件,因而可從不等式的性質(zhì)｜a+b|≥|a｜—｜b｜出發(fā)，去尋找原不等式成立的充要條件。(1)∵0<〈1，∴l(xiāng)g〈0.由x〈5，并不能確定｜x|與5的關(guān)系，∴可以否定①②③,而|x｜lg〈0,④成立。(2）當(dāng)｜a|>|b|時(shí),有｜a｜-|b｜>0，∴|a+b｜≥|｜a|-|b｜｜=|a｜-|b｜，∴必有≥1.即|a｜>|b|是≥1成立的充分條件.當(dāng)|≥1時(shí)，由｜a+b｜>0,必有|a｜-|b｜〉0。即|a|〉｜b|，故|a|〉｜b｜是≥1成立的必要條件。故所求為：｜a|〉｜b|.答案:（1）④（2）|a｜>|b|綠色通道：判斷一個(gè)不等式成立與否，往往是對(duì)影響不等號(hào)的因素進(jìn)行分析，如一個(gè)數(shù)的正、負(fù)、零等,數(shù)（或式子）的積、平方、取倒數(shù)等都對(duì)不等號(hào)產(chǎn)生影響，注意考察這些因素在不等式中的作用，一個(gè)不等式的成立與否也就比較好判斷了.題（2)是求充要條件，一般要從兩個(gè)方面來(lái)探討，一是充分性，二是必要性，兩者缺一不可,但為了盡快尋找到滿足題意的條件,在對(duì)代數(shù)式化簡(jiǎn)整理或變形中，若能使其等價(jià)變形式都能保證其等價(jià)的條件，最終都將成為要求的“條件"?！咀兪接?xùn)練】設(shè)ab>0,下面四個(gè)不等式①|(zhì)a+b|〉｜a｜;②｜a+b｜〈|b|；③|a+b|〈｜a—b｜；④｜a+b|>|a｜-|b|中，正確的是（）A。①和②B.①和③C.①和④D.②和④思路解析:∵ab〉0，∴a，b同號(hào).∴｜a+b｜=|a|+|b|。∴①④正確.答案：C【例2】設(shè)m等于｜a｜、|b|和1中最大的一個(gè)，當(dāng)｜x｜〉m時(shí),求證:｜｜〈2。思路分析：本題的關(guān)鍵是對(duì)題設(shè)條件的理解和運(yùn)用.|a｜、|b｜和1這三個(gè)數(shù)中哪一個(gè)最大？如果兩兩比較大小，將十分復(fù)雜，但我們可以得到一個(gè)重要的信息：m≥|a|、m≥｜b｜、m≥1。證明：∵｜x|>m≥|a|，｜x｜>m≥|b｜|x|〉m≥1｜x|2>｜b|,∴｜｜≤||+|｜==2。故原不等式成立。綠色通道：分析題目時(shí)，題目中的語(yǔ)言文字是我們解題的信息的重要來(lái)源與依據(jù)，而解題時(shí)的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言也往往需要從文字語(yǔ)言“翻譯"轉(zhuǎn)化而來(lái),那么準(zhǔn)確理解題目中的文字語(yǔ)言，適時(shí)準(zhǔn)確地進(jìn)行轉(zhuǎn)化也就成了解題的關(guān)鍵,如本題中題設(shè)條件中的文字語(yǔ)言“m等于｜a｜,｜b|,1中最大的一個(gè)”轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言“m≥｜a｜,|m｜≥|b｜，m≥1"是證明本題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】已知a，b∈R且a≠0，求證：.思路分析:本題中要證明的不等式,包含|a+b｜，|a-b｜,｜a｜—｜b｜,因而需要利用絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)，其中2|a|=｜a+b+a-b｜，是一種常用的拼湊法，其次，觀察要證明的不等式，可以發(fā)現(xiàn)不等式的左邊(|a｜-｜b|），可能為正值（｜a｜≥|b｜時(shí)）,也可能非正（|a|<｜b|時(shí)）.因而，又涉及到分類討論。證明：（1）若|a｜≥|b｜,左邊=?！?∴?！嘧筮叀?右邊。(2）若|a|<｜b|，左邊〉0,右邊<0,∴原不等式顯然成立。綜上可知原不等式成立?！纠?】求函數(shù)y=｜x-3｜—|x+1｜的最大值和最小值.思路分析：若把x—3，x+1看作兩個(gè)實(shí)數(shù),則所給的代數(shù)式符合兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值的差的形式，因而可以聯(lián)想到兩個(gè)數(shù)和（差)的絕對(duì)值與兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值的和（差）之間的關(guān)系，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化求解。另一思維是：含有這種絕對(duì)值函數(shù)式表示的是分段函數(shù)，所以也可以視為是分段函數(shù)求最值.解法一：|｜x—3|—|x+1|｜≤｜(x—3）—(x+1)|=4，∴—4≤｜x-3｜—｜x+1|≤4?！鄖max=4，ymin=—4。解法二：把函數(shù)看作分段函數(shù)。y=|x—3|—｜x+1｜=∴-4≤y≤4?！鄖max=4，ymin=—4。綠色通道：對(duì)于含有兩個(gè)絕對(duì)值以上的代數(shù)式,通常利用分段討論的方法轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，進(jìn)而利用分段函數(shù)的性質(zhì)解決相應(yīng)問(wèn)題.利用含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)定理進(jìn)行“放縮",有時(shí)也能產(chǎn)生比較好的效果，但這需要準(zhǔn)確地處理“數(shù)”的差或和，以達(dá)到所需要的結(jié)果?！咀兪接?xùn)練】若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式|x+1|—|x—2|>a恒成立，則a的取值范圍是（)A。(-∞，3)B.(-∞，3］C。(—∞,3）D.(—∞，-3］思路解析：恒成立問(wèn)題,往往轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題，即a<｜x+1|-｜x—2|對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，即a<［｜x+1|—｜x-2｜］min，也就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=|x+1｜—｜x—2|的最小值問(wèn)題。∵||x+1｜-｜x-2||≤|（x+1）—(x—2)｜=3,∴—3≤｜x+1｜—｜x—2｜≤3.∴［｜x+1|—|x—2|］min=—3。∴a〈-3。答案：C問(wèn)題探究問(wèn)題：公路的兩側(cè)要修建一些加油站,兩個(gè)加油站位于某城市東akm和bkm處（a〈b)，一卡車(chē)從該城市出發(fā)，由于某種原因，他需要往返A(chǔ)、B兩加油站,問(wèn)他行駛在什么情況下到兩加油站的路程之和是一樣的？導(dǎo)思:這一個(gè)絕對(duì)值函數(shù)求最值的問(wèn)題，可以把相關(guān)數(shù)據(jù)找到,寫(xiě)出關(guān)系式,利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)來(lái)解.探究：設(shè)卡車(chē)行駛在距城市xkm處，他到兩加油站的路程之和為y(km）。∴y=|x—a|+｜x—b|.∵｜x