數(shù)學(xué)學(xué)案：空間中的垂直關(guān)系第二課時

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B必修2第一章1。2.3空間中的垂直關(guān)系第二課時1．理解平面與平面垂直的定義．2．通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出空間中面面垂直的有關(guān)判定定理、性質(zhì)定理．3．掌握平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,并能利用以上定理解決空間中的相關(guān)垂直性問題．1．平面與平面垂直的定義如果兩個________平面的交線與第三個平面________，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線________，就稱這兩個平面互相垂直．2．平面與平面垂直的判定定理如果一個平面過另一個平面的一條________，則兩個平面互相垂直．符號語言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（a?平面α,a⊥平面β））?α⊥β.【做一做1－1】對于直線m，n和平面α,β，能得出α⊥β的一個條件是（)．A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n,n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β【做一做1－2】在空間四邊形ABCD中，若AB＝BC,AD＝CD，E為對角線AC的中點(diǎn)，下列判斷正確的是（）．A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BED3．平面與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線______另一個平面．符號語言：eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（α⊥β,a?α，α∩β＝b,a⊥b）)?a⊥β.【做一做2】設(shè)平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直線a?α，直線b?β，且a不與l垂直，b不與l垂直，那么a與b(）．A．可能垂直,不可能平行B．可能平行,不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行證明線面垂直、面面垂直的主要方法剖析：(1)證明線面垂直的方法：①利用線面垂直的定義：a與α內(nèi)的任何直線垂直?a⊥α;②利用判定定理：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（m、n?α，m∩n＝A,l⊥m,l⊥n)）?l⊥α;③利用結(jié)論：a∥b，a⊥α?b⊥α；④利用面面平行的性質(zhì)：α∥β,a⊥α?a⊥β；⑤利用面面垂直的性質(zhì)：α⊥β，α∩β＝l，a?α,a⊥l?a⊥β.（2）證明面面垂直的方法：①利用定義；②利用判定定理：一面經(jīng)過另一面的垂線．關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化，每一種垂直的判定都是從某一種垂直開始轉(zhuǎn)向另一種垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下圖所示：題型一位置關(guān)系的判定【例1】下列命題不正確的是（)．A．若l⊥m，l⊥α，m⊥β，則α⊥βB．若l⊥m,l?α，m?β，則α⊥βC．若α⊥γ,β∥γ，則α⊥βD．若l∥m，l⊥α，m?β,則α⊥β反思：關(guān)于位置關(guān)系的判斷題，如果以選擇題的形式出現(xiàn)，通常借助于幾何模型利用排除法來解決．題型二利用定義證明面面垂直【例2】如圖，在四面體ABCD中，BD＝eq\r(2）a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求證：平面ABD⊥平面BCD．分析：圖形中的垂直關(guān)系較少，不妨考慮利用定義法證明．反思：利用兩個平面互相垂直的定義可以直接判定兩個平面垂直，判定的方法是：（1）證明第三個平面與兩個相交平面的交線垂直；（2)證明這兩個相交平面與第三個平面的交線垂直;(3）根據(jù)定義，這兩個平面互相垂直．題型三利用判定定理證明面面垂直【例3】如圖所示,已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑,C是⊙O上任意一點(diǎn),求證：平面PAC⊥平面PBC．分析：證明BC是平面PAC的垂線即可,再利用面面垂直的判定定理解決．反思：解決本題的關(guān)鍵是找出垂線BC，利用圓的有關(guān)性質(zhì)得到∠BCA＝90°.總之，利用面面垂直的判定定理來證明面面垂直的要領(lǐng)是：先從整體上把握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后直觀觀察出一平面的垂線,最后根據(jù)定理的要求進(jìn)行理論證明．題型四面面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用【例4】如圖，四棱錐P－ABCD的側(cè)面PAD是正三角形,且垂直于底面,底面ABCD是矩形，E是PD的中點(diǎn)．求證:平面ACE⊥平面PCD．分析：要證平面ACE⊥平面PCD，只需在其中一個平面內(nèi)找一條直線垂直于另一個平面,即只需在該平面內(nèi)找一條直線垂直于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線即可．反思:要證平面ACE⊥平面PCD,關(guān)鍵是利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理得CD⊥平面PAD，再利用正三角形的性質(zhì)及直線與平面垂直的判定定理、平面與平面垂直的判定定理．題型五易錯辨析【例5】已知在四邊形ABCD中，四個角∠ABC，∠BCD,∠CDA，∠DAB都是直角．求證：四邊形ABCD是矩形．錯解：根據(jù)初中所學(xué)知識,可知四邊形ABCD是矩形．錯因分析：上述說明不嚴(yán)謹(jǐn),忽略了四邊形是空間四邊形的檢驗(yàn)與討論．【例6】已知直線a不垂直于平面α,如圖所示，求證：過a有且只有一個平面與α垂直．錯解：記A∈a，過A作b⊥α，a∩b＝A,則可得a,b確定一個平面β，由b⊥α，b?β，得α⊥β，這說明過a有且只有一個平面β與α垂直．錯因分析：僅證明了命題的存在性，而忽略了唯一性．1給出以下四種說法：①如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的一個平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行；②如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面；③如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行；④如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．其中正確的個數(shù)是（)．A．4B．3C．2D．12下列結(jié)論中，正確的是（)．①垂直于同一條直線的兩條直線平行;②垂直于同一條直線的兩個平面平行;③垂直于同一個平面的兩條直線平行；④垂直于同一個平面的兩個平面平行．A．①②③B．①②③④C．②③D．②③④3已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，則下列命題中錯誤的是(）．A．如果直線a?α，那么直線a必垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線B．如果直線a?α，那么直線a不可能與平面β平行C．如果直線a?α，a⊥l，那么直線a⊥平面βD．平面α內(nèi)一定存在無數(shù)多條直線都垂直于平面β內(nèi)的所有直線4經(jīng)過平面α外一點(diǎn)和平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有__________個．5如圖,在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．求證：（1)PA∥平面BDE；(2）平面PAC⊥平面BDE.答案：基礎(chǔ)知識·梳理1．相交垂直互相垂直2．垂線【做一做1－1】Ceq\a\vs4\al（\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(m∥n,n⊥β）)\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(,，，\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（?m⊥β,m?α）））)\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(,,，?α⊥β.）））【做一做1－2】D如圖所示，連接BE，DE，BD。eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（BE⊥AC，DE⊥AC））eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(,，，\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（?AC⊥平面BDE，AC?平面ABC）））)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,?平面ABC⊥平面BDE.）)3．垂直于【做一做2】B若a∥l，b∥l,則a∥b，但a與b不可能垂直．典型例題·領(lǐng)悟【例1】B借助于長方體模型找出錯誤的選項(xiàng)．如圖所示的長方體，AB⊥B1C1，AB?平面AC，B1C1?平面A1C1，但是平面AC∥平面A1C1，所以B項(xiàng)不正確．【例2】證明:取BD的中點(diǎn)為E，連接AE,CE，∵CB＝CD＝AB＝AD,∴AE⊥BD，CE⊥BD，則有BD⊥平面AEC。∵AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，BD＝eq\r（2)a,∴△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，AE，CE都是斜邊上的中線．∴AE＝CE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2），2）a。又AC＝a，∴AE2＋CE2＝AC2。∴AE⊥CE。又AE,CE分別是平面AEC與平面ABD、平面BCD的交線，∴平面ABD⊥平面BCD.【例3】證明：由于AB是⊙O的直徑,∴AC⊥BC.又由于PA⊥⊙O所在的平面，BC在⊙O所在的平面內(nèi),∴PA⊥BC（線面垂直的性質(zhì)）．∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC(線面垂直的判定)．又BC?平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC(面面垂直的判定）．【例4】證明:∵△PAD為正三角形,E為PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD.又∵平面PAD⊥平面AC，平面PAD與平面ABCD交于AD,DC⊥AD，∴CD⊥平面PAD。∴CD⊥AE。∴AE⊥平面PCD.又∵AE?平面ACE，∴平面ACE⊥平面PCD.【例5】正解：(1）當(dāng)四邊形ABCD是平面四邊形時，它確實(shí)是矩形．(2)若四邊形ABCD是空間四邊形，可設(shè)點(diǎn)C在平面ABD之外，如圖所示，設(shè)C′是點(diǎn)C在平面ABD內(nèi)的射影,∵AD?平面ABD，CC′⊥平面ABD，CD⊥AD，AD⊥平面CC′D，∴C′D⊥AD.同理C′B⊥AB.eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(CD>C′D,CB>C′B)）CD2＋CB2＞C′D2＋C′B2。①連接BD，在△BCD中，∠BCD＝90°，故CD2＋CB2＝BD2.②在平面四邊形ABC′D中，∵∠DAB＝∠ABC′＝∠ADC′＝90°，∴∠BC′D＝90°,∴C′D2＋C′B2＝BD2。③將②③代入①得BD2＞BD2，矛盾，故四邊形ABCD不可能是空間四邊形，只能是平面四邊形,∴四邊形ABCD是矩形．【例6】正解：(1)存在性．設(shè)A∈a，過A作b⊥α,a∩b＝Aa，b確定一個平面,記作β.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(b⊥α,b?β）)α⊥β。（2）唯一性．假設(shè)過a不止一個平面垂直于α,可設(shè)除β外還有平面γ滿足γ⊥α，eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(β⊥α，γ⊥α,β∩γ＝a))?a⊥α.這與a不垂直于α矛盾．從而假設(shè)不成立，所以只有一個平