數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究圓的標準方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一直接法求圓的標準方程(1)①由圓的標準方程(x－a）2＋（y－b)2＝r2可知，圓心為(a,b），半徑為r,它體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)；②圓的標準方程(x－a）2＋（y－b)2＝r2中有三個參數(shù)a，b，r，只要求出a,b,r，圓的方程也就確定了，因此確定圓的方程需三個獨立條件，其中圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件．(2)幾種特殊形式的圓的標準方程條件方程形式圓心在原點x2＋y2＝r2（r≠0)過原點(x－a）2＋(y－b）2＝a2＋b2(a2＋b2≠0）圓心在x軸上（x－a）2＋y2＝r2（r≠0）圓心在y軸上x2＋(y－b）2＝r2（r≠0)圓心在x軸上且過原點（x－a)2＋y2＝a2(a≠0)圓心在y軸上且過原點x2＋（y－b)2＝b2（b≠0)與x軸相切（x－a)2＋（y－b）2＝b2(b≠0)與y軸相切（x－a)2＋（y－b）2＝a2(a≠0)與兩坐標軸都相切(x－a）2＋(y－b)2＝a2（|a｜＝|b｜≠0）【典型例題1】(1)圓心是C（－3,4）,半徑長為5的圓的方程為（）A.(x－3)2＋(y＋4)2＝5B．(x－3)2＋（y＋4)2＝25C．(x＋3）2＋（y－4）2＝5D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25解析:因為圓心是C（－3，4)，半徑長為5，所以圓的方程為（x＋3)2＋(y－4）2＝25。答案：D(2)已知點A(－4,－5）,B(6，－1)，則以線段AB為直徑的圓的方程為__________．解析:AB的中點坐標即為圓心坐標C(1，－3），又圓的半徑r＝|AC|＝eq\r（29)，所以所求圓的方程為(x－1）2＋(y＋3）2＝29.答案:（x－1)2＋（y＋3)2＝29探究二待定系數(shù)法求圓的標準方程1．待定系數(shù)法求圓的標準方程,需求出圓心和半徑，即列出關(guān)于a，b，r的方程組,求出a，b，r.一般步驟如下：（1)根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2;(2）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a,b，r的方程組；（3)解方程組，求出a，b,r,代入圓的方程中,求出圓的標準方程．2．有時求圓的方程時,用上初中所學(xué)圓的幾何性質(zhì)往往使問題容易解決．圓的常用幾何性質(zhì)如下：（1）圓心在過切點，且與切線垂直的直線上；(2）圓心必是兩弦中垂線的交點；（3)不過圓心的弦，弦心距d，半弦長m及半徑r滿足r2＝d2＋m2；(4）直徑所對的圓周角是90°,即圓的直徑的兩端點與圓周上異于端點的任意一點的連線互相垂直．【典型例題2】一個圓經(jīng)過兩點A(10,5），B（－4，7)，半徑為10，求圓的方程．思路分析：本題考查了圓的標準方程的求解，可根據(jù)題目中的條件，利用待定系數(shù)法求解．解法一：設(shè)圓心為（a，b),則①－②整理得7a－b－15＝0,即b＝7a－15。③將③代入①得a2－6a＋8＝0，所以或故所求圓的方程為(x－2）2＋（y＋1)2＝100或(x－4)2＋(y－13）2＝100.解法二：線段AB的中點坐標為（3，6），kAB＝－，則線段AB的垂直平分線方程為y－6＝7(x－3）,即y＝7x－15。設(shè)圓心為（a，b)，由于圓心在AB的垂直平分線上，所以b＝7a－15.③又因為(a－10）2＋（b－5）2＝100，④將③代入④可得a＝2或a＝4。（以下同解法一)【典型例題3】求下列圓的方程：（1)圓心在直線y＝－2x上，且與直線y＝1－x相切于點(2，－1)；(2)圓心C(3，0）,且截直線y＝x＋1所得的弦長為4.(3）已知一個圓關(guān)于直線2x＋3y－6＝0對稱，且經(jīng)過點A（3，2），B(1，－4)．思路分析:利用圓的標準方程,把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于圓心和半徑的方程組來求解．解：(1）設(shè)圓心為（a，－2a）,半徑為r,則圓的方程為(x－a）2＋（y＋2a）2＝r2。由解得所以所求圓的方程為（x－1)2＋（y＋2）2＝2。（2)設(shè)圓的半徑為r，則圓的方程為(x－3）2＋y2＝r2，利用點到直線的距離公式可以求得d＝＝2，所以r＝＝2。所以所求圓的方程為（x－3）2＋y2＝12。(3)AB的垂直平分線為y＋1＝－(x－2），即x＋3y＋1＝0。因為圓心在弦AB的垂直平分線上，也在對稱軸上，則由得即圓心為，所以半徑為r＝＝。所以圓的方程為（x－7）2＋＝.探究三點與圓的位置關(guān)系判斷點P(x0，y0)與圓（x－a）2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系有幾何法和代數(shù)法兩種：（1)對于幾何法，主要是利用點與圓心的距離與半徑比較大??；(2）對于代數(shù)法，主要把點的坐標代入圓的標準方程,左端與r2比較．【典型例題4】已知在平面直角坐標系中有A(0,1)，B（2，1)，C（3,4),D(－1,2)四點,這四點能否在同一個圓上，為什么?思路分析:先確定出過其中三點的一個圓的方程，再驗證第四個點是否在這個圓上，即可得出答案．解:設(shè)經(jīng)過A,B，C三點的圓的標準方程為（x－a）2＋(y－b）2＝r2。①把A,B，C的坐標分別代入①,得解此方程組,得所以，經(jīng)過A，B，C三點的圓的標準方程是（x－1）2＋（y－3)2＝5.把點D的坐標(－1,2）代入上述圓的方程，得（－1－1）2＋（2－3)2＝5。所以，點D在經(jīng)過A，B，C三點的圓上，即A，B,C,D四點在同一個圓上．探究四易錯辨析易錯點:因考慮問題不全面而致誤【典型例題5】已知圓C的半徑為2，且與y軸和直線4x－3y＝0都相切，試求圓C的標準方程．錯解:由題意可設(shè)圓C的標準方程為(x－a)2＋（y－b)2＝4，又圓C與y軸相切，可知a＝2,又圓C與4x－3y＝0相切，可知＝2,解得b＝6或b＝－。所以圓C的標準方程為(x－2)2＋（y－6）2＝4或(x－2）2＋＝4.錯因分析：圓C與y軸相切意味著｜a|＝2，而不是a＝2.正解:設(shè)圓C的標準方程為（x－a）2＋(y－b)2＝4，由題意可得｜a｜＝2,即