數(shù)學學案：課堂探究函數(shù)的表示方法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一畫函數(shù)圖象圖象的畫法常見的有兩種:描點法、變換作圖法．1．描點法的一般步驟是：列表、描點、連線；列表—-先找出一些（有代表性的)自變量x,并計算出與這些自變量相對應的函數(shù)值f(x)，用表格的形式表示出來；描點——從表中得到一系列的點(x，f(x）)，在坐標平面上描出這些點；連線——用光滑曲線把這些點按自變量由小到大的順序連接起來．2．變換作圖法常用的有水平平移變換、豎直平移變換、翻折變換等．3．作函數(shù)圖象時應特別注意：頂點、端點、圖象與x軸的交點等這些特殊點．4．作圖時應首先看清函數(shù)的定義域．【典型例題1】作出下列函數(shù)的圖象：（1）y＝－x＋1,x∈Z；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)；（3）y＝｜1－x|；（4)y＝思路分析：作函數(shù)圖象,首先明確函數(shù)的定義域,其次明確函數(shù)圖象的形狀，體會定義域?qū)D象的控制作用，處理好端點．如，第（4)小題x＝0時的情況．作圖時，如第（2)小題，先不受定義域限制作出完整的拋物線，然后再根據(jù)定義域截?。瘮?shù)圖象的形狀可以是一條或幾條無限長的平滑曲線，也可以是一些點、一些線段、一段曲線等．解：(1)定義域為Z，所以圖象為離散的點．圖象如圖(1）所示．（2）y＝2x2－4x－3＝2(x－1）2－5（0≤x＜3)，定義域不是R，因此圖象不是完整的拋物線，而是拋物線的一部分．圖象如圖（2)所示．（3）先根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值號，再寫成分斷函數(shù)y＝圖象如圖(3）所示．（4）這個函數(shù)的圖象由兩部分組成．當0≤x≤1時，為拋物線y＝x2的一段；當－1≤x＜0時，為直線y＝x＋1的一段．圖象如圖（4）所示．探究二求函數(shù)解析式1．若已知函數(shù)類型求解析式，則可用待定系數(shù)法求解．若f（x)是一次函數(shù)，可設f(x）＝kx＋b(k≠0），若f(x）是二次函數(shù),可設f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0），然后利用題目中的已知條件，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組,進而求出待定的系數(shù)．2．若不清楚函數(shù)類型,可采用配湊法或換元法．【典型例題2】(1)已知f＝，求f(x）；（2)已知f（x）為一次函數(shù)，且f(f（x)）＝9x＋4,求f（x）．思路分析：(1）利用“換元法”或“配湊法”;(2)利用待定系數(shù)法．解：（1)方法一：令＝t，則x＝,且t≠0，∴f（t）＝＝＝，∴f(x)＝（x≠0）．方法二：f＝＝，∴f(x）＝（x≠0)．(2)設f（x)＝ax＋b（a≠0)．f（f(x）)＝af(x）＋b＝a（ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b。由題設知解得或∴f（x）＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.探究三分段函數(shù)及其應用求解分段函數(shù)問題三注意1．求f（f（a))的值時，應從內(nèi)到外依次取值,直到求出值為止．2．已知函數(shù)值，求自變量的值時,切記要進行檢驗．解題時一定要注意自變量的范圍,只有在自變量確定的范圍內(nèi)才可以進行運算．3．已知f(x），解關(guān)于f（x)的不等式時，要先在每一段內(nèi)求交集，最后求并集．【典型例題3】已知f（x)＝若f（x)＞2，求x的取值范圍．思路分析：在x≥－2時,由x＋2＞2,解得x＞0后，需與x≥－2求交集,得x＞0；當x＜－2時，由－x－2＞2，得x＜－4，與x＜－2求交集，得x＜－4。然后求x＞0與x＜－4的并集得最后結(jié)果．解：當x≥－2時，f(x)＝x＋2，由f(x)＞2，得x＋2＞2，解得x＞0，故x＞0；當x＜－2時,f(x)＝－x－2,由f（x)＞2,得－x－2＞2，解得x＜－4,故x＜－4.綜上可得，x＞0或x＜－4.【典型例題4】已知函數(shù)f(x）＝(1)求f(－8)，f，f，f的值；(2）作出函數(shù)的簡圖；(3）求函數(shù)的值域．思路分析：給出的函數(shù)是分段函數(shù)，應注意在不同的自變量取值范圍內(nèi)有不同的解析式．（1)根據(jù)自變量的值，選用相應關(guān)系式求函數(shù)值．(2)在不同的區(qū)間,依次畫出函數(shù)圖象．解：函數(shù)的定義域為[－1，0)∪[0，1）∪[1，2］＝［－1,2]．(1)因為－8?［－1，2］,所以f(－8)無意義．當x∈［－1，0）時，f(x)＝－x，所以f＝－＝。當x∈[0,1）時，f(x）＝x2，所以f＝2＝.當x∈[1,2］時,f（x）＝x，所以f＝。(2）根據(jù)題中函數(shù)的表達式,在平面直角坐標系中作出的函數(shù)圖象如圖所示．（3）由(2）中畫出的圖象可知，函數(shù)的值域為[0，2]．探究四易錯辨析易錯點缺乏檢驗意識而致誤【典型例題5】已知f（x）＝若f(a)＝,求a的值．錯解：∵f(a)＝∴令|a－1｜－2＝,得a＝或a＝－.再令＝,得a＝±2.綜上可知滿足f（a)＝的a的值為－，，±2.錯因分析：沒有對求得的a的值進行驗證．正解：∵f（a)＝∴當｜a|≤1時，令|a－1|－2＝，解得a＝或a＝－.又∵｜a|≤1，∴a＝和a＝－均不符合題意，舍去