微分中值定理

第一節(jié)微分中值定理

羅爾(Rolle)定理拉格朗日(Lagrange)中值定理柯西(Cauchy)中值定理羅爾(Rolle)定理幾何解釋:AB證拉格朗日(Lagrange)中值定理(或微分中值定理)f(b)-f(a)b-a證:作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.幾何解釋:f(b)-f(a)b-a若圖2的函數(shù)是用參數(shù)方程

如圖3此時弦AB的斜率為

柯西(Cauchy)中值定理證:

作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:

柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同錯!上面兩式相比即得結(jié)論.Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；注意:若定理的條件不滿足,其結(jié)論可能不成立.如:下列例子中羅爾定理結(jié)論都不成立題型一例1不求導(dǎo)數(shù),判斷f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的導(dǎo)數(shù)有幾個根,以及所在的區(qū)間。例4設(shè)證:例6證由零點定理即為方程小于1的正實根.矛盾,題型二:求滿足定理條件的值例7求在上滿足Lagrange中值定理的值例8證題型三:用Lagrange中值定理證明不等式證2(p153)由上式得證：令f(t)=，f(t)在[0,x]上可導(dǎo)，由中值定理得，使得f(x)-f(0)=(x-0)即，而故例9證明：對任意的x>0,有例例例推論1推論2C為確定的常數(shù)題型四:用Lagrange中值定理的推論證明恒等式證:

在(a,b)

上任取兩點日中值公式,得由的任意性知,在(a,b)上為常數(shù).例10證:

設(shè)

(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.

證明等式例例11.試證至少存在一點使證:

法1

用柯西中值定理.則f(x),F(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理條件,令因此

即分析:題型五:用柯西中值定理證明不等式例11.試證至少存在一點使法2

令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理條件,使因此存在例12證分析:結(jié)論可變形為題型五:其它一些證明題中值定理的數(shù)學(xué)符號簡潔表述如下:四、小結(jié)Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.思考題

試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可.思考題解答不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；且不滿足在開區(qū)間內(nèi)可微的條件；以上兩個都可說明問題.練習(xí)題練習(xí)題答案定義4.1(極值)函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點