第17講 三角函數(shù)中ω的范圍與最值問題（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊）（含答案解析）

第17講三角函數(shù)中ω的范圍與最值問題【人教A版2019】模塊一模塊一有關(guān)ω的范圍與最值問題1．三角函數(shù)中ω的范圍與最值的求解一般要利用其性質(zhì)，此類問題主要有以下幾個類型：(1)三角函數(shù)的單調(diào)性與ω的關(guān)系；(2)三角函數(shù)的對稱性與ω的關(guān)系；(3)三角函數(shù)的最值與ω的關(guān)系；(4)三角函數(shù)的周期性與ω的關(guān)系；(5)三角函數(shù)的零點與ω的關(guān)系.2．利用三角函數(shù)的單調(diào)性求ω的解題策略對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)ω的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題，利用特值驗證排除法求解更為簡捷.3．利用三角函數(shù)的對稱性求ω的解題策略三角函數(shù)兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為，相鄰的對稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為，這就說明，我們可根據(jù)三角函數(shù)的對稱性來研究其周期性，解決問題的關(guān)鍵在于運用整體代換的思想，建立關(guān)于ω的不等式組，進而可以研究“ω”的取值范圍.4．利用三角函數(shù)的最值求ω的解題策略若已知三角函數(shù)的最值，則利用三角函數(shù)的最值與對稱軸或周期的關(guān)系，可以列出關(guān)于ω的不等式(組)，進而求出ω的值或取值范圍.5．利用三角函數(shù)的周期性求ω的解題策略若已知三角函數(shù)的周期性，則利用三角函數(shù)的周期與對稱軸、最值的關(guān)系，列出關(guān)于ω的不等式(組)，進而求出ω的值或取值范圍.【題型1與單調(diào)性有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例1.1】（23-24高一下·廣東佛山·期中）已知函數(shù)y=sin3x+φ0<φ<π在區(qū)間?2A．0,π6 B．π6,π4【解題思路】由整體法可得3x+φ∈?【解答過程】當x∈?2π因為0<φ<π，所以?2π所以?π2≤?2π3+φ故選:B．【例1.2】（2024·貴州·模擬預(yù)測）若函數(shù)f(x)=2cosωx+π3(ω>0)在0,A．13 B．23 C．1 【解題思路】先由x∈0,π2【解答過程】x∈0,π2函數(shù)f(x)=2cosωx+π所以π3<ωπ2+π3故選：D.【變式1.1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若函數(shù)f(x)=sin(ωx)(ω>0)在0,π4上單調(diào)遞增，則A．0,12 B．(0,2) C．0,1【解題思路】由已知結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【解答過程】函數(shù)f(x)=sin(ωx)(ω>0)在當x∈0,π4時，ωx∈0,π故選：D.【變式1.2】（23-24高一下·廣東佛山·期中）已知函數(shù)fx=sinωx?π3(ω>0)，若函數(shù)fA．1,2 B．1,116 C．53【解題思路】根據(jù)條件，利用y=sinx的性質(zhì)，得到53【解答過程】由π2+2kπ又因為fx在π2,π上單調(diào)遞減，所以得到53+4k≤ω≤116+2k,k∈Z，又令k=0，得到53故選：D.【題型2與對稱性有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例2.1】（24-25高三上·山東德州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=sinωx+π6（ω>0）在區(qū)間A．1315,16C．715,23 D．7【解答過程】由函數(shù)fx=sin令ωx+π6=因為fx=sinωx+π顯然當k=0時，x=π3ω為故π3ω+2即ω的取值范圍是715故選：C.【例2.2】（24-25高三上·浙江·開學(xué)考試）函數(shù)f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)的圖象在區(qū)間(0,1)A．(π6,C．(π3,【解題思路】求出相位的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式求解即得.【解答過程】由x∈(0,1)，得π6由f(x)的圖象在區(qū)間(0,1)上恰有一個對稱中心，得π2所以π3故選：C.【變式2.1】（23-24高一下·安徽·期末）函數(shù)fx=sinωx+π3(ω>0)A．23π,C．23π,【解題思路】利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于ω的不等式，求解即可．【解答過程】由x∈0,1，設(shè)t=ωx+π3，則t∈π3,ω+π3所以π<ω+π3故選：C.【變式2.2】（23-24高一下·浙江麗水·期末）已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx?π3)(ω>12，x∈R)，若A．(12,C．[59,【解題思路】由已知得12×2πω≥4π【解答過程】因為f(x)的圖像的任何一條對稱軸與x軸交點的橫坐標均不屬于區(qū)間(3π所以12所以12又kπ+π2≤3ωπ又因12所以6k+518當k=1時，1118當k=2時，1718所以k∈11故選：D.【題型3與最值有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例3.1】（23-24高三上·廣東深圳·期末）若函數(shù)f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)在(0,A．0,43 B．43,163【解題思路】根據(jù)給定條件，求出相位的范圍，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式求解即得.【解答過程】當x∈(0,π4)由函數(shù)f(x)=cos(ωx+π得π<πω所以ω的取值范圍是(10故選：D.【例3.2】（24-25高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sinωx+π6(ω>0)在區(qū)間0,A．23,+∞ B．23,4【解題思路】由條件求出ωx+π【解答過程】因為0≤x<π2，所以π6由已知，3ω+1π所以ω>8所以ω的取值范圍是83故選：C.【變式3.1】（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間[?2π3,5A．(0,35] B．[12,【解題思路】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合單調(diào)區(qū)間及最值情況，列出不等式求解即得.【解答過程】函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)，由?π2≤ωx≤π2，得?π2ω≤x≤π2ω由x∈[0,π]，得ωx∈[0,πω]，由f(x)在[0,π所以ω的取值范圍是12故選：B.【變式3.2】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=4cosωx?π12(ω>0),fx在區(qū)間A．1,4 B．4,7 C．7,13 D．13,+【解題思路】根據(jù)函數(shù)能否取到最小值進行分類討論即可.【解答過程】當x∈0,π3時ωx?π12所以π3ω?π若π3ω?π12≥π，此時f代入可得π3若fx取不到最小值?4，則需滿足π3ω?pω=4cosπ3所以ω=4或者ω∈74,134故選：C.【題型4與周期有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例4.1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=sinωx+π3(ω>0)的周期為T，且滿足T>2π，若函數(shù)A．34,1 C．23,1 【解題思路】由函數(shù)fx在區(qū)間π6,π4不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為在π令ωx+π3則函數(shù)fx對稱軸方程為∵函數(shù)fx在區(qū)間π∴π6<k又由T>2π，且ω>0，得0<ω<1故僅當k=0時，23故選：C.【例4.2】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）記函數(shù)fx=sinωx+φω>0,0<φ<π2的最小正周期為T.若fT=A．2 B．3 C．4 D．6【解題思路】先求出函數(shù)的周期T=2πω，再由fT=32可求出【解答過程】因為fx=sinωx+φω>0,0<φ<所以sinω?因為0<φ<π2，所以所以fx因為x=π6為所以fπ所以π6ω+π因為ω>0，所以ω的最小值為4，故選：C.【變式4.1】（23-24高一上·廣東深圳·期末）記函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為T，若fT=12，π9,0為f(x)圖像的對稱中心.則ω的最小值為32.【解題思路】首先表示出T【解答過程】解：因為fx=cosωx+φ，（所以最小正周期T=2πω又0<φ<π，所以φ=π3又x=π9為fx的零點，所以π因為ω>0，所以當k=0時ωmin故答案為：32【變式4.2】（2024·廣東佛山·一模）已知函數(shù)fx=sinωx+φ（其中ω>0，φ<π2）.T為fx的最小正周期，且滿足f13T【解題思路】根據(jù)題意可得x=512T為fx的一條對稱軸，即可求得φ=?π【解答過程】由題意可得：fx的最小正周期T=∵f13T=f12T∴ω×512T+φ=又∵φ∈?π2故fx∵x∈0,π，則若函數(shù)fx在區(qū)間0,π上恰有2個極值點，則32故ω的取值范圍是116故答案為：116【題型5與零點有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例5.1】（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=cosωx?π6(ω>0)A．0,23 B．0,53 C．【解題思路】先求出ωπ2+π3<ωx+π【解答過程】函數(shù)fx=cos當x∈π2,由題設(shè)可得存在整數(shù)k，使得ωπ解得?2而ω>0，故k≥0且k≤43，故當k=0時，?23≤ω≤23結(jié)合ω>0可得ω的取值范圍為0,2故選：D．【例5.2】（23-24高一上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知函數(shù)fx=2cos2ωx+π3ω>0A．56,4C．712,13【解題思路】根據(jù)所給角的范圍求出2ωx+π【解答過程】當x∈0,π時，因為fx在0,所以3π2≤2故選：C.【變式5.1】（2024·福建龍巖·三模）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2,x=?π4為f(x)的零點，x=π4為f(x)圖象的對稱軸，且f(x)在0,π6【解題思路】根據(jù)對稱性可得ω=2k+1,k∈Z，即可分別取ω=11和ω=9，代入求解φ【解答過程】f(x)=∵x=?π4為f(x)的零點,x=π∴π∵ω>0∴ω=2k+1,k∈Z+當ω=11時，f(x)=114π∵φ<∴f(x)=sin(11x?π4)當x∈(0,當ω=9時，f(x)=94π+φ=π∴f(x)=sin(9x+π4)當x∈(0,π6故選：B.【變式5.2】（24-25高一上·河北衡水·期中）設(shè)函數(shù)fx=cosωx?π3ω>0A．176,23C．173,23【解題思路】求出ωx?π3的范圍，利用余弦函數(shù)性質(zhì)列不等式組求解可得.【解答過程】又因為fx在0,∴7π故選：B.【題型6ω的范圍與最值問題：性質(zhì)綜合問題】【例6.1】（2024·湖南邵陽·三模）將函數(shù)fx=sinωxω>0的圖象向右平移π3ω個單位長度后得到函數(shù)gx的圖象，若gx在區(qū)間A．13,1∪43,73 【解題思路】先求出gx，結(jié)合gx在區(qū)間?π18,0上單調(diào)遞增可得0<ω≤3，再由g【解答過程】由題意可得：gx因為gx在區(qū)間?因為x∈?π18所以?ωπ18?又gx在區(qū)間π所以x∈π3,結(jié)合0<ω≤3，所以?π所以這個零點可能為ωx?π3=0或ωx?當ωx?π3=0時，ω解得：ω∈1當ωx?π3=π時，解得：ω∈4當ωx?π3=2π時，2π<故選：A.【例6.2】（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=2cosωx+π6ω>0在0,A．52,176 B．52,4【解題思路】由fx在0,π有且僅有2個極值點，可得2π<ωπ+π6≤3π，解得116【解答過程】因為fx在0,所以2π<ωπ因為fx在π又π3,11解得52≤ω≤4，所以故選：A．【變式6.1】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=sinωx+π3（ω>0）在區(qū)間0,5π6A．45,2 B．45,54【解題思路】由x范圍求得ωx+π3的范圍，結(jié)合整體思想轉(zhuǎn)化為y=sint在【解答過程】當x∈0,5π因為f(x)在0,5所以π<5π6ω+π3≤2因為45<ω≤2，所以又因為f(x)在?2所以?π2≤?綜上可得45故選：C.【變式6.2】（23-24高二下·江蘇南京·期末）已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0,φ<π2的最小正周期為T,fA．7π2,4π B．4π,【解題思路】根據(jù)題意得到曲線fx的一條對稱軸為x=T6+T32【解答過程】因為fx=sin所以曲線fx的一條對稱軸為x=所以f0設(shè)零點從小到大依次為x1,x有72T≤2<4T，即7π所以ω的取值范圍是7π故選：A．一、單選題1．（24-25高三上·江蘇南京·期中）已知函數(shù)fx=x?43cosωxω>0，存在常數(shù)a∈A．π12 B．π8 C．π4 D．π2【解題思路】求出fx+a，由題意確定a【解答過程】因為fx所以fx+a因為存在常數(shù)a∈R，fx+a為偶函數(shù)，則此時y=cos所以4ω=π2+k因為ω>0，所以ω的最小值為π8故選：B.2．（24-25高三上·山西呂梁·期中）當x∈0,2π時，曲線y=2sinωx?π3ω>0A．53,136 B．53,【解題思路】根據(jù)題意分別作出y=sinπ?x2【解答過程】由y=sinπ?x2對于fx=2sinωx?π令fx=0，得ωx?π3=kπ，由y=2sinωx?π3與由圖知10π3ω≤2故選：B.

3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2sinωx?π6(ω>0)在0,π3上存在最值，且在2π3,π上單調(diào)，則ω的取值范圍是（）【解題思路】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，得出2πω3?π6≥k【解答過程】當0<x<π3時，因為ω>0，則因為函數(shù)fx在0,π3上存在最值，可得ω當2π3<x<因為函數(shù)fx在2π3所以2πω3?π所以32k?1又因為ω>2，則43<k≤73，所以因此ω的取值范圍是52故選：D．4．（24-25高三上·四川·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinωx+1ω>0在區(qū)間0,A．72,112 B．72,【解題思路】利用三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合整體思想計算即可.【解答過程】因為0<x<π，所以0<ωx<ω令fx=sin所以72π<ω則ω的取值范圍是72故選：B.5．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2，x=?π4是函數(shù)的一個零點，且x=π4是其圖象的一條對稱軸.若fx【解題思路】由已知可得T=2π2k+1k∈Z，結(jié)合T=2πω，得到ω=2k+1（k∈Z），再由π9,π【解答過程】由題意，得14+k又T=2πω，∴ω=2k+1∵π9,π6是fx的一個單調(diào)區(qū)間，∴∵T=2π2k+1，∴2k+1≤18①當k=8，即ω=17時，?174π+φ=kπ，k∈∵|φ|<π2，∴φ=π4，此時∴ω=17不符合題意；②當k=7，即ω=15時，?154π+φ=kπ，k∈∵|φ|<π2，∴φ=?π4，此時∴ω=15不符合題意；③當k=6，即ω=13時，?134π+φ=kπ，k∈∵|φ|<π2，∴φ=π4，此時∴ω=13符合題意，故選：D.6．（24-25高三上·河北衡水·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=0,x=34π+kπωA．23,2 B．0,23 C．【解題思路】根據(jù)題意分析可知fx的最小正周期T=πω，fx的零點為2k+1π4ω，【解答過程】因為ω>0，由正切型函數(shù)可知：fx的最小正周期T=πω，且fx的零點為顯然fx在區(qū)間x,x+T內(nèi)至少有1個零點，在區(qū)間x,x+若函數(shù)fx在區(qū)間?則3T2>3π8若0<ω<3，因為x∈?π8且?5π即?5π則?π結(jié)合題意可知：?π2，0中有且僅有一個屬于由題意可知：?π2<解得：23<ω≤2，所以ω的取值范圍為故選：A.7．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=cos(2ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象過點A(0,12)，且對任意xA．[23,C．[23,【解題思路】根據(jù)給定條件，利用圖象所過點求出φ，再利用單調(diào)遞增區(qū)間求出ω范圍.【解答過程】依題意，f(0)=cosφ=12，而0<φ<π由對任意x1,x得函數(shù)f(x)在(π當x∈(π2,而余弦函數(shù)y=cosx的遞增區(qū)間為：[2kπ?于是πω+π3≥2kπ即16<k<136，而k∈Z所以ω的取值范圍是23≤ω∈5故選：C.8．（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）已知fx=sinωx+πA．φ=B．若gx的最小正周期為3πC．若gx在區(qū)間0,π上有且僅有3個最值點，則ωD．若gπ4=【解題思路】先根據(jù)fx是偶函數(shù)求φ【解答過程】fx則π3若gx的最小正周期為3π，由g(x)=sin(ωx+φ)∵x∈(0,π),ωx+π6∈(則5π若∵g(x)=sin(ωx+π則ωπ4+π6則ω=23+8k或ω=2+8k,k∈Z，又因為ω>0，則故選:D.二、多選題9．（23-24高一下·遼寧撫順·期中）若函數(shù)f(x)=cosωx?π12(ω>0)在πA．116 B．18 C．38【解題思路】根據(jù)余弦函數(shù)只能在半個周期內(nèi)單調(diào)可得0<ω≤2，再通過整體法確定ωx?π12的取值范圍，最后求解【解答過程】由題意函數(shù)f(x)的最小正周期為T=2因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[π可得2π則0<ω≤2．因為x∈π所以ωx?π因為0<ω≤2，所以?π因為f(x)在π6所以ωπ6解得0<ω≤18或故選：AB.10．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)，其部分圖象如圖所示，且直線y=A與曲線y=f(x)?π24≤x≤A．A=2B．y=f(x+πC．fD．若f(x)在區(qū)間a,a+π6（其中a>0）上單調(diào)遞增，則a【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象求出T、ω，再根據(jù)面積求出A，最后根據(jù)函數(shù)過點?π24,2【解答過程】依題意可得T2=5π24??π24又直線y=A與曲線y=f(x)?π24所以π=12所以f(x)=2sin4x+φ，又函數(shù)過點?π又0<φ<π，則?π6<?π所以f(x)=2sin則y=fx+因為f(x)=2sin所以f=2sin4×又T=π2，2024=4×506所以令3π2+2kπ所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為5π因為f(x)在區(qū)間a,a+π6（其中所以a,a+π6?即a≥5π24+kπ2a+即a的取值范圍是5π24+k故選：AC.11．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=cosA．當ω=2時，fx?π6B．當ω=2時，fx在0,πC．當x=π6為fxD．當fx在?π3【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)分別判斷余弦函數(shù)的對稱軸，余弦函數(shù)的值域與最值，余弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦函數(shù)的零點對選項逐一判定即可．【解答過程】ω=2時，fx?π6所以fx?π6ω=2時，由x∈0,π2根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知cos2x+π3若fπ6=0，則π6ω+π3=π所以ω的最小值為1，故C正確；因為fx在?π3,π6kπ≤ωx+π3≤2kπ+所以π6≤2π3ω故選：ACD．三、填空題12．（24-25高三上·上?！て谥校┖瘮?shù)fx=2sinωx?π6（ω>0）在0,π3上存在最小值【解題思路】先由x的范圍求得ωx?π6的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于【解答過程】因為x∈0,π3因為函數(shù)fx=2sinωx?π所以π3ω?π所以實數(shù)ω的最小值是5.故答案為：5.13．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）若函數(shù)fx=sinωx?π4與gx=sin【解題思路】確定ω>0，根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間求出ω的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的周期性求出ω的范圍可得答案.【解答過程】當ω=0時，fx當ω<0時，fx若在區(qū)間0,π2上單調(diào)遞增，則在y=可得π4<?ωx+π4<?所以y=sin?ωx+π4在于是ω>0.若函數(shù)fx=sinωx?π4在區(qū)間若函數(shù)gx=sin2kπ?π因為ω>0，所以k=0時，0<ω≤1綜上所述，0<ω≤1故答案為：0,114．（2024·江蘇南京·二模）已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0,φ∈R在區(qū)間π4,π2上單調(diào)，且滿足fπ3【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及零點個數(shù)求出周期的范圍，即可解得ω的取值范圍.【解答過程】不妨設(shè)函數(shù)fx的周期為T因為fx在區(qū)間π4,π2又fπ3=0，可得π2?又fx在區(qū)間π3,11綜上可得2π3≤T<解得83<ω≤3，即ω的取值范圍為故答案為：83四、解答題15．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）已知函數(shù)f(x)=cosωx?π4（ω為正整數(shù)）在【解題思路】需要分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減兩種情況來討論，然后利用三角函數(shù)中余弦函數(shù)的性質(zhì)的單調(diào)性的應(yīng)用，集合的對立關(guān)系的應(yīng)用求出ω的最小值．【解答過程】解：當函數(shù)嚴格增時，?π+2kπ≤ωx?π4若函數(shù)在π3則?3π4ω即2kπω?當k=0時，?9當函數(shù)嚴格減時，2kπ≤ωx?π整理得π4ω+2k若函數(shù)在π3則π4ω+2k即2kπω+當k=0時，34由于函數(shù)fx在π3,所以ω的取值為①②所表示的不等式的補集，所以ω的最小值為3．16．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)函數(shù)f(x)=sinωx+π6（ω>0），若f(x)?f?【解題思路】利用fx≥f?π3得?【解答過程】若fx≥f?可得fx的最小值為f可得?ωπ3即有ω=2?6k，k∈Z，由ω>0，可得ω的最小值為2，此時k=0.17．（23-24高一下·甘肅慶陽·期中）已知函數(shù)fx