第14講 三角函數(shù)的圖象與性質（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊）

第14講三角函數(shù)的圖象與性質【人教A版2019】模塊一模塊一正弦函數(shù)、余弦函數(shù)1．正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象(1)正弦函數(shù)的圖象①根據(jù)三角函數(shù)的定義，利用單位圓，我們可以得到函數(shù)y=,x∈[0,2π]的圖象，如圖所示.

②五點法觀察圖，在函數(shù)y=,x∈[0,2π]的圖象上，以下五個點：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)在確定圖象形狀時起關鍵作用.描出這五個點，函數(shù)y=,x∈[0,2π]的圖象形狀就基本確定了.因此，在精確度要求不高時，常先找出這五個關鍵點，再用光滑的曲線將它們連接起來，得到正弦函數(shù)的簡圖.這種作圖的方法叫做“五點(畫圖)法”.(2)余弦函數(shù)的圖象

①圖象變換法作余弦函數(shù)的圖象

由誘導公式六，我們知道，而函數(shù),x∈R的圖象可以通過正弦函數(shù)y=,x∈R的圖象向左平移個單位長度而得到.所以將正弦函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，就得到余弦函數(shù)的圖象，如圖所示.②五點法作余弦函數(shù)的圖象

類似于正弦函數(shù)圖象的作法，從余弦函數(shù)y=,x∈R的圖象可以看出，要作出函數(shù)y=在[0,2]上的圖象，起關鍵作用的五個點是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出這五個點，然后把這五個點用一條光滑的曲線連接起來就得到了函數(shù)y=在[0,2]上的簡圖，再通過左右平移(每次移動2個單位長度)即可得到余弦函數(shù)y=,x∈R的圖象.(3)正弦曲線、余弦曲線

正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.它們是具有相同形狀的“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.2．正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(1)周期函數(shù)①定義：一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

②最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象與性質如下表：函數(shù)y=sinxy=cosx圖象定義域RR值域[-1,1][-1,1]周期性最小正周期：2π最小正周期：2π奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調性增區(qū)間減區(qū)間最值圖象對稱性對稱中心：

對稱軸方程：對稱中心：

對稱軸方程：3．正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)的性質函數(shù)和的性質函數(shù)定義域RR值域[-|A|,|A|][-|A|,|A|]單調性當A>0,ω>0時，將ωx+φ視為整體，代入y=sinx或y=cosx相應的單調區(qū)間求解；當A<0或ω<0時，注意單調區(qū)間的變化.奇偶性當φ=kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)，

當時為偶函數(shù).當φ=kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)，

當時為奇函數(shù).周期性圖象

對稱性將ωx+φ視為整體，代入y=sinx或y=cosx相應的對稱軸方程或對稱中心的橫坐標滿足的方程求解.【題型1正、余弦函數(shù)圖象及應用】【例1.1】（24-25高三上·河北滄州·階段練習）當x∈?3π,3π時，曲線y=cosA．4 B．5 C．6 D．7【例1.2】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）已知函數(shù)fx的部分圖象如圖所示，則fx的解析式可能為（A．fx=2C．fx=2【變式1.1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）作出下列函數(shù)的大致圖像：(1)y=sin(2)y=3sin【變式1.2】（23-24高一下·四川成都·階段練習）已知函數(shù)fx(1)在下列網(wǎng)格紙中利用“五點作圖法”作出函數(shù)fx(2)若方程fx=a在x∈0,【題型2正、余弦函數(shù)的定義域、值域與最值】【例2.1】（23-24高一上·安徽·期末）函數(shù)y=sin2x+πA．[0,1] B．?12,1 C．?【例2.2】（23-24高一下·山東日照·期中）函數(shù)y=2sinx?1A．π3,5π6 B．π3【變式2.1】（24-25高一上·湖南衡陽·階段練習）已知函數(shù)f(x)=2cos(2ωx+π(1)求ω的值，并求f(x)的單調遞減區(qū)間；(2)求f(x)的對稱軸；(3)求f(x)在[0,π【變式2.2】（23-24高一下·陜西渭南·期中）已知函數(shù)f(x)=2sinωx?π(1)求f(x)的對稱軸方程．(2)求f(x)在0,π2上的最值及其對應的【題型3正、余弦函數(shù)的圖象與性質】【例3.1】（24-25高三上·江西·階段練習）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)當x∈0,5π【例3.2】（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)f(x)=sin2x+a(1)當a=1時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若f(x)的最大值為1，求實數(shù)a的值；【變式3.1】（24-25高一上·上?！卧獪y試）已知函數(shù)f(x)=2sin(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的嚴格減區(qū)間；(3)若x∈0,π2時，f(x)【變式3.2】（23-24高一下·廣東中山·階段練習）已知fx(1)求函數(shù)fx(2)求函數(shù)fx(3)x∈?3π【題型4正、余弦函數(shù)的含參問題】【例4.1】（24-25高三上·廣西南寧·階段練習）已知函數(shù)f(x)=sinωx+π6(ω>0)在區(qū)間0,A．23,+∞ B．23,4【例4.2】（24-25高三上·北京·階段練習）已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2，x=?π4A．18 B．17 C．14 D．13【變式4.1】（24-25高三上·山東德州·階段練習）設函數(shù)fx=sinωx+π6（ω>0）在區(qū)間0,5π上恰好有3條對稱軸，則ω的取值范圍是（C．715,2【變式4.2】（2024·安徽·模擬預測）已知函數(shù)fx=cosωx?π6(ω>0)A．0,23 B．0,53 C．模塊模塊二正切函數(shù)1．正切函數(shù)的性質與圖象(1)正切函數(shù)的圖象及性質定義域周期性由誘導公式可知，正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是π.奇偶性由誘導公式可知，正切函數(shù)是奇函數(shù).圖象單調性正切函數(shù)在每一個區(qū)間上都單調遞增值域正切函數(shù)的值域是實數(shù)集R對稱中心(2)三點兩線法作正切曲線的簡圖類比于正、余弦函數(shù)圖象的五點法，我們可以采用三點兩線法作正切函數(shù)的簡圖.“三點”是指點(-,-1),(0,0),(,1);“兩線”是指直線x=-和x=.在三點、兩線確定的情況下,可以大致畫出正切函數(shù)在區(qū)間(-,)上的簡圖.【題型5正切函數(shù)的定義域、值域與最值】【例5.1】（23-24高一上·陜西寶雞·期末）函數(shù)fx=?3tanA．xx≠π4C．xx≠2kπ+【例5.2】（23-24高一下·江西·階段練習）函數(shù)fx=3tan2x+πA．33,33 B．33,3【變式5.1】（24-25高一上·上海·課堂例題）求函數(shù)y=tan2x?【變式5.2】（23-24高一下·上?！ふn后作業(yè)）求下列函數(shù)的值域：（1）y=1+（2）y=tan【題型6正切函數(shù)的圖象與性質】【例6.1】（24-25高三上·黑龍江綏化·階段練習）已知函數(shù)fx=tan2x?π3②fx在5③2π3,0為④fx最小正周期為A．0 B．1 C．2 D．3【例6.2】（23-24高一下·陜西渭南·期中）已知函數(shù)fx=tanA．π2是函數(shù)fx的一個周期 B．函數(shù)fxC．函數(shù)fx的圖像關于點2024π,0對稱 【變式6.1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)試比較fπ與f【變式6.2】（24-25高一上·上海·課堂例題）設函數(shù)f(x)=tan(1)求函數(shù)f(x)的定義域、最小正周期和單調區(qū)間；(2)求不等式?1≤f(x)≤3(3)作出函數(shù)y=f(x)在一個周期內的簡圖.【題型7正切函數(shù)的含參問題】【例7.1】（24-25高三上·河北邢臺·階段練習）若函數(shù)fx=1?tanωx?π4ω≠0在0,1上單調遞增，則ω的取值范圍是（C．0,π4 【例7.2】（23-24高一上·廣東·期末）若函數(shù)y=tan(x?φ)(φ≥0)的圖象與直線x=π沒有交點，則φA．0 B．π4 C．π2 【變式7.1】（2024·安徽馬鞍山·一模）已知函數(shù)fx=tanωx+φ（ω>0，φ<π2）的圖象經(jīng)過點0,3，若函數(shù)A．23,5C．53,8【變式7.2】（23-24高三上·河南南陽·期末）已知?14,m,14,m,3A．π B．2π C．π2 【題型8三角函數(shù)的零點問題】【例8.1】（24-25高二上·浙江·開學考試）設函數(shù)fx=2sinωx+φ?1(ω>0)，若對于任意實數(shù)φ,fxA．83,5 B．4,5 C．4,20【例8.2】（24-25高三上·浙江·階段練習）函數(shù)fx=sinx?cosA．π B．2π C．3π【變式8.1】（23-24高一下·陜西西安·期末）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)求函數(shù)fx在區(qū)間0,2π【變式8.2】（23-24高一下·山東日照·期中）已知函數(shù)fx=?2sin(1)當t=23，x∈π2,(2)設函數(shù)fx在?π,?①求t的取值范圍；②證明：m+n>?3【題型9與三角函數(shù)相關的復合函數(shù)】【例9.1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）求下列函數(shù)的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值時x的集合：(1)y=3cos2x(2)y=cosx?sin【例9.2】（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知函數(shù)f(x)=sin2x+a(1)當a=1時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若f(x)的最大值為1，求實數(shù)a的值；(3)對于任意x∈0,π3，不等式f(x)≥【變式9.1】（24-25高一上·上?！卧獪y試）求下列函數(shù)的值域.(1)f(x)=tan(2)f(x)=|sinx|+2cos(3)f(x)=sin【變式9.2】（24-25高二上·山東日照·開學考試）設a為常數(shù)，函數(shù)f(x)=?2sin(1)當a=1時，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上有兩個不同的零點，求實數(shù)(3)當?1≤a≤1時，設n為正整數(shù)，f(x)在區(qū)間(0,nπ)上恰有2024個零點，求所有可能的正整數(shù)一、單選題1．（24-25高三上·安徽·階段練習）當x∈0,2π時，曲線y=cosx與A．3 B．4 C．5 D．62．（24-25高三上·上?！ら_學考試）函數(shù)y=tan(?3x+πA．[kπ?π3,kπ+π3C．[kπ3?π9,kπ3．（24-25高三上·四川綿陽·階段練習）函數(shù)fx=Acosωx+φA．fx=2cosC．fx=2cos4．（24-25高三上·山西·階段練習）已知x∈?π2,πA．0,13 B．0,3 C．135．（24-25高二上·貴州貴陽·階段練習）已知函數(shù)fx=2cosA．ω=2B．函數(shù)fx的圖象關于直線x=C．函數(shù)fx的圖象關于點πD．函數(shù)fx的單調遞減區(qū)間為6．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知函數(shù)f(x)=sin3ωx+π6(ω>0)的最小正周期為2π3A．?32 B．?12 7．（24-25高一上·河北衡水·期中）設函數(shù)fx=cosωx?π3ω>0A．176,23C．173,238．（24-25高三上·天津·階段練習）已知fx=sinωx+πA．φ=B．若gx的最小正周期為3πC．若gx在區(qū)間0,π上有且僅有3個最值點，則ωD．若gπ4=二、多選題9．（2024高一上·全國·專題練習）函數(shù)y=sinx,x∈π3,2π與直線A．0 B．1 C．2 D．3 E．410．（24-25高二上·湖北荊州·階段練習）已知函數(shù)fx=cosx，A．函數(shù)mx=fxB．函數(shù)mx=fC．函數(shù)nx=fD．函數(shù)nx=f11．（24-25高三上·山西·階段練習）已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,A．若fx的最小正周期是π，則B．若fx的圖象關于直線x=πC．若fx在0,π2上單調遞增，則D．若23≤ω<53，則三、填空題12．（23-24高一下·上海徐匯·期中）函數(shù)y=2sin2x+π13．（23-24高一下·吉林長春·階段練習）已知函數(shù)y=sin(2x?π6)?m在[0,π214．（24-25高三上·云南昆明·階段練習）已知函數(shù)fx=sinωx+φ（ω>0，φ≤π2），x=?π8為fx的零點，x=π8為四、解答題15．（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)f(x)=請用“五點法”畫出函數(shù)f(x)在一個周期上的圖象（先在所給的表