第05講 函數(shù)的三要素（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊）

第05講函數(shù)的三要素【人教A版2019】模塊一模塊一定義域問題1．函數(shù)的概念(1)一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function)，記作y=f(x)，xA.(2)函數(shù)的四個特征：①非空性：A，B必須為非空數(shù)集，定義域或值域為空集的函數(shù)是不存在的.②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數(shù)值.③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對應(yīng).④方向性：函數(shù)是一個從定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系，如果改變這個對應(yīng)方向，那么新的對應(yīng)所確定的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.2．函數(shù)的三要素(1)定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．(2)值域：與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xA}叫做函數(shù)的值域(range).(3)對應(yīng)關(guān)系：對應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的核心，它是對自變量x實施“對應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”．3．抽象函數(shù)的定義域(1)抽象函數(shù)小括號內(nèi)整體取值范圍一致；(2)定義域是指自變量x的取值范圍.4．求給定解析式的函數(shù)定義域的方法求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應(yīng)使實際問題有意義.5．求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域為[a,b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]上的值域.【題型1具體函數(shù)的定義域的求解】【例1.1】（23-24高一上·河北石家莊·期末）函數(shù)fx=x+1A．23,+∞C．23,1∪【例1.2】（23-24高二上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）若函數(shù)f(x)=1kA．(0,4) B．[0,4) C．[0,4] D．(0,4]【變式1.1】（23-24高一下·廣東汕頭·期中）函數(shù)f(x)=3x?2+1A．{x|x>23且x≠2} B．{x|x<2C．x|23≤x≤2 D．{x|x≥【變式1.2】（23-24高一上·重慶·期末）函數(shù)fx=?A．?1,4 B．?1,0C．?4,1 D．?4,0∪0,1【題型2【例2.1】（23-24高一上·河南·階段練習(xí)）若函數(shù)fx的定義域是1,4，則函數(shù)fx?3的定義域是（A．4,5 B．1,16 C．1,4 D．?2,1【例2.2】（23-24高一上·浙江·期末）若函數(shù)y=fx的定義域為0，4，則函數(shù)y=A．?12,1∪1,32 B．【變式2.1】（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）若函數(shù)f2x?1的定義域為?3,1，則y=f3?4xA．1 B．1,32 C．32【變式2.2】（23-24高一上·湖南衡陽·期中）已知函數(shù)fx+1的定義域為[1,7]，則函數(shù)?x=f(2x)+A．[4,16] B．(?∞,1]∪[3,+∞) C．【題型3復(fù)合函數(shù)的定義域的求解】【例3.1】（23-24高一上·江西南昌·階段練習(xí)）若函數(shù)f2x?1的定義域為?1,1，則函數(shù)y=fx?1A．?1,2 B．0,2 C．?1,2 D．1,2【例3.2】（23-24高一上·河北邢臺·期末）已知函數(shù)fx=11x?2，則函數(shù)A．2,11 B．2,13 C．2,15 D．4,11【變式3.1】（23-24高一上·河南信陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx+1x?1的定義域為(?2,0)，則f(2x?1)的定義域為（A．(?12,12) B．(?5,?1)【變式3.2】（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）若函數(shù)fx的定義域為1,3，則函數(shù)gx=A．1,2 B．1,5 C．1,2 D．1,5模塊二值域問題模塊二值域問題1．復(fù)合函數(shù)的值域求復(fù)合函數(shù)的值域是由內(nèi)向外逐層求解，先看整個函數(shù)的定義域，再依次從內(nèi)層開始求每層的值域，每一個內(nèi)層的值域都對應(yīng)它外面一層的定義域，這樣一層層處理就可以得到整個函數(shù)的值域.2．求函數(shù)值域的一般方法(1)分離常數(shù)法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)單調(diào)性法；(5)換元法；(6)數(shù)形結(jié)合法.【題型4復(fù)雜函數(shù)求值域問題】【例4.1】（23-24高一下·吉林·階段練習(xí)）函數(shù)fx=x+1?4xA．14,+∞ B．54,+∞ C．【例4.2】（23-24高一上·四川宜賓·期中）函數(shù)y=1?x+x2A．13,3 B．13,1∪(1,3] 【變式4.1】（23-24高三·全國·對口高考）已知函數(shù)f(x)的定義域為[1,9]，且當(dāng)1≤x≤9時，f(x)=x+2，則y=[f(x)]2+f(A．[1,3] B．[1,9] C．[12,36] D．[12,204]【變式4.2】（23-24高一上·廣東梅州·階段練習(xí)）設(shè)x∈R，用x表示不超過x的最大整數(shù)，則y=x稱為高斯函數(shù)．例如：π=3，?5,1=?6，已知函數(shù)fx=A．?1,1 B．?1,0 C．1,0 D．?1,0,1【題型5已知值域求參數(shù)問題】【例5.1】（23-24高一上·湖北黃石·期中）若函數(shù)y=ax2+4x+1的值域為0,+∞A．0,4 B．4,+∞ C．0,4 D．【例5.2】（23-24高一下·廣東梅州·期中）已知函數(shù)fx=12x2?x+5在m,nA．4 B．5 C．8 D．10【變式5.1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx=ax+bx2【變式5.2】（23-24高一上·江西贛州·期中）已知函數(shù)fx(1)若fx的定義域為R，求m(2)若fx的值域為0,+∞，求模塊模塊三解析式問題1．函數(shù)解析式的常見求法(1)配湊法：由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式.(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法來求解.(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與或f(-x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).【題型6已知函數(shù)類型求解析式】【例6.1】（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知f(x)是一次函數(shù)，且2f(2)?3f(1)=5，2f(0)?f(?1)=3，則f(x)=（

）A．3x?2 B．3x+2C．92x?12 D．4x?1【例6.2】（23-24高一上·河南駐馬店·階段練習(xí)）設(shè)fx為一次函數(shù)，且ffxA．fx=2x?11或fxC．fx=2x?11 【變式6.1】（23-24高一上·云南昭通·階段練習(xí)）（1）若二次函數(shù)gx滿足g1=1,g（2）已知fx是一次函數(shù)，且滿足fx+1?2f【變式6.2】（23-24高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）（1）已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))=4x?1，求f(x)；（2）已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)=1,f(x+1)?f(x)=2x，求f(x).【題型7已知f(g(x))求解析式】【例7.1】（23-24高一上·湖北·期中）已知fx+1=x+2，則函數(shù)fA．fx=x2 B．C．fx=x2?2x+3（x≥1）【例7.2】（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）已知fx+1=x+3，則fA．fx+1=x+4x≥0C．fx+1=x【變式7.1】（24-25高三上·黑龍江佳木斯·開學(xué)考試）求下列函數(shù)解析式(1)函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=x2+2x+2(2)函數(shù)f(x)滿足2f(x)?f(?x)=x2，求函數(shù)【變式7.2】（24-25高一上·全國·課堂例題）（1）已知fx+1=x+2（2）已知fx為二次函數(shù)，且fx+1+f（3）已知函數(shù)fx對于任意的x都有2f1x【題型8求函數(shù)值或由函數(shù)值求參】【例8.1】（23-24高一上·廣西欽州·期末）若函數(shù)fx=2x?3，且f2a?1=6，則A．114 B．74 C．43【例8.2】（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx的定義域為R，且fx=x3f1A．9 B．10 C．11 D．12【變式8.1】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)求f?2(3)已知f2a+1=4【變式8.2】（23-24高一上·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx對?x,y∈R，都有fx+y+f(1)求證：fx(2)求f2024一、單選題1．（23-24高二上·安徽馬鞍山·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx的定義域為0,1，則函數(shù)fx2A．0,1 B．0,1 C．?1,1 D．?1,02．（23-24高一上·江蘇蘇州·期中）函數(shù)y=1?x+1?2x的值域為（

A．?∞,12 B．0，+∞ 3．（23-24高一上·安徽阜陽·階段練習(xí)）下列各組函數(shù)相等的是（

）A．fx=x2，gxC．fx=1，gx=x4．（23-24高一上·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)?2x]=3，則f(5)=（

）A．11 B．9 C．7 D．55．（24-25高一上·廣東梅州·開學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=mx2+mx+1的定義域是R，則A．0<m≤4 B．0≤m<4 C．m≥4 D．0≤m≤46．（23-24高一上·天津南開·期中）已知fx?1x=xA．fx+1=x+1C．fx+1=x7．（23-24高二下·福建龍巖·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=12x?1,x≥01x,x<0，若A．?13或?3 B．?13或4C．?138．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函數(shù)fx滿足fxy=fx+fy?1A．0 B．1 C．5 D．5二、多選題9．（23-24高一上·山東濰坊·期末）已知函數(shù)f(x)的定義域為R，值域為[?2,3]，則下列函數(shù)的值域也為[?2,3]的是（

）A．y=f(x+1) B．y=f(x)+1 C．y=f(?x) D．y=?f(x)10．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．若fx的定義域為?2,2，則f2x?1B．函數(shù)y=x1?xC．函數(shù)y=2x+1?x的值域為D．函數(shù)fx=x211．（23-24高一上·浙江·期中）已知函數(shù)f(x)定義域為R，且f(x)=x3f1x（x∈(?A．f(0)=0C．f(x)?f(?x)=x D．f(x)=三、填空題12．（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）若函數(shù)f(x)=xax2+x+1的定義域為R13．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx=xax+b（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿足f2=1，方程14．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=10，且對于任意x∈R都有f(x+20)≥f(x)+20，f(x+1)≤f(x)+1，若g(x)=f(x)?x+2，則g(10)=四、解答題15．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）設(shè)函數(shù)fx的定義域為0,1．(1)求函數(shù)F(2)設(shè)a>0，求函數(shù)Gx16．（23-24高一上·安徽宣城·期中）根據(jù)下列條件，求fx(1)已知fx滿足(2)已知fx是一次函數(shù)，且滿足3f(3)已