第01講 集合綜合（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊）

第01講集合綜合【人教A版2019】模塊一模塊一集合的概念與表示一、集合的概念1．集合概念(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．2．集合中元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．3．元素與集合的關系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．【注】符號“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換.4．常見數(shù)集數(shù)學中的一些常用的數(shù)集及其記法：5．集合的分類集合的分類：有限集、無限集．特殊集合：空集，記為?.二、集合的表示方法列舉法、描述法、圖示法、區(qū)間法.【題型1集合中元素的互異性】【例1.1】（23-24高三下·山東青島·開學考試）已知x∈1,2,x2，則xA．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【例1.2】（23-24高一上·廣東江門·階段練習）已知集合A=12,a2+4a,a?2，?3∈A，則A．?1 B．?3或1 C．3 D．?3【變式1.1】（23-24高一上·四川成都·階段練習）已知集合A=0,2a+1,a2?2，若A．1 B．-1 C．0 D．±1【變式1.2】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）由a2,2?a，4組成一個集合A，且A中含有3個元素，則實數(shù)a的取值可以是（A．1 B．?2 C．?1 D．2【題型2元素與集合關系求參】【例2.1】（24-25高一上·全國·單元測試）已知集合A=0,m,m2?3m+2，且2∈A，則實數(shù)A．2 B．3 C．0 D．?2【例2.2】（2024高三·全國·專題練習）已知集合A=0,m,m2?3m+2，且2∈A，則實數(shù)A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3【變式2.1】（2024·貴州貴陽·模擬預測）若集合A={x|2mx?3>0,m∈R}，其中2∈A且1?A，則實數(shù)m的取值范圍是（A．34,32 B．34,【變式2.2】（2024高一上·全國·專題練習）已知集合A=x∈Rax2+2x+1=0，其中a∈R.若1是集合AA．?3 B．1 C．?13,1模塊二模塊二集合間的基本關系一、集合間的基本關系1．子集定義一般地，對于兩個集合A,B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，稱集合A為集合B的子集記法

與讀法記作(或)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)圖示或結論(1)任何一個集合是它本身的子集，即；

(2)對于集合A,B,C，若，且，則2．真子集定義如果集合，但存在元素，且，我們稱集合A是集合B的真子集記法記作(或)圖示結論(1)且，則；

(2)，且，則3．集合相等如果集合A的任何一個元素是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A?B且B?A，則A＝B.4．空集的概念(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集.【題型3集合關系的判斷】【例3.1】（24-25高三上·湖北荊門·階段練習）如果集合S=x|x=3n+1,n∈Z，T=x|x=3k?2,k∈A．S?T B．T?S C．S=T D．S∈T【例3.2】（24-25高一上·上?！るS堂練習）已知集合M=x|x=m+16,m∈Z，N=x|x=n2?13,n∈ZA．M=N?P B．M?N=PC．M?N?P D．N?P?M【變式3.1】（23-24高一上·河南鄭州·階段練習）若A={x|x=k6+1,k∈Z}A．A?B?C B．A?C?BC．C?B?A D．C?A?B【變式3.2】（23-24高三·全國·對口高考）下面有四個命題：①3?②若a=22,B=x∈③若?a不屬于N?，則a屬于N④若A=xy=其中真命題的個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【題型4已知集合間關系求參】【例4.1】（23-24高一上·河北滄州·期中）已知集合A=2,6(1)若集合B=a+1，a(2)若集合C=xax2?x+6=0，且A【例4.2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）已知A=x|(1)若A?B，求a的值；(2)若B?A，求實數(shù)a的取值范圍.【變式4.1】（23-24高一上·上海徐匯·階段練習）已知集合A=x|(1)若集合A至多有1個元素，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若A?(?∞,0)，求實數(shù)【變式4.2】（23-24高一上·安徽滁州·階段練習）已知集合A=x|4?2k<x<2k?8，B=x|?k<x<k，(1)若A?B，求實數(shù)(2)若B?A，求實數(shù)k的取值范圍.模塊模塊三集合的基本運算一、集合的基本運算1．并集的概念及表示自然語言符號語言圖形語言由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)A∪B={x|x∈A,或x∈B}2．交集的概念及表示自然語言符號語言圖形語言由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B(讀作"A交B")A∩B={x|x∈A,且x∈B}3．補集定義文字

語言對于一個集合A，由全集U中不屬于集合

A的所有元素組成的集合稱為集合A相

對全集U的補集，簡稱為集合A的補集，

記作?UA符號

語言?UA={x|x∈U,且x?A}圖形

語言性質(1)

(2)4．集合關系的轉化(1)；(2).5．Venn圖表達集合的關系和運算如圖所示的陰影部分是常用到的含有兩個集合運算結果的Venn圖表示.【題型5交、并、補集混合運算】【例5.1】（23-24高二下·遼寧大連·階段練習）若集合A=x|1<x≤6，B=x|1x?7<0A．{x|x≤1或6≤x≤7} B．{x|x≤1或6<x<7}C．{x|x<1或6≤x<7} D．{x|x≤1或6<x≤7}【例5.2】（2023·全國·高考真題）設集合U=R，集合M=xx<1，N=x?1<x<2，則xx≥2=（

C．?UM∩N 【變式5.1】（23-24高一上·河南鄭州·階段練習）設全集U=?2,?1,0,1,2，集合A=?2,1，B=xx2A．?2,1,0 B．?2C．1 D．?2,?1,1,2【變式5.2】（2024高三·全國·專題練習）已知全集U，集合M，N滿足M?N?U，則下列結論正確的是（

）A．M∪N=U B．?C．M∩(?UN)=?【題型6由集合運算結果求參】【例6.1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合M=x1<x<4，集合(1)求M∩N和M∪?(2)設A=xa≤x≤a+3，若A∪?【例6.2】（23-24高二下·遼寧葫蘆島·階段練習）已知集合A=x|x<?3或x>7，B=(1)若?RA∪B=(2)若?RA∩B=x|a≤x≤b，且【變式6.1】（23-24高一上·江蘇常州·階段練習）已知集合A={(x,y)|y2?x?1=0}，(1)若k=b=1，求A∩C；(2)是否存在自然數(shù)k，b，使得(A∪B)∩C=?？若存在，求出k，b的值；若不存在，說明理由．【變式6.2】（23-24高一上·江蘇無錫·期中）在①A∩B=A，②A∩?RB已知集合A=xa?1<x<2a+3，(1)當a=2時，求A∪B；(2)若___________，求實數(shù)a的取值范圍．【題型7Venn圖表達集合的關系和運算】【例7.1】（2024·廣東·模擬預測）已知全集U=R，集合A={xx≥4或x≤0}，B={xx>4

A．?2,0 B．?2,0C．?2,0∪4 【例7.2】（2024·湖北·模擬預測）已知全集是實數(shù)集R，集合A=xx>2，B=xA．xx>2 B．C．xx≤2 D．{x|x<?2或x>2}【變式7.1】（23-24高一上·青海西寧·期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A(1)求圖中陰影部分表示的集合C；(2)若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D?（A∪B），求實數(shù)a的取值范圍．【變式7.2】（23-24高一上·山西太原·階段練習）已知A=x?1<x<2，

(1)求A∪B和?R(2)若記符號A?B=xx∈A且x?B，在圖中把表示“集合A?B”的部分用陰影涂黑，并求出【題型8集合的新定義問題】【例8.1】（23-24高三上·山東濟南·階段練習）對于集合M,N，定義M?N=x|x∈M,x?N，M⊕N=M?N∪N?M，設A=x|x≥?94A．?94,C．?∞,?9【例8.2】（23-24高一上·上?！て谥校┰O集合S為實數(shù)集R的非空子集，若對任意x∈S，y∈S，都有x+y∈S，x?y∈S，xy∈S，則稱集合①若S為“完美集合”，則一定有0∈S；②“完美集合”一定是無限集；③集合A=x④若S為“完美集合”，則滿足S?T?R的任意集合T也是“完美集合”.其中真命題是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【變式8.1】（23-24高一下·北京豐臺·期末）設n為正整數(shù)，集合A=α|α=(t1,t2,?,tn(1)當n=3時，若α=(1,?1,0)，β=(0,?1,?1)，求(2)當n=4時，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素α,??β，當α,??β相同時，M(α,?β)是奇數(shù)；當(3)給定不小于2的n，從集合A中任取n+2個兩兩互不相同的元素α1,?α2【變式8.2】（23-24高二下·北京豐臺·期末）已知集合M=1,2,???,n（n∈N*，且n≥4）．若集合A，B同時滿足下列兩個條件，則稱集合A，B條件（1）：A∩B=?，A∪B=M，且A，B都至少含有兩個元素；條件（2）：對任意不相等的a1，a2∈A，都有a1+a2(1)當n=5時，若集合A，B具有性質P，且集合A中恰有三個元素，試寫出所有的集合B；(2)若集合A，B具有性質P，且2∈B，3∈B，求證：n<14；(3)若存在集合A，B具有性質P，求n的最大值．一、單選題1．（24-25高一上·河北廊坊·開學考試）下列各組對象能構成集合的是（

）A．2023年參加“兩會”的代表B．北京冬奧會上受歡迎的運動項目C．π的近似值D．我校跑步速度快的學生2．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）若集合A=x|mx2+2x+m=0,m∈R中有且只有一個元素，則A．?1 B．0 C．?1,1 D．?1,0,13．（24-25高三上·廣西·階段練習）設集合A=1,2a+1，B=3,a?1,3a?2，若A?B，則a=（A．?2 B．1 C．2 D．34．（2024高一·全國·專題練習）已知集合A=1,2,3，B=x,yx∈A,y∈A,x+y∈A，則集合BA．4 B．8 C．16 D．325．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習）已知集合A={x∣x<2},B=?1,0,1,3,5，則A∩B=A．0,1 B．0,1,3 C．0,1,3,5 D．?1,0,1,3,56．（23-24高一上·江蘇南通·階段練習）如圖，已知矩形U表示全集，A、B是U的兩個子集，則陰影部分可表示為（

）A．?U(A∪B) C．(?UB)∩A7．（2024高一·全國·專題練習）已知集合A=xx≤?2或x>1，B=x2a?3<x<a+1.若A∪B=RA．a(chǎn)a≤12 B．a(chǎn)0<a≤18．（23-24高一上·湖北恩施·階段練習）定義集合運算：A⊕B=(x,y)x2∈A,2y∈B.若集合A=B=A．? B．4,1 C．1,32 二、多選題9．（24-25高一上·全國·課堂例題）已知不超過5的實數(shù)組成的集合為M，a=2+3A．a(chǎn)∈M B．a(chǎn)+1?MC．1a∈M 10．（2024·湖北·模擬預測）已知集合A=1,2，B=0,1,2,3,4，集合C滿足A?C?B，則（A．1∈C，2∈C B．集合C可以為1,2C．集合C的個數(shù)為7 D．集合C的個數(shù)為811．（23-24高一上·廣東佛山·期中）已知集合A=x|x2?2x?3<0，集合A．A∩B=x|?1<x<2 B．C．A∪(?RB)=三、填空題12．（23-24高一下·全國·課堂例題）若集合A由0,m,m2?2m+1三個元素組成，且1∈A，則m=13．（24-25高一上·全國·隨堂練習）已知集合A={x|x≥1或x≤?2}，B=x|x≥a，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是14．（2024高一·全國·專題練習）已知集合A=xx≤3,x∈N，B=2m?1,m,m2，C=3,m,3m?2，若四、解答題15．（2024高一·全國·專題練習）設A是非空實數(shù)集，滿足若a∈A，則11?a∈A，且(1)若2∈A，則A中至少還有幾個元素？求出這幾個元素；(2)集合A是否可能只含有一個元素？如果能，請舉出實例；如果不能，請說明理由.16．（23-24高三上·山東濰坊·期末）已知集合x|ax(1)若集合A是空集，求a的取值范圍；(2)若集合A中只有一個元素，求a的取值范圍；(3)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍．17．（23-24高一下·上海楊浦·期中）