新人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)弧度制-2020-2021學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)導(dǎo)學(xué)案含答案及解析

第五章三角函數(shù)-PAGE8-§5.1.2弧度制導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：（1）掌握弧度制的定義；學(xué)會(huì)弧度制與角度制互化，并進(jìn)而建立角的集合與實(shí)數(shù)集一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的概念．（2）掌握并運(yùn)用弧度制表示的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式．（預(yù)習(xí)教材P130~P135，回答下列問(wèn)題）復(fù)習(xí)1：平角；周角；1度=分復(fù)習(xí)2：規(guī)定把周角的作為1度的角,用度做單位來(lái)度量角的制度叫做角度制．思考：還有沒(méi)有其他度量角的單位制呢？【知識(shí)點(diǎn)一】弧度制我們規(guī)定,長(zhǎng)度等于所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角．用弧度來(lái)度量角的單位制叫做弧度制．在弧度制下,1弧度記做；在實(shí)際運(yùn)算中，常常將rad單位省略，即可簡(jiǎn)記為．orC2rad1radr2roorC2rad1radr2roAAB周角=思考：如圖，如果一個(gè)半徑為的圓的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是,那么的弧度數(shù)是多少?則圓心角角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分：（1）正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0（2）角的弧度數(shù)的絕對(duì)值（為弧長(zhǎng)，為半徑）（3）用角度制和弧度制來(lái)度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0）用角度制和弧度制來(lái)度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同；角度制與弧度制可以自由互換，但同一代數(shù)式中角度制與弧度制不可混用．自我檢測(cè)1-2：如圖,半徑為的圓的圓心與原點(diǎn)重合,角的終邊與軸的正半軸重合．交圓于點(diǎn),終邊與圓交于點(diǎn).請(qǐng)完成表格．的度數(shù)弧的長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)的方向的弧度數(shù)逆時(shí)針?lè)较蚰鏁r(shí)針?lè)较颉局R(shí)點(diǎn)二】角度制與弧度制的換算從上表可知：，所以，類比可以得到：自我檢測(cè)2：常見(jiàn)角的角度和弧度的互化角度0°45°60°180°360°弧度【知識(shí)點(diǎn)三】弧度制下的扇形弧長(zhǎng)和面積公式角度制下的扇形弧長(zhǎng)公式為：；面積公式為：；（是角度數(shù)）借助公式；；（是弧度數(shù)）自我檢測(cè)3：利用弧度制證明扇形面積公式其中是扇形弧長(zhǎng)，是圓的半徑．oRSoRSll 【知識(shí)點(diǎn)四】角和實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系今后在具體運(yùn)算時(shí)，“弧度”二字和單位符號(hào)“rad”可以省略如：3表示3rad；應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無(wú)論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實(shí)數(shù)的集合之間建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．正角正角零角負(fù)角正實(shí)數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù)題型一角度與弧度的換算【例1-1】將下列各角進(jìn)行角度與弧度的互化：（1）；（2）；（3）；（4）－.【例1-2】已知角.（1）將角改寫成(，)的形式，并指出角是第幾象限的角；（2）在區(qū)間上找出與角終邊相同的角.題型二用弧度制表示角的集合【例2-1】用弧度制表示下列角的集合（1）終邊落在正半軸上的角：（2）終邊落在正半軸上的角：（3）終邊落在負(fù)半軸上的角：（4）終邊落在負(fù)半軸上的角：（5）終邊落在軸上的角：（6）終邊落在坐標(biāo)軸上的角：（7）終邊落在射線上的角：（8）終邊落在第一象限內(nèi)的角：【例2-2】用弧度表示終邊落在如圖(1)(2)所示的陰影部分內(nèi)的角的集合．題型三與扇形弧長(zhǎng)、面積相關(guān)的問(wèn)題【例3】(1)已知扇形的圓心角為120°，半徑為eq\r(3)cm，則此扇形的面積為________cm2；(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積為4cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù)．1．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．弧度制下，角與實(shí)數(shù)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們均與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)2．下列角中，與角終邊相同的角是（）A． B． C． D．3．把表示成的形式，使最小的的值是（）A． B． C． D．4．當(dāng)角與的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則角與的關(guān)系一定是（）A． B．C． D．5．若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（）A． B．C． D．§5.1.2弧度制參考答案導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：（1）掌握弧度制的定義；學(xué)會(huì)弧度制與角度制互化，并進(jìn)而建立角的集合與實(shí)數(shù)集一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的概念．（2）掌握并運(yùn)用弧度制表示的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式．（預(yù)習(xí)教材P130~P135，回答下列問(wèn)題）復(fù)習(xí)1：平角；周角；1度=分復(fù)習(xí)2：規(guī)定把周角的作為1度的角,用度做單位來(lái)度量角的制度叫做角度制．思考：還有沒(méi)有其他度量角的單位制呢？【知識(shí)點(diǎn)一】弧度制我們規(guī)定,長(zhǎng)度等于所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角．用弧度來(lái)度量角的單位制叫做弧度制．在弧度制下,1弧度記做；在實(shí)際運(yùn)算中，常常將rad單位省略，即可簡(jiǎn)記為．orC2rad1radr2roorC2rad1radr2roAAB周角=思考：如圖，如果一個(gè)半徑為的圓的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是,那么的弧度數(shù)是多少?則圓心角角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分：（1）正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0（2）角的弧度數(shù)的絕對(duì)值（為弧長(zhǎng)，為半徑）（3）用角度制和弧度制來(lái)度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0）用角度制和弧度制來(lái)度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同；角度制與弧度制可以自由互換，但同一代數(shù)式中角度制與弧度制不可混用．自我檢測(cè)1-2：如圖,半徑為的圓的圓心與原點(diǎn)重合,角的終邊與軸的正半軸重合．交圓于點(diǎn),終邊與圓交于點(diǎn).請(qǐng)完成表格．的度數(shù)弧的長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)的方向的弧度數(shù)逆時(shí)針?lè)较蚰鏁r(shí)針?lè)较颉局R(shí)點(diǎn)二】角度制與弧度制的換算從上表可知：，所以，類比可以得到：自我檢測(cè)2：常見(jiàn)角的角度和弧度的互化角度0°45°60°180°360°弧度【知識(shí)點(diǎn)三】弧度制下的扇形弧長(zhǎng)和面積公式角度制下的扇形弧長(zhǎng)公式為：；面積公式為：；（是角度數(shù)）借助公式；；（是弧度數(shù)）自我檢測(cè)3：利用弧度制證明扇形面積公式其中是扇形弧長(zhǎng)，是圓的半徑．oRSoRSll【知識(shí)點(diǎn)四】角和實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系今后在具體運(yùn)算時(shí)，“弧度”二字和單位符號(hào)“rad”可以省略如：3表示3rad；應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無(wú)論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實(shí)數(shù)的集合之間建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．正角正角零角負(fù)角正實(shí)數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù)題型一角度與弧度的換算【例1-1】將下列各角進(jìn)行角度與弧度的互化：（1）；（2）；（3）；（4）－.【答案】（1）（2）（3）（4）－＝－×180°＝－396°.【例1-2】已知角.（1）將角改寫成(，)的形式，并指出角是第幾象限的角；（2）在區(qū)間上找出與角終邊相同的角.【答案】（1），是第三象限角，∴是第三象限角．（2）由得，因?yàn)?，∴，?duì)應(yīng)角依次為．題型二用弧度制表示角的集合【例2-1】用弧度制表示下列角的集合（1）終邊落在正半軸上的角：（2）終邊落在正半軸上的角：（3）終邊落在負(fù)半軸上的角：（4）終邊落在負(fù)半軸上的角：（5）終邊落在軸上的角：（6）終邊落在坐標(biāo)軸上的角：（7）終邊落在射線上的角：（8）終邊落在第一象限內(nèi)的角：【例2-2】用弧度表示終邊落在如圖(1)(2)所示的陰影部分內(nèi)的角的集合．【答案】對(duì)于題圖(1)，225°角的終邊可以看作是－135°角的終邊，化為弧度，即－eq\f(3π,4)，60°角的終邊即eq\f(π,3)的終邊，∴所求集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,4)<α<2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).對(duì)于題圖(2)，同理可得，所求集合為∪題型三與扇形弧長(zhǎng)、面積相關(guān)的問(wèn)題【例3】(1)已知扇形的圓心角為120°，半徑為eq\r(3)cm，則此扇形的面積為________cm2；(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積為4cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù)．【答案】(1)設(shè)扇形弧長(zhǎng)為l，因?yàn)?20°＝120×eq\f(π,180)rad＝eq\f(2π,3)(rad)，所以l＝αR＝eq\f(2π,3)×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3)π,3)(cm)．所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(3)π,3)×eq\r(3)＝π(cm2)．故填π.(2)設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π)，弧長(zhǎng)為l，半徑為R，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2R＝10.①,\f(1,2)lR＝4.②))①代入②得R2－5R＋4＝0，解之得R1＝1，R2＝4.當(dāng)R＝1時(shí)，l＝8(cm)，此時(shí)，θ＝8rad>2πrad舍去．當(dāng)R＝4時(shí)，l＝2(cm)，此時(shí)，θ＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)(rad)．綜上可知，扇形圓心角的弧度數(shù)為eq\f(1,2)rad．1．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A