2024-2025學年福建省福州十九中八年級（上）期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學年福建省福州十九中八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）有的美術字是軸對稱圖形，下面四個美術字中可以看作軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）人字梯中間一般會設計一“拉桿”，這樣做的道理是（）A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短 C．兩直線平行，內錯角相等 D．三角形具有穩(wěn)定性3．（4分）下列運算結果正確的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2?a3＝a6 C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a54．（4分）如圖是一個平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC．將點A放在角的頂點，沿AC畫一條射線AE，AE就是這個角的平分線．此儀器的原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS5．（4分）在聯(lián)歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩“搶凳子”游戲，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平（）A．三邊垂直平分線的交點 B．三條中線的交點 C．三條角平分線的交點 D．三條高所在直線的交點6．（4分）下列各分式中，是最簡分式的是（）A． B． C． D．7．（4分）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x8．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°（）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C9．（4分）圖中表示被撕掉一塊的正n邊形紙片，若a⊥b，則n的值是（）A．6 B．8 C．10 D．1210．（4分）如圖，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AC＝AB+5，BC＝12△BDC的最大值為（）A．12 B．15 C．30 D．60二、填空題：（本題共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）若分式的值為零，則x的值是．12．（4分）平面直角坐標系中，點P（3，1）關于y軸對稱的點的坐標是．13．（4分）已知等腰三角形一邊長等于4，另一邊長等于8，則此等腰三角形的周長是．14．（4分）如果am＝3，an＝5，那么a2m﹣n＝．15．（4分）計算：20242﹣4048×2023+20232+2023×2025＝．16．（4分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，若∠BAD＝α，則∠ACB的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．三、解答題（本題共9小題，共86分，請在答題卡相應的位置作答）17．（8分）計算：（1）x?x5+（﹣2x2）3；（2）（3x2y﹣xy2+4xy）÷（﹣2xy）．18．（8分）如圖，CA＝CD，∠1＝∠219．（8分）以下是小鵬化簡代數(shù)式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）﹣2a（a﹣3）的過程．解：原式＝a2﹣2a+4+a2﹣1﹣2a2+6a……①＝（a2+a2﹣2a2）+（﹣2a+6a）+（4﹣1）…②＝4a+3，……③（1）小鵬的化簡過程在第步開始出錯，錯誤的原因是．（2）請你幫助小鵬寫出正確的化簡過程，并計算當a＝﹣0.5時代數(shù)式的值．20．（8分）如圖，邊長為1的正方形網格中，△ABC的三個頂點A、B、C都在格點上．（1）畫出△ABC關于x軸的對稱圖形△DEF（其中點A、B、C的對稱點分別是D、E、F）；（2）在y軸上找一點P，使得△PAC周長最短，請畫出點P所在的位置21．（8分）如圖，在△ABC中，點P為AB邊上一點．（1）尺規(guī)作圖：請在AC上求作一點D，使得PD∥BC（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）在（1）的條件下，AB＝AC，求證：△APD是等邊三角形．22．（10分）求證：頂角是銳角的等腰三角形腰上的高與底邊夾角等于其頂角的一半．（1）在圖中按照下面“已知”的要求，畫出符合題意的圖形，并根據(jù)題設和結論，用符號語言補充寫出“已知”和“求證”．已知：在△ABC中，AB＝AC，．求證：．（2）證明上述命題．23．（10分）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分線BE交AC于點E．點D為AB上一點，且AD＝AC，BE交于點M．（1）求∠DMB的度數(shù)；（2）若CH⊥BE于點H，證明：AB＝4MH．24．（12分）如圖①，小華同學用1張邊長為a的正方形，2張邊長為b的正方形（a+2b），寬為（a+b）的長方形（a+2b）（a+b），于是，我們可以得到等式（a+2b）（a+b）2+3ab+2b2.請解答下列問題：（1）根據(jù)圖②，寫出一個代數(shù)恒等式：；（2）利用（1）中所得到的結論，解決以下問題：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝60，求ab+bc+ac的值；（3）小華同學又用8張邊長為a的正方形，15張邊長為b的正方形，22張邊長分別為a、b的長方形紙片拼成了一個長方形，．25．（14分）數(shù)學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AC＝8，D是BC的中點【方法探索】（1）小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1，使DE＝AD，連接BE．根據(jù)SAS可以判定△ADC≌△EDB，即可得出中線AD的取值范圍是；【問題解決】（2）由第（1）問方法的啟發(fā)，在△ABC中，D是BC邊上的一點，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD；【問題拓展】（3）如圖3，點D是BC邊上的一點，過點A分別向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，若AD⊥EF，求證：EF＝2AD且AD為△ABC的中線．

2024-2025學年福建省福州十九中八年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）有的美術字是軸對稱圖形，下面四個美術字中可以看作軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：四個美術字中可以看作軸對稱圖形的是“業(yè)”，故選：D．2．（4分）人字梯中間一般會設計一“拉桿”，這樣做的道理是（）A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短 C．兩直線平行，內錯角相等 D．三角形具有穩(wěn)定性【解答】解：人字梯中間一般會設計一“拉桿”，是為了形成三角形，故選：D．3．（4分）下列運算結果正確的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2?a3＝a6 C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5【解答】解：A、a2與a3是加，不是乘，故本選項錯誤；B、a8?a3＝a2+4＝a5，故本選項錯誤；C、a3÷a4＝a3﹣2＝a，故本選項正確；D、（a4）3＝a2×2＝a6，故本選項錯誤．故選：C．4．（4分）如圖是一個平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC．將點A放在角的頂點，沿AC畫一條射線AE，AE就是這個角的平分線．此儀器的原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，即AE是∠DAE的平分線，故選：A．5．（4分）在聯(lián)歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩“搶凳子”游戲，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平（）A．三邊垂直平分線的交點 B．三條中線的交點 C．三條角平分線的交點 D．三條高所在直線的交點【解答】解：根據(jù)題意得：當木凳所在位置到A、B、C三個頂點的距離相等時，∵線段垂直平分線上的到線段兩端的距離相等，∴凳子應放的最適當?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的三邊垂直平分線的交點．故選：A．6．（4分）下列各分式中，是最簡分式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、，不是最簡分式；B、，不是最簡分式；C、是最簡分式；D、，不是最簡分式．故選：C．7．（4分）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x【解答】解：A選項不是因式分解，故不符合題意；B選項計算錯誤，故不符合題意；C選項是因式分解，故符合題意；D選項不是因式分解，故不符合題意；故選：C．8．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°（）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C【解答】解：由作圖可知，∠DAE＝∠DAB，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADB（AAS），∴DB＝DE，AB＝AE，∵∠AED+∠B＝180°∴∠BAC+∠BDE＝180°，∵∠EDC+∠BDE＝180°，∴∠EDC＝∠BAC，故A，B，C正確，故選：D．9．（4分）圖中表示被撕掉一塊的正n邊形紙片，若a⊥b，則n的值是（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：如圖，延長a，∵a⊥b，∴∠ABC＝90°，∴正多邊形的一個外角為，∴．故選：B．10．（4分）如圖，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AC＝AB+5，BC＝12△BDC的最大值為（）A．12 B．15 C．30 D．60【解答】解：如圖：延長AB，CD交點于E，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AE，DE＝CD，∵AC＝AB+5，∴AE＝AB+5，即BE＝5；∵DE＝DC，∴S△BDC＝S△BCE，∴當BE⊥BC時，S△BEC取最大值，即S△BDC取最大值．S△BDC＝××12×5＝15．故選：B．二、填空題：（本題共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）若分式的值為零，則x的值是﹣2．【解答】解：若分式的值為零，∴x的值是﹣8，故答案為：﹣2．12．（4分）平面直角坐標系中，點P（3，1）關于y軸對稱的點的坐標是（﹣3，1）．【解答】解：平面直角坐標系中，點P（3，1）．故答案為：（﹣3，1）．13．（4分）已知等腰三角形一邊長等于4，另一邊長等于8，則此等腰三角形的周長是20．【解答】解：當4為底邊時，腰長為8，則這個等腰三角形的周長＝4+8+8＝20，當8為底邊時，腰長為4，不能構成三角形，故答案為：20．14．（4分）如果am＝3，an＝5，那么a2m﹣n＝．【解答】解：∵am＝3，an＝5，∴a7m﹣n＝（am）2÷an＝34÷5＝．故答案為：．15．（4分）計算：20242﹣4048×2023+20232+2023×2025＝4096576．【解答】解：20242﹣4048×2023+20232+2023×2025＝20246﹣2×2024×2023+20232+2023×2025＝（2024﹣2023）8+（2024﹣1）×（2024+1）＝6+20242﹣1＝20247＝4096576．故答案為：4096576．16．（4分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，若∠BAD＝α，則∠ACB的度數(shù)為90°﹣α（用含α的代數(shù)式表示）．【解答】解：如圖，連接AB'，過A作AE⊥CD于E，∵點B關于AC的對稱點B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝α，又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，∴四邊形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣α，∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣α，故答案為90°﹣α．三、解答題（本題共9小題，共86分，請在答題卡相應的位置作答）17．（8分）計算：（1）x?x5+（﹣2x2）3；（2）（3x2y﹣xy2+4xy）÷（﹣2xy）．【解答】解：（1）原式＝x6+（﹣8x3）＝﹣7x6；（2）原式＝8x2y÷（﹣2xy）﹣xy8÷（﹣2xy）+4xy÷（﹣5xy）＝．18．（8分）如圖，CA＝CD，∠1＝∠2【解答】證明：∵∠1＝∠2，∴∠7+∠ECA＝∠2+∠ACE，即∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS）．∴DE＝AB．19．（8分）以下是小鵬化簡代數(shù)式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）﹣2a（a﹣3）的過程．解：原式＝a2﹣2a+4+a2﹣1﹣2a2+6a……①＝（a2+a2﹣2a2）+（﹣2a+6a）+（4﹣1）…②＝4a+3，……③（1）小鵬的化簡過程在第①步開始出錯，錯誤的原因是完全平方公式運用錯誤．（2）請你幫助小鵬寫出正確的化簡過程，并計算當a＝﹣0.5時代數(shù)式的值．【解答】解：（1）小鵬的化簡過程在第①步開始出錯，錯誤的原因是完全平方公式運用錯誤，故答案為：①，完全平方公式運用錯誤；（2）（a﹣2）2+（a+2）（a﹣1）﹣2a（a﹣6）＝a2﹣4a+3+a2﹣1﹣5a2+6a＝2a+3．∴當a＝﹣0.4時，原式＝2×（﹣0.7）+3＝﹣1+2＝2．20．（8分）如圖，邊長為1的正方形網格中，△ABC的三個頂點A、B、C都在格點上．（1）畫出△ABC關于x軸的對稱圖形△DEF（其中點A、B、C的對稱點分別是D、E、F）；（2）在y軸上找一點P，使得△PAC周長最短，請畫出點P所在的位置【解答】解：（1）如圖1，△DEF為所求；（2）如圖2，作C點關于y軸的對稱點是C′點、C′兩點，∵AC是定值，PA+PC最小，∴△PAC的周長最小，∴點P的坐標（3，2）．21．（8分）如圖，在△ABC中，點P為AB邊上一點．（1）尺規(guī)作圖：請在AC上求作一點D，使得PD∥BC（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）在（1）的條件下，AB＝AC，求證：△APD是等邊三角形．【解答】（1）解：作法：1．以點B為圓心，分別交AB、F；2．以點P為圓心，交PA于點H；6．連接EF，以EF長為半徑作?。?．作射線PI交AC于點I，點D就是所求的圖形．證明：由作圖得∠APD＝∠B，∴PD∥BC，∴點D就是所求的圖形．（2）證明：∵PD∥BC，∴∠APD＝∠B，∠ADP＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠APD＝∠ADP，∴AP＝AD，∵∠A＝60°，∴△APD是等邊三角形．22．（10分）求證：頂角是銳角的等腰三角形腰上的高與底邊夾角等于其頂角的一半．（1）在圖中按照下面“已知”的要求，畫出符合題意的圖形，并根據(jù)題設和結論，用符號語言補充寫出“已知”和“求證”．已知：在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．求證：∠BCD＝∠A．（2）證明上述命題．【解答】解：（1）已知：在△ABC中，AB＝AC，求證：∠BCD＝∠A．故答案為：CD⊥AB于D；∠BCD＝；（2）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°﹣∠A，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝（90°﹣∠A）﹣（90°﹣∠A）＝．23．（10分）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分線BE交AC于點E．點D為AB上一點，且AD＝AC，BE交于點M．（1）求∠DMB的度數(shù)；（2）若CH⊥BE于點H，證明：AB＝4MH．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠A＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；（2）證明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，∴BC＝2CH，∴AB＝2CH，在Rt△CHM中，∠CMH＝45°，∴CH＝MH，∴AB＝4MH．24．（12分）如圖①，小華同學用1張邊長為a的正方形，2張邊長為b的正方形（a+2b），寬為（a+b）的長方形（a+2b）（a+b），于是，我們可以得到等式（a+2b）（a+b）2+3ab+2b2.請解答下列問題：（1）根據(jù)圖②，寫出一個代數(shù)恒等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）利用（1）中所得到的結論，解決以下問題：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝60，求ab+bc+ac的值；（3）小華同學又用8張邊長為a的正方形，15張邊長為b的正方形，22張邊長分別為a、b的長方形紙片拼成了一個長方形4a+5b或2a+3b，2a+3b、4a+5b．【解答】解：（1）由題意可得：（a+b+c）2＝a2+b7+c2+2ab+3ac+2bc；故答案為：（a+b+c）2＝a3+b2+c2+4ab+2ac+2bc；（2）由（1）可知：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+4bc，將a+b+c＝10，a2+b2+c8＝60代入上式，可得：102＝60+2ab+3ac+abc，則2ab+2ac+4bc＝40，故ab+ac+bc＝20；（3）∵長方形的總面積為：8a2+15b3+22ab，∴8a2+15b3+22ab＝（4a+5b）（2a+3b），該長方形的長為4a+3b或2a+3b，寬為7a+3b或4a+4b．故答案為：4a+5b、8a+3b或2a+2b．25．（14分）數(shù)學興趣小組在