新高考數(shù)學一輪復習考點精講練+易錯題型第28講 平面向量的概念與線性運算（解析版）

第28講平面向量的概念與線性運算【基礎(chǔ)知識網(wǎng)絡(luò)圖】平面向量平面向量平面向量的概念平面向量的坐標表示平面向量的基本定理平面向量的線性運算【基礎(chǔ)知識全通關(guān)】向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向線段SKIPIF1<0表示，其中A為起點，B為終點.向量SKIPIF1<0的長度SKIPIF1<0又稱為向量的模；長度為0的向量叫做零向量，長度為1的向量叫做單位向量.2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，規(guī)定零向量與任一向量平行.平行向量可通過平移到同一條直線上，因此平行向量也叫共線向量.3．長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量與零向量相等.4.與SKIPIF1<0長度相等，方向相反的向量叫做SKIPIF1<0的相反向量，規(guī)定零向量的相反向量是零向量.【微點撥】①有向線段的起、終點決定向量的方向，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0表示不同方向的向量；②有向線段的長度決定向量的大小，用SKIPIF1<0表示，SKIPIF1<0.③任意兩個非零的相等向量可經(jīng)過平移重合在一起，因此可用一個有向線段表示，而與起點無關(guān).二、向量的加法、減法1．向量加法的平行四邊形法則平行四邊形ABCD中（如圖），向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的和為SKIPIF1<0,記作:SKIPIF1<0.（起點相同）2．向量加法的三角形法則根據(jù)向量相等的定義有:SKIPIF1<0，即在ΔSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.首尾相連的兩個向量的和是以第一個向量的起點指向第二個向量的終點.規(guī)定:零向量與向量SKIPIF1<0的和等于SKIPIF1<0.3.向量的減法向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0叫做相反向量.記作:SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0.【微點撥】①關(guān)于兩個向量的和應(yīng)注意：兩個向量的和仍是一個向量；使用三角形法則時要注意“首尾相連”；當兩個向量共線時，三角形法則適用，而平行四邊形法則不適用.②向量減法運算應(yīng)注意：向量的減法實質(zhì)是加法的逆運算，差仍為一個向量；用三角形法則作向量減法時，記住“連結(jié)兩個向量的終點，箭頭指向被減向量”.三、實數(shù)與向量的積1．定義：一般地，實數(shù)SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0的積是一個向量,記作SKIPIF1<0，它的長與方向規(guī)定如下：（1）SKIPIF1<0；（2）當SKIPIF1<0>0時，SKIPIF1<0的方向與SKIPIF1<0的方向相同；當SKIPIF1<0<0時，SKIPIF1<0的方向與SKIPIF1<0的方向相反；當SKIPIF1<0=0時，SKIPIF1<0；2．運算律設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為實數(shù)，則（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<03．向量共線的充要條件已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是兩個非零共線向量，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向相同或相反.向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.【微點撥】①向量數(shù)乘的特殊情況：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，也有SKIPIF1<0；實數(shù)和向量可以求積，但是不能求和、求差.②平面向量基本定理是建立向量坐標的基礎(chǔ)，它保證了向量與坐標是一一對應(yīng)的，在應(yīng)用時，構(gòu)成兩個基地的向量是不共線的向量.四、平面向量的坐標運算1．平面向量的坐標表示選取直角坐標系的x軸、y軸上的單位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為基底，由平面向量基本定理，該平面內(nèi)任一向量SKIPIF1<0表示成SKIPIF1<0的形式，由于SKIPIF1<0與數(shù)對（x,y）是一一對應(yīng)的，因此把（x,y）叫做向量SKIPIF1<0的坐標表示.2．平面向量的坐標運算已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<03．平行向量的坐標表示已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）【微點撥】①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的充要條件不能表示成SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0有可能等于0，所以應(yīng)表示為SKIPIF1<0；同時SKIPIF1<0的充要條件也不能錯記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等.②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的充要條件是SKIPIF1<0，這與SKIPIF1<0在本質(zhì)上是沒有差異的，只是形式上不同.【考點研習一點通】考點一平面向量的有關(guān)概念例1、給出下列四個命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點，則“eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號是()②③ B.①② C.③④ D.②④【答案】A【解析】①不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.②正確.∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))方向相同，因此eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).③正確.∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.④不正確.當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件.綜上所述，正確命題的序號是②③.【變式1-1】給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②λa＝0(λ為實數(shù))，則λ必為零；③λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中錯誤的命題的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3【答案】D【解析】①錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點或終點．②錯誤，當a＝0時，不論λ為何值，λa＝0.③錯誤，當λ＝μ＝0時，λa＝μb＝0，此時，a與b可以是任意向量．故錯誤的命題有3個，故選D.【變式1-2】如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心．（1）與SKIPIF1<0相等的向量有；（2）與SKIPIF1<0相等的向量有；（3）與SKIPIF1<0共線的向量有．【答案】：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．方法總結(jié)：向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度．(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制．(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等．(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度．(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0，規(guī)定零向量與任意向量共線．考點二向量的線性運算例2、(1)在△ABC中，eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝()A.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b D.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b(2)(一題多解)已知A，B，C三點不共線，且點O滿足16eq\o(OA,\s\up7(→))－12eq\o(OB,\s\up7(→))－3eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，則()A.eq\o(OA,\s\up7(→))＝12eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→)) B．eq\o(OA,\s\up7(→))＝12eq\o(AB,\s\up7(→))－3eq\o(AC,\s\up7(→))C.eq\o(OA,\s\up7(→))＝－12eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→)) D.eq\o(OA,\s\up7(→))＝－12eq\o(AB,\s\up7(→))－3eq\o(AC,\s\up7(→))【答案】(1)A(2)A【解析】(1)∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，∴eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))，∴eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.故選A.(2)法一：對于A.eq\o(OA,\s\up7(→))＝12eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→))＝12(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＋3(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝12eq\o(OB,\s\up7(→))＋3eq\o(OC,\s\up7(→))－15eq\o(OA,\s\up7(→))，整理，可得16eq\o(OA,\s\up7(→))－12eq\o(OB,\s\up7(→))－3eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，這與題干中條件相符合，故選A.法二：已知A，B，C三點不共線，且點O滿足16eq\o(OA,\s\up7(→))－12eq\o(OB,\s\up7(→))－3eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，所以16eq\o(OA,\s\up7(→))－12eq\o(OB,\s\up7(→))＝0，所以eq\o(OA,\s\up7(→))＝12eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→))，故選A.【變式2-1】1.在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq\o(EB,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))2．如圖，在等腰梯形ABCD中，DC＝eq\f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于點E，則eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】1．A2．A【解析】1．作出示意圖如圖所示．eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A.2．因為DC＝eq\f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC，所以E是AC的中點，可得eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選A.【變式2-2】如圖所示，四邊形SKIPIF1<0為梯形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則下列結(jié)論正確的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】因為四邊形SKIPIF1<0為梯形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0對SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中線；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0對SKIPIF1<0；的、SKIPIF1<0對SKIPIF1<0；SKIPIF1<0錯；方法總結(jié)：向量的線性運算，即用幾個已知向量表示某個向量，基本技巧為：一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．考點三共線定理的應(yīng)用例3、如圖，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD與BC相交于點M，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.試用a和b表示eq\o(OM,\s\up6(→)).【解析】設(shè)eq\o(OM,\s\up6(→))＝ma＋nb，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)b.又∵A、M、D三點共線，∴eq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))共線．∴存在實數(shù)t，使得eq\o(AM,\s\up6(→))＝teq\o(AD,\s\up6(→))，即(m－1)a＋nb＝t(－a＋eq\f(1,2)b)．∴(m－1)a＋nb＝－ta＋eq\f(1,2)tb.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1＝－t，,n＝\f(t,2)，))消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1①.又∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝ma＋nb－eq\f(1,4)a＝(m－eq\f(1,4))a＋nb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,4)a＝－eq\f(1,4)a＋b.又∵C、M、B三點共線，∴eq\o(CM,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))共線．∴存在實數(shù)t1，使得eq\o(CM,\s\up6(→))＝t1eq\o(CB,\s\up6(→))，∴(m－eq\f(1,4))a＋nb＝t1(－eq\f(1,4)a＋b)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)＝－\f(1,4)t1，,n＝t1，))消去t1得，4m＋n＝1②.由①②得m＝eq\f(1,7)，n＝eq\f(3,7)，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b.【變式3-1】設(shè)兩個非零向量a與b不共線．(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．【解析】(1)證明：∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))共線，又它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩個不共線的非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0.))∴k2－1＝0.∴k＝±1.方法總結(jié)：利用共線向量定理解題的方法(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù)．注意待定系數(shù)法和方程思想的運用．(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．即A，B，C三點共線?eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))共線．(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up7(→))＝λeq\o(OB,\s\up7(→))＋μeq\o(OC,\s\up7(→))(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.【考點易錯】1.已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上投影為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上投影為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.本題選B．2.在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F且SKIPIF1<0，則下列說法正確的有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】對于選項A：SKIPIF1<0，故選項A不正確；對于選項B：易證SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項B正確；對于選項C：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項C正確；對于選項D：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選項D正確.故選：BCD3.已知兩個非零向量a與b不共線.（1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a?b),求證:A,B,D三點共線;（2）試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.【解析】（1）∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a?b),∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a?b)=5(a+b)=5∴AB,BD共線,又∵它們有公共點B,∴A,B,D三點共線.（2）∵ka+b與a+kb共線,∴存在實數(shù)λ,使得ka+b=λ(a+kb),∴(k?λ)a=(λk?1)b.∵a,b是兩個不共線的非零向量,∴k?λ=λk?1=0,∴k2?1=0,∴k=1或?1.【名師點睛】利用向量證明三點共線時,一般是把問題轉(zhuǎn)化為證明過同一點的兩條有向線段所在的向量共線.對于第（2）問,解決此類問題的關(guān)鍵在于利用向量共線的條件得出ka+b=λ(a+kb),再利用對應(yīng)系數(shù)相等這一條件,列出方程組,解出參數(shù).【鞏固提升】1、在△ABC中，點G滿足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.若存在點O，使得eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))，則m－n等于()A．2B．－2C．1D．－1【答案】D【解析】∵eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，可得eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴m＝－eq\f(3,2)，n＝－eq\f(1,2)，m－n＝－1，故選D.2.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的中線，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】根據(jù)向量的運算法則，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選A.3.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E為BC邊上一點，且SKIPIF1<0，F(xiàn)為AE的中點，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】∵AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法則得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，A對；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又F為AE的中點，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，B對；∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，C對；∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D錯；故選：ABC．4.如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】在平行四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，故A錯誤；由向量減法法則得SKIPIF1<0，故B錯誤；由向量加法的平行四邊形法則知SKIPIF1<0，即C正確；由于SKIPIF1<0，故D錯誤；故選：C.5．下列說法正確的是A．向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0是共線向量，則點SKIPIF1<0必在同一條直線上B．兩個有共同終點的向量，一定是共線向量C．長度相等的向量叫做相等向量D．兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同【答案】D【解析】對于A，若向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0是共線向量，則SKIPIF1<0或點SKIPIF1<0在同一條直線上，故A錯誤；對于B，共線向量是指方向相同或相反的向量，兩個有共同終點的向量，其方向可能既不相同又不相反，故B錯誤；對于C，長度相等的向量不一定是相等向量，還需要方向相同，故C錯誤；對于D，相等向量是大小相等、方向相同的向量，故兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同，故D正確.故選D．【名師點睛】本題考查向量的基本定義，關(guān)鍵是理解向量有關(guān)概念的定義．解題時，根據(jù)題意，結(jié)合向量的定義依次分析四個命題，綜合即可得答案．6．已知O是正六邊形ABCDEF的中心，則與向量SKIPIF1<0平行的向量為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如圖，SKIPIF1<0.故選B．【名師點睛】該題考查的是有關(guān)向量共線的條件，在正六邊形中，首先利用向量的加法運算法則，結(jié)合向量共線的條件，對選項逐個分析，求得正確結(jié)果.7．設(shè)SKIPIF1<0是平行四邊形SKIPIF1<0的對角線的交點，SKIPIF1<0為任意一點（且不與SKIPIF1<0重合），SKIPIF1<0等于A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0為任意一點，不妨把A點看成O點，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平行四邊形SKIPIF1<0的對角線的交點，SKIPIF1<0.故選D．8．設(shè)D為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點，SKIPIF1<0，則A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0.故選B．9．已知SKIPIF1<0為非零不共線向量，向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．8【答案】C【解析】SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，SKIPIF1<0存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0為非零不共線向量，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選C.10．已知SKIPIF1<0為兩非零向量，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的大小是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0，即所圍成的平行四邊形的對角線長度相等，所以該平行四邊形為正方形或長方形，由此可得SKIPIF1<0的夾角為90°，故選A．【名師點睛】根據(jù)向量的加減法則，結(jié)合幾何圖象特征即可.11．已知非零向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則一定共線的三點是A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D．A、C、D【答案】A【解析】由向量的加法法則可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，又兩線段過同一點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三點一定共線.故選A．【名師點睛】本題考查平面向量共線定理的應(yīng)用，向量的加法法則，考查利用向量的共線來證明三點共線，意在考查靈活運用所學知識解決問題的能力.解本題時，由向量加法的“三角形”法則，可得SKIPIF1<0，從而可得結(jié)果.12．如圖，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的內(nèi)部，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積與SKIPIF1<0的面積的比值為A．3 B．4C．5 D．6【答案】B【解析】∵D為AB的中點，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴O是CD的中點，∴S△AOC=S△AOD=SKIPIF1<0S△AOB=SKIPIF1<0S△ABC.故選B．【名師點睛】本題考查了平面向量的幾何運算，屬于中檔題．解決向量小題的常用方法有：數(shù)形結(jié)合，向量的三角形法則、平行四邊形法則等；建系將向量坐標化；向量基底化，選基底時一般選擇已知大小和方向的向量為基底.解決本題時，根據(jù)平面向量的幾何運算可知O為CD的中點，從而得出答案．13．已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)一點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0三點共線，則SKIPIF1<0的值為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0三點共線，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選B．【名師點睛】利用平面向量判定三點共線往往有以下兩種方法：①SKIPIF1<0三點共線SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0為平面上任一點，SKIPIF1<0三點共線SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.14．已知等邊三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0=（SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選C．15、在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\f(1,|\o(BA,\s\up6(→))|)·eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,|\o(BC,\s\up6(→))|)·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),|\o(BD,\s\up6(→))|)·eq\o(BD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的面積為________.【答案】eq\r(3)【解析】由|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，eq\f(\o(BA,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(3)\o(BD,\s\up6(→)),|B\o(D,\s\up6(→))|)可知四邊形ABCD為菱形，則有|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BA,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|)＋\f(\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)\o(BD,\s\up6(→)),|\o(BD,\s\up6(→))|)))，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BA,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|)＋\f(\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)))＝eq\r(3)，兩邊平方，得1＋2eq\f(\o(BA,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)＋1＝3，eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)．eq\f(|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|cos〈\o(BA,\s\up6(→))，\o(BC,\s\up6(→))〉,|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，所以cos〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝60°．S＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|sin60°＝eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)16.設(shè)向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】5【解析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故答案：5.17.如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為_________，若SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_________．【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，以點SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的平面直角坐標系SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0,∵又∵SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.18.已知正方形SKIPIF1<0的邊長為2，點P滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________；SKIPIF1<0_________．【答案】SKIPIF1<0；SKIPI