重難點(diǎn)04 中考幾何五大最值問題

重難點(diǎn)04中考幾何五大最值問題模型解密模型一：將軍飲馬問題1.已知：如圖，定點(diǎn)A、B分布在定直線l兩側(cè)；要求：在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小 解：連接AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求,PA+PB的最小值即為線段AB的長(zhǎng)度理由：在l上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P′，連接AP′、BP′，在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP∴P為直線AB與直線l的交點(diǎn)時(shí)，PA+PB最小.2.已知：如圖，定點(diǎn)A和定點(diǎn)B在定直線l的同側(cè)要求：在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB值最?。ɑ颉鰽BP的周長(zhǎng)最小） 解：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于P，點(diǎn)P即為所求；理由：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知直線l為線段AA′的中垂線，由中垂線的性質(zhì)得：PA=PA′，要使PA+PB最小，則需PA′+PB值最小，從而轉(zhuǎn)化為模型1.方法總結(jié)：1.兩點(diǎn)之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；3.中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；4.垂線段最短.模型二：阿氏圓問題阿氏圓問題問題：求解“”類加權(quán)線段和最小值方法：①定：定系數(shù)，并確定是半徑和哪條線段的比值②造：根據(jù)線段比，構(gòu)造母子型相似③算：根據(jù)母子型結(jié)論，計(jì)算定點(diǎn)位置④轉(zhuǎn)：“”轉(zhuǎn)化為“”問題關(guān)鍵：①可解性：半徑長(zhǎng)與圓心到加權(quán)線段中定點(diǎn)距離比等于加權(quán)系數(shù)②系數(shù)小于1：內(nèi)部構(gòu)造母子型③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型模型三：胡不歸問題識(shí)別條件：動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線（或線段）方法：1、將所求線段和改為的形式（）2、作，使3、過點(diǎn)B作交AC于點(diǎn)P4、的最小值轉(zhuǎn)化為垂線段的長(zhǎng)注意：當(dāng)k＞1時(shí)，模型四：隱圓（一）：定點(diǎn)定長(zhǎng)作圓點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且AB長(zhǎng)度固定，則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓。（二）：點(diǎn)圓最值已知平面內(nèi)一定點(diǎn)D和O，點(diǎn)E是O上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)O與點(diǎn)D之間距離為d，O半徑為r.位置關(guān)系點(diǎn)D在圓O內(nèi)點(diǎn)D在圓O上點(diǎn)D在圓O外圖示DE的最大值d＋r

2r

d＋r此時(shí)點(diǎn)E的位置連接DO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)EDE的最小值r－d0d－r此時(shí)點(diǎn)E的位置連接OD并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)E點(diǎn)E與點(diǎn)D重合連接OD交O于點(diǎn)E（三）定弦定角解決問題的步驟：（1）讓動(dòng)點(diǎn)動(dòng)一下，觀察另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一段弧。（2）找不變的張角（這個(gè)時(shí)候一般是找出張角的補(bǔ)角），（這個(gè)補(bǔ)角一般為、）（3）找張角所對(duì)的定弦，根據(jù)三點(diǎn)確定隱形圓，確定圓心位置（4）計(jì)算隱形圓的半徑（5）圓心與所求線段上定點(diǎn)的距離可以求出來（6）最小值等于圓心到定點(diǎn)之間的距離減去半徑模型五：費(fèi)馬點(diǎn)【費(fèi)馬點(diǎn)問題】問題：如圖1，如何找點(diǎn)P使它到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最??？圖文解析：如圖1，把△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P′C，連接PP′．則△CPP′為等邊三角形，CP=PP′，PA=P′A′，∴PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′BC′．∵點(diǎn)A′可看成是線段CA繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點(diǎn)，BA′為定長(zhǎng)∴當(dāng)B、P、P′、A′四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC最?。钚≈禐锽A.′【如圖1和圖2，利用旋轉(zhuǎn)、等邊等條件轉(zhuǎn)化相等線段.】∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.因此，當(dāng)△ABC的每一個(gè)內(nèi)角都小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)P對(duì)三角形每邊的張角都是120°；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn)．費(fèi)馬點(diǎn)問題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換．【方法總結(jié)】利用旋轉(zhuǎn)、等邊等條件轉(zhuǎn)化相等線段，將三條線段轉(zhuǎn)化成首尾相連的三條線段.【知識(shí)應(yīng)用】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短.典例分析模型一：將軍飲馬問題1．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，D為BC邊的中點(diǎn)，M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，若△CDM的周長(zhǎng)的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為（）A．78 B．39 C．42 D．302．已知，在內(nèi)有一定點(diǎn)P，點(diǎn)M，N分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，若的周長(zhǎng)最小值為3，則的長(zhǎng)為（）A． B．3 C． D．3．如圖所示，在中，，平分，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，為

邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°4．如圖，正方形中，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，若，，則的最小值是．

5．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，M在上，且，N是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

6．如圖，正方形中，點(diǎn)是邊上一定點(diǎn)，點(diǎn)、、分別是邊、、上的動(dòng)點(diǎn)，若，則四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)．

7．如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形中，點(diǎn)G是邊的中點(diǎn)，E、F分別是和邊上的點(diǎn)，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為．8．如圖，菱形草地中，沿對(duì)角線修建60米和80米兩條道路，M、N分別是草地邊、的中點(diǎn)，在線段BD上有一個(gè)流動(dòng)飲水點(diǎn)，若要使的距離最短，則最短距離是米．9．如圖，在等邊中，于，．點(diǎn)分別為上的兩個(gè)定點(diǎn)且，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．10．如圖，在中，，，，垂直平分，點(diǎn)P為直線上任意一點(diǎn)，則的最小值是．模型二：阿氏圓問題11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．12．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，，，是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接、，則的最小值是．13．如圖，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．14．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為．15．如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．16．如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是．17．如圖，點(diǎn)A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，且OD＝4，動(dòng)點(diǎn)P在上．求2PC＋PD的最小值．模型三：胡不歸問題18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．19．如圖，在中，，若D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．1220．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．21．如圖，在中，，，，若是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值（

）A． B． C． D．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為．23．如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為．24．如圖，在中，，，半徑為的經(jīng)過點(diǎn)，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設(shè)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)不含端點(diǎn)，則的最小值為．26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x、y軸于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則的最小值是．27．已知拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為拋物線上位于直線下方的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問：是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．模型四：隱圓28．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．連結(jié)，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．29．如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)．，則的最小值為（

）A． B． C． D．30．如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（

）A． B．2 C． D．31．如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，連接，在點(diǎn)變化的過程中，線段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．32．如圖，菱形ABCD邊長(zhǎng)為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．333．如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，則AE＋CE的最小值為．34．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，M為線段的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．35．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、，則四邊形面積的最小值為．36．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，，BC=2，點(diǎn)E是DC邊上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△BEC沿直線BE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，則點(diǎn)D到點(diǎn)F的最短距離為．37．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且線段EF＝4，點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為．38．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB＝2，點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，AC⊥AP交直線PB于點(diǎn)C，則△ABC的最大面積是．39．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)D在半圓O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC，過D點(diǎn)作DH⊥AC于H．連接BH，在點(diǎn)C移動(dòng)的過程中，BH的最小值是．40．如圖，的半徑為4，圓心的坐標(biāo)為，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，，且、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為．41．如圖，在矩形中，，，是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則線段的最小值為．模型五：費(fèi)馬點(diǎn)39．如圖，在中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為．43．如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為．44．如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為．45．【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，線段的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”．(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點(diǎn)是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．①若，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是______；②當(dāng)，，時(shí)，求的大?。?2)如圖2，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，求的最小值．

重難點(diǎn)04中考幾何五大最值問題模型解密模型一：將軍飲馬問題1.已知：如圖，定點(diǎn)A、B分布在定直線l兩側(cè)；要求：在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小 解：連接AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求,PA+PB的最小值即為線段AB的長(zhǎng)度理由：在l上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P′，連接AP′、BP′，在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP∴P為直線AB與直線l的交點(diǎn)時(shí)，PA+PB最小.2.已知：如圖，定點(diǎn)A和定點(diǎn)B在定直線l的同側(cè)要求：在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB值最?。ɑ颉鰽BP的周長(zhǎng)最?。?解：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于P，點(diǎn)P即為所求；理由：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知直線l為線段AA′的中垂線，由中垂線的性質(zhì)得：PA=PA′，要使PA+PB最小，則需PA′+PB值最小，從而轉(zhuǎn)化為模型1.方法總結(jié)：1.兩點(diǎn)之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；3.中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；4.垂線段最短.模型二：阿氏圓問題阿氏圓問題問題：求解“”類加權(quán)線段和最小值方法：①定：定系數(shù)，并確定是半徑和哪條線段的比值②造：根據(jù)線段比，構(gòu)造母子型相似③算：根據(jù)母子型結(jié)論，計(jì)算定點(diǎn)位置④轉(zhuǎn)：“”轉(zhuǎn)化為“”問題關(guān)鍵：①可解性：半徑長(zhǎng)與圓心到加權(quán)線段中定點(diǎn)距離比等于加權(quán)系數(shù)②系數(shù)小于1：內(nèi)部構(gòu)造母子型③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型模型三：胡不歸問題識(shí)別條件：動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線（或線段）方法：1、將所求線段和改為的形式（）2、作，使3、過點(diǎn)B作交AC于點(diǎn)P4、的最小值轉(zhuǎn)化為垂線段的長(zhǎng)注意：當(dāng)k＞1時(shí)，模型四：隱圓（一）：定點(diǎn)定長(zhǎng)作圓點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且AB長(zhǎng)度固定，則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓。（二）：點(diǎn)圓最值已知平面內(nèi)一定點(diǎn)D和O，點(diǎn)E是O上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)O與點(diǎn)D之間距離為d，O半徑為r.位置關(guān)系點(diǎn)D在圓O內(nèi)點(diǎn)D在圓O上點(diǎn)D在圓O外圖示DE的最大值d＋r

2r

d＋r此時(shí)點(diǎn)E的位置連接DO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)EDE的最小值r－d0d－r此時(shí)點(diǎn)E的位置連接OD并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)E點(diǎn)E與點(diǎn)D重合連接OD交O于點(diǎn)E（三）定弦定角解決問題的步驟：（1）讓動(dòng)點(diǎn)動(dòng)一下，觀察另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一段弧。（2）找不變的張角（這個(gè)時(shí)候一般是找出張角的補(bǔ)角），（這個(gè)補(bǔ)角一般為、）（3）找張角所對(duì)的定弦，根據(jù)三點(diǎn)確定隱形圓，確定圓心位置（4）計(jì)算隱形圓的半徑（5）圓心與所求線段上定點(diǎn)的距離可以求出來（6）最小值等于圓心到定點(diǎn)之間的距離減去半徑模型五：費(fèi)馬點(diǎn)【費(fèi)馬點(diǎn)問題】問題：如圖1，如何找點(diǎn)P使它到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最小？圖文解析：如圖1，把△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P′C，連接PP′．則△CPP′為等邊三角形，CP=PP′，PA=P′A′，∴PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′BC′．∵點(diǎn)A′可看成是線段CA繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點(diǎn)，BA′為定長(zhǎng)∴當(dāng)B、P、P′、A′四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC最?。钚≈禐锽A.′【如圖1和圖2，利用旋轉(zhuǎn)、等邊等條件轉(zhuǎn)化相等線段.】∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.因此，當(dāng)△ABC的每一個(gè)內(nèi)角都小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)P對(duì)三角形每邊的張角都是120°；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn)．費(fèi)馬點(diǎn)問題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換．【方法總結(jié)】利用旋轉(zhuǎn)、等邊等條件轉(zhuǎn)化相等線段，將三條線段轉(zhuǎn)化成首尾相連的三條線段.【知識(shí)應(yīng)用】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短.典例分析模型一：將軍飲馬問題1．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，D為BC邊的中點(diǎn)，M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，若△CDM的周長(zhǎng)的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為（）A．78 B．39 C．42 D．30【答案】D【詳解】如圖，連接AD，交EF于點(diǎn)M．∵△ABC是等腰三角形，D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，CD=BC=3．∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為A，AM=CM，∴此時(shí)△CDM的周長(zhǎng)最小，∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13，∴AD=13－CD=13－3=10，∴S△ABC=BC·AD=×6×10=30．2．已知，在內(nèi)有一定點(diǎn)P，點(diǎn)M，N分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，若的周長(zhǎng)最小值為3，則的長(zhǎng)為（）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出符合條件的圖形，求出，得出等邊三角形，求出，求出的周長(zhǎng)，即可求出答案．【詳解】解：作P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)D，作P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，連接交于M，交于N，連接，則此時(shí)的周長(zhǎng)最小，連接，∵P、D關(guān)于對(duì)稱，∴，同理，∴，∵P、D關(guān)于對(duì)稱，∴，∵，∴，同理，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵的周長(zhǎng)是，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形．3．如圖所示，在中，，平分，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，為

邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°【答案】D【分析】先在上截取，連接，證明，得出，說明，找出當(dāng)A、P、E在同一直線上，且時(shí)，最小，即最小，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)P，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：在上截取，連接，如圖：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)A、P、E在同一直線上，且時(shí)，最小，即最小，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)P，如圖：∵，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理與三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使最小時(shí)點(diǎn)P的位置．4．如圖，正方形中，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，若，，則的最小值是．

【答案】【分析】連接，在上取一點(diǎn)，使，連接，，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，可得，可確定的最小值是的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接，在上取一點(diǎn)，使，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，

∴，∴的最小值是的長(zhǎng)．在中，，，即為等腰直角三角形，∴，∵，∴，在中，由勾股定理，得，∴的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查最短路線問題，解題中涉及正方形的性質(zhì)，全等三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)“將軍飲馬問題”利用軸對(duì)稱將問題轉(zhuǎn)化為用一條線段的長(zhǎng)表示的最小值是解題的關(guān)鍵．5．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，M在上，且，N是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】10【分析】要求的最小值，，不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化，的值，確定最小值為的長(zhǎng)度，再由勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖所示，∵正方形是軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)B與點(diǎn)D是關(guān)于直線為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，∴連接，，則直線即為的垂直平分線，

∴，∴，連接交于點(diǎn)P，∵點(diǎn)N為上的動(dòng)點(diǎn)，∴由三角形兩邊之和大于第三邊，知當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)，，的最小值為的長(zhǎng)度．∵四邊形為正方形，∴，，，，即的最小值為10.故答案為：10【點(diǎn)睛】本考查正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的難點(diǎn)在于確定滿足條件的點(diǎn)N的位置：利用軸對(duì)稱的方法．然后熟練運(yùn)用勾股定理．6．如圖，正方形中，點(diǎn)是邊上一定點(diǎn)，點(diǎn)、、分別是邊、、上的動(dòng)點(diǎn)，若，則四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)．

【答案】【分析】如圖，作點(diǎn)G關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接、，四邊形的周長(zhǎng)最小，求出此時(shí)即可．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)G關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接、，四邊形的周長(zhǎng)最小，

由對(duì)稱的性質(zhì)知，，∴，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)值最小；同理可得：，當(dāng)、、、四點(diǎn)點(diǎn)共線時(shí)值最??；∵，正方形是正方形；∴，，由對(duì)稱的性質(zhì)知，，，，，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴．∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，正方形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用作軸對(duì)稱圖形解決最值問題是解題關(guān)鍵．7．如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形中，點(diǎn)G是邊的中點(diǎn)，E、F分別是和邊上的點(diǎn)，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為．【答案】24【分析】作點(diǎn)G關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得，，再由，，可得當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)有最小值，最小值為，再利用勾股定理求得，最后利用即可求解．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)G關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、，∵，，∴，∵，

∴當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)有最小值，最小值為，∵，，∴，，∴，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)的最小值為24，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵．8．如圖，菱形草地中，沿對(duì)角線修建60米和80米兩條道路，M、N分別是草地邊、的中點(diǎn)，在線段BD上有一個(gè)流動(dòng)飲水點(diǎn)，若要使的距離最短，則最短距離是米．【答案】50【分析】作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，連接，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】解：作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，連接，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，四邊形是菱形，，，即在上，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，四邊形是菱形，，，四邊形是平行四邊形，，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，四邊形是菱形，，米，米，米，的最小值是50米．故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對(duì)稱找出的位置．9．如圖，在等邊中，于，．點(diǎn)分別為上的兩個(gè)定點(diǎn)且，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．【答案】【分析】如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，且點(diǎn)在上，則，當(dāng)在同一條直線上時(shí)，有最小值，證明四邊形是平行四邊形，，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∵是等邊三角形，，∴，∴點(diǎn)在上，∴，則，當(dāng)在同一條直線上時(shí)，有最小值，∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，∴，，∴，∴是等邊三角形，即，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，在中，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)與等邊三角形，對(duì)稱—最短路徑，平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合，理解并掌握等邊三角形得性質(zhì)，對(duì)稱—最短路徑的計(jì)算方法，平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，，，垂直平分，點(diǎn)P為直線上任意一點(diǎn)，則的最小值是．【答案】4【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，可得當(dāng)點(diǎn)A，P，C在一條直線上時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)．【詳解】解：連接．∵是的垂直平分線，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)A，P，C在一條直線上時(shí)，有最小值，最小值為．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，明確線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．模型二：阿氏圓問題11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．【答案】B【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質(zhì)證明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解決問題．答案詳解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．12．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，，，是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接、，則的最小值是．【答案】【分析】取點(diǎn)，連接，．根據(jù)，有，即可證明，即有，進(jìn)而可得，則有，利用勾股定理可得，則有，問題得解．【詳解】解：如圖，取點(diǎn)，連接，．，，，，，，，，，，，，，，，，，（當(dāng)B、P、T三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查阿氏圓問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．13．如圖，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】延長(zhǎng)到，使得，連接，，利用相似三角形的性質(zhì)證明，求的最小值問題轉(zhuǎn)化為求的最小值．求出即可判斷．【詳解】解：延長(zhǎng)到，使得，連接，．，，，，，，，，，，又在中，，，，，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．14．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為．【答案】【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形構(gòu)造PB即可解答．【詳解】解：設(shè)⊙O半徑為r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點(diǎn)I，連接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，∴當(dāng)A、P、I在一條直線上時(shí)，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB?BE＝3，∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．【點(diǎn)睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形．15．如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【分析】如圖，連接，在上取一點(diǎn)，使得，進(jìn)而證明,則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，均有PM=，從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值．連接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值，勾股定理即可求得．【詳解】如圖，連接，在上取一點(diǎn)，使得，，在△PDM中，PD-PM＜DM，當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值，四邊形是正方形在中，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是．【答案】．【分析】在AB上取一點(diǎn)T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．證明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根據(jù)PC+PT≥TC，求出CT即可解決問題．【詳解】解：在AB上取一點(diǎn)T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT?AB，∴＝，∵∠PAT＝∠PAB，∴，∴＝＝，∴PT＝PB，∴PB+CP＝CP+PT，∵PC+PT≥TC，在Rt中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝＝，∴PB+PC≥，∴PB+PC的最小值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，點(diǎn)A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，且OD＝4，動(dòng)點(diǎn)P在上．求2PC＋PD的最小值．【答案】【分析】連接OP，在射線OA上截取AE=6，連接PE．由題意易證，即得出，從而得出，由此可知當(dāng)P、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為DE的長(zhǎng)，最后在中利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)即可．【詳解】如圖，連接OP，在射線OA上截取AE=6，連接PE．∵C是OA的中點(diǎn)，∴．∴在△OPC和△OEP中，，∴，∴，即，∴，.∴當(dāng)P、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為DE的長(zhǎng)，如圖，在中，，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查同圓半徑相等、三角形相似的判定和性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)．正確作出輔助線并理解當(dāng)P、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為DE的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵模型三：胡不歸問題18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作射線，作于E，作于F，交y軸于，可求得，從而得出，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作射線，作于E，作于F，交y軸于，拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)P在時(shí)，最小，最大值等于，在中，，，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題以二次函數(shù)為背景，考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，解直角三角形等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是用三角函數(shù)構(gòu)造．19．如圖，在中，，若D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】過點(diǎn)C作射線，使，再過動(dòng)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)F，連接，在中，當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長(zhǎng)．【詳解】解：過點(diǎn)C作射線，使，再過動(dòng)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)F，連接，如圖所示：在中，，∴，∵＝，∴當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長(zhǎng)，此時(shí)，，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為12，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂線段最短、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造胡不歸模型，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．【答案】A【分析】過點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．根據(jù)，求出的最小值即可解決問題．【詳解】解：過點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，設(shè)，則,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．21．如圖，在中，，，，若是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接AA',A'D,過D作DE⊥AC于E，易得2DE=CD，AD=A'D，從而得出AD+DE=A'D+DE，當(dāng)A'，D,E在同一直線上時(shí)，AD+DE的最小值等于A'E的長(zhǎng)是3，進(jìn)而求出2AD十CD的最小值．【詳解】如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A',連接AA',A'D,過D作DE⊥AC于E∵∠BAC=90o，∠B=60o，AB=2∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C=30o∴DE=CD,即2DE=CD∵A與A'關(guān)于BC對(duì)稱∴AD=A'D∴AD+DE=A'D+DE∴當(dāng)A'，D,E在同一直線上時(shí)AD+DE的最小值等于A'E的長(zhǎng),在Rt△AA'E中：A'E=sin60o×AA'=×2=3∴AD十DE的最小值為3∴2AD十CD的最小值為6故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的動(dòng)點(diǎn)最值問題，做完輔助線后先求出AD+DE的最小值是解題關(guān)鍵．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為．【答案】6【分析】先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，由勾股定理可求AB的長(zhǎng)，作點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，可證是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH＝AC，則，即當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)C，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)，∴AO＝3，，∴，作點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，如圖所示：∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∵，∴，∵CH⊥AB，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)C，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即2BC＋AC有最小值，此時(shí)，，是等邊三角形，∴，，∴，∴2BC＋AC的最小值為6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確定點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵．23．如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】作PH丄AD交AD的延長(zhǎng)線于H，由直角三角形的性質(zhì)可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，當(dāng)H、P、B三點(diǎn)共線時(shí)HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，

四邊形是平行四邊形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，HP+PB有最小值，即有最小值，此時(shí)，，，∴，則最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)．構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．24．如圖，在中，，，半徑為的經(jīng)過點(diǎn)，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設(shè)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)不含端點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】過點(diǎn)作關(guān)于的平行線，過點(diǎn)作垂直于該平行線于，可將轉(zhuǎn)化為，此時(shí)就等于，當(dāng)共線時(shí)，即為所要求的最小值．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作關(guān)于的平行線，過點(diǎn)作垂直于該平行線于，，，，，，，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線，即在圖中在位置，在位置的時(shí)候有最小，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)，的最小值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最值問題中的胡不歸問題，解題的關(guān)鍵是在于將進(jìn)行轉(zhuǎn)換．26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x、y軸于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則的最小值是．【答案】/【分析】作∠OCE=120°，過點(diǎn)P作PG⊥CE于點(diǎn)G，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得PG=PC；當(dāng)A、P、G在同一直線時(shí)，AP+PC=AP+PG=AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，∴OA=3，OC=3，作∠OCE=120°，∵∠OCB=60°，則∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，過點(diǎn)P作PG⊥CE于點(diǎn)G，如圖：在Rt△PCG中，∠PCG=60°，則∠CPG=30°，∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC，∴AP+PC=AP+PG，當(dāng)A、P、G在同一直線時(shí)，AP+PG=AG的值最小，延長(zhǎng)AG交y軸于點(diǎn)F，∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG=30°，∴CF=2CG，GF=CF，在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，∴AF=2OA=6，OF=，∴CF=OF-OC=，∴GF=()=，∴AG=AF-FG=，即AP+PC的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，作出合適的輔助線，得到當(dāng)A、P、G在同一直線時(shí)，AP+PC=AP+PG=AG的值最小是解題的關(guān)鍵．27．已知拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為拋物線上位于直線下方的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問：是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)解析式為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)存在，最小值為【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的交點(diǎn)式，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求解即可；（2）作軸，交于點(diǎn)，通過設(shè)和的坐標(biāo)，利用“割補(bǔ)法”表示出，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可；（3）將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并過點(diǎn)作其垂線，垂足為，分別連接，，，構(gòu)造出含角的直角三角形，然后轉(zhuǎn)換為求得最小值，繼而確定當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，滿足取得最小值，此時(shí)利用含角的直角三角形的性質(zhì)分段求解再相加即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意，設(shè)拋物線解析式為，其中，∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入，解得：，∴，∴拋物線的解析式為，∵對(duì)稱軸為直線，∴將代入，得：，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：∵，，∴直線的解析式為：，∵點(diǎn)在拋物線上，且位于直線下方，∴設(shè)，其中，，如圖所示，作軸，交于點(diǎn)，∴，∴，∵，，，∴，∴，整理可得：，其中，∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，將代入，得：，∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）解：存在最小值，理由如下：如下圖所示，將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并過點(diǎn)作其垂線，垂足為，分別連接，，，則，，

∴在中，，∴隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，總有，∴，要使得取得最小值，即要使得取得最小值，如下圖，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，滿足取得最小值，

此時(shí)，，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴存在最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合面積問題，以及利用“胡不歸”模型構(gòu)造三角形求線段和最值問題，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用函數(shù)思想解決圖形面積問題是解題關(guān)鍵．模型四：隱圓28．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．連結(jié)，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明，即可得點(diǎn)E在以為直徑的半圓上移動(dòng)，設(shè)的中點(diǎn)為O，作正方形關(guān)于直線對(duì)稱的正方形，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，連接交于P，交半圓O于E，根據(jù)對(duì)稱性有：，則有：，則線段的長(zhǎng)即為的長(zhǎng)度最小值，問題隨之得解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)E在以為直徑的半圓上移動(dòng)，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為O，作正方形關(guān)于直線對(duì)稱的正方形，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，連接交于P，交半圓O于E，根據(jù)對(duì)稱性有：，則有：，則線段的長(zhǎng)即為的長(zhǎng)度最小值，E∵，，∴，，∴，∴，故的長(zhǎng)度最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線，得出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路線是解題的關(guān)鍵．29．如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)．，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】證明，得出點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的圓上，從而計(jì)算出答案．【詳解】設(shè)AD的中點(diǎn)為O，以O(shè)點(diǎn)為圓心，AO為半徑畫圓∵四邊形為矩形∴∵∴∴∴點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的圓上連接OB交圓O與點(diǎn)N∵點(diǎn)B為圓O外一點(diǎn)∴當(dāng)直線BM過圓心O時(shí)，BM最短∵，∴∴∵故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識(shí)．30．如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題意推導(dǎo)得，取AB的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為直徑作圓，連接OP；根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得；根據(jù)圓的對(duì)稱性，得點(diǎn)P在以AB為直徑的上，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線段最短的性質(zhì)，得當(dāng)點(diǎn)O、點(diǎn)P、點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，PC最??；根據(jù)勾股定理的性質(zhì)計(jì)算得，通過線段和差計(jì)算即可得到答案．【詳解】，，，，，取AB的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為直徑作圓，連接OP，點(diǎn)P在以AB為直徑的上，連接OC交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)O、點(diǎn)P、點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，PC最小在中，，，，，最小值為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間直線段最短、圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性、兩點(diǎn)之間直線段最短、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解．31．如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，連接，在點(diǎn)變化的過程中，線段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】由∠AEC＝90°知，點(diǎn)E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點(diǎn)C、可含點(diǎn)N），從而得BE最短時(shí)，即為連接BM與⊙M的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)E′點(diǎn)），BE長(zhǎng)度的最小值BE′＝BM?ME′．【詳解】如圖，由題意知，，在以為直徑的的上（不含點(diǎn)、可含點(diǎn)，最短時(shí)，即為連接與的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)點(diǎn)），在中，，，則．，長(zhǎng)度的最小值，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，圓周角定理，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，難度偏大，解題時(shí)，注意輔助線的作法．32．如圖，菱形ABCD邊長(zhǎng)為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意，在折疊過程中A′在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A′C取最小值時(shí)，由兩點(diǎn)之間線段最短知此時(shí)M、A′、C三點(diǎn)共線，得出A′的位置，過點(diǎn)M作MH⊥DC于點(diǎn)H，再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出MC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出A′C的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖所示，∵M(jìn)A′是定值，A′C長(zhǎng)度取最小值時(shí)，即A′在MC上．過點(diǎn)M作MH⊥DC于點(diǎn)H，∵在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M為AD的中點(diǎn)，∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，∴MD=2，∠HMD=30°，∴HD=MD=1，∴HM==，CH=CD+DH=5，∴，∴A′C=MC-MA′=2-2；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、菱形的性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，突破點(diǎn)是正確尋找點(diǎn)A′的位置．33．如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，則AE＋CE的最小值為．【答案】3【詳解】思路引領(lǐng)：在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點(diǎn)E作ET⊥AM于T，過點(diǎn)C作CH⊥AM于H．易證ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解決問題．答案詳解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2，在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點(diǎn)E作ET⊥AM于T，過點(diǎn)C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE，∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC?sin6°＝23，∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值為3，故答案為3．34．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，M為線段的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)題意可知：點(diǎn)C在半徑為的⊙B上．在x軸上取OD=OA=6，連接CD，易證明OM是△ACD的中位線，即得出OM=CD，即當(dāng)OM最大時(shí)，CD最大，由D，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)C在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM最大，根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，從而可求出CD的長(zhǎng)，最后即可求出OM的最大值．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，∴C在⊙B上，且半徑為，在x軸上取OD=OA=6，連接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OM=CD，∴即當(dāng)OM最大時(shí)，CD最大，而D，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)C在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM最大，∵OB=OD=6，∠BOD=90°，∴BD=，∴CD=，且C(2,8),∴OM=CD，即OM的最大值為，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，則M（4,4），故答案為：（4,4）．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)和圖形，三角形的中位線定理，勾股定理等知識(shí)．確定OM為最大值時(shí)點(diǎn)C的位置是解題關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．35．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、，則四邊形面積的最小值為．【答案】38【分析】首先連接AC，過B作BH⊥AC于H，當(dāng)G在BH上時(shí)，三角形ACG面積取最小值，此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值，再連接BG，知BG=2，得到G點(diǎn)軌跡圓，該軌跡與BH交點(diǎn)即為所求最小值時(shí)的G點(diǎn)，利用面積法求出BH、GH的長(zhǎng)，代入三角形面積公式求解即可．【詳解】解：連接，過作于，當(dāng)G在BH上時(shí)，△ACG面積取最小值，此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值，四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+三角形ACD面積，即四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+24．連接BG，由G是EF中點(diǎn)，EF=4知，BG=2，故G在以為圓心，為半徑的圓弧上，圓弧交于，此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值，如圖所示，由勾股定理得：AC=10，∵AC·BH=AB·BC，∴BH=4.8，∴，即四邊形面積的最小值=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及矩形中的與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的最值問題，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊的直線等于斜邊的一半確定出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．36．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，，BC=2，點(diǎn)E是DC邊上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△BEC沿直線BE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，則點(diǎn)D到點(diǎn)F的最短距離為．【答案】2【分析】由題意易得點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的圓弧，連接BD，然后根據(jù)隱圓問題可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的圓弧，連接BD，交圓弧于點(diǎn)H，如圖所示：∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)F的距離為最短，∵四邊形ABCD是矩形，，BC=2，∴，∴，∴，即點(diǎn)D到點(diǎn)F的最短距離為2；故答案為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查隱圓問題，矩形與折疊，勾股定理，解題的關(guān)鍵是分析得出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡．37．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且線段EF＝4，點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為．【答案】5【分析】因?yàn)镈G＝EF＝2，所以G在以D為圓心，2為半徑圓上運(yùn)動(dòng)，取DI＝1，可證△GDI∽△CDG，從而得出GI＝CG，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出BI是其最小值【詳解】解：如圖，在Rt△DEF中，G是EF的中點(diǎn)，∴DG＝，∴點(diǎn)G在以D為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在CD上截取DI＝1，連接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴當(dāng)B、G、I共線時(shí)，BG+CG最?。紹I，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．38．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB＝2，點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，AC⊥AP交直線PB于點(diǎn)C，則△ABC的最大面積是．【答案】【分析】連接OA、OB，如圖1，由OA=OB=AB=2可判斷△OAB為等邊三角形，則∠AOB=60°，根據(jù)圓周角定理得∠APB=∠AOB=30°，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因?yàn)锳B=2，則要使△ABC的最大面積，點(diǎn)C到AB的距離要最大；由∠ACB=60°，可根據(jù)圓周角定理判斷點(diǎn)C在⊙D上，且∠ADB=120°，如圖2，于是當(dāng)點(diǎn)C優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離最大，此時(shí)△ABC為等邊三角形，從而得到△ABC的最大面積．【詳解】解：連接OA、OB，如圖1，∵OA=OB=2，AB=2，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴∠APB=∠AOB=30°，∵AC⊥AP，∴∠C=60°，∵AB=2，要使△ABC的最大面積，則點(diǎn)C到AB的距離最大，作△ABC的外接圓D，∵∠ACB=60°，點(diǎn)C在⊙D上，∴∠ADB=120°，如圖2，當(dāng)點(diǎn)C優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離最大，此時(shí)△ABC為等邊三角形，且面積為AB2=，∴△ABC的最大面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和等邊三角形的判斷與性質(zhì)；記住等邊三角形的面積公式．39．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)D在半圓O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC，過D點(diǎn)作DH⊥AC于H．連接BH，在點(diǎn)C移動(dòng)的過程中，BH的最小值是．【答案】【分析】連接BD，取AD的中點(diǎn)E，連接BE，由題意先判斷出點(diǎn)H在以點(diǎn)E為圓心，AE為半徑的圓上，當(dāng)B、H、E三點(diǎn)共線時(shí)，BH取得最小值，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，利用直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出EH的長(zhǎng)，由即可算出BH的長(zhǎng)度．【詳解】解：連接BD，取AD的中點(diǎn)E，連接BE，如下圖：∵DH⊥AC∴點(diǎn)H在以點(diǎn)E為圓心，AE為半徑的圓上，當(dāng)B、H、E三點(diǎn)共線時(shí)，BH取得最小值∵AB是直徑∴在中，AB=13，AD=5由勾股定理得：即：∵∴∵E為AD的中點(diǎn)∴在中，，由勾股定理得：即：∵∴又∵DH⊥AC，且點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理解三角形，直徑所對(duì)的圓周角為直角，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，隱圓問題的處理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，能夠判斷出從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．40．如圖，的半徑為4，圓心的坐標(biāo)為，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，，且、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為．【答案】18【分析】由中知要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于位置時(shí)，取得最小值，據(jù)此求解可得．【詳解】解：連接，，，，，若要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于位置時(shí)，取得最小值，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，，又，，，故答案是：18．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AB取得最小值時(shí)點(diǎn)P的位置．41．如圖，在矩形中，，，是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則線段的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)，可得到點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB的中點(diǎn)O