數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式（一）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析一、利用三個正數(shù)的算術(shù)-—幾何平均不等式證明不等式【例1】（1)已知ai∈R+(i=1,2，3,…，n）,且a1a2…an求證：(2+a1)（2+a2)…(2+an）≥3n。(2）已知a,b,c∈R+,a+b+c=1，求證：++≥9.證明：(1)∵a1>0,∴2+a1=1+1+a1≥3·>0.同理,2+a2=1+1+a2≥〉0，……2+an=1+1+an≥>0，∴(2+a1)(2+a2)…（2+an）≥3n·=3n.∴原不等式成立。(2）∵a+b+c≥3·，a+b+c=1,∴≤.∴≥3.∴++≥3·≥9?！嘣坏仁匠闪ⅰ剀疤崾驹诶萌挡坏仁阶C明不等式時，要注意把握三元均值不等式的結(jié)構(gòu)特點,以便靈活地用于解題。各個擊破類題演練1設(shè)a,b，c〉0,求證：ab（a+b）+bc(b+c）+ca(c+a)≥6abc。證法一:左邊=(a2b+b2c+c2a）+(ab2+bc2+ca2)≥3·+3·=6abc,∴原不等式成立。證法二：左邊=（ba2+bc2)+（ab2+ac2)+（ca2+cb2)≥2abc+2abc+2abc=6abc，∴原不等式成立。變式提升1設(shè)a，b,c〉0，求證：≥。證明：∵（+1)+（+1)+(+1)=（a+b+c)（)=[(a+b)+(c+b)+(c+a）］·（）≥·3·，∴≥.二、利用三個正數(shù)的算術(shù)—-幾何平均不等式求最值【例2】求函數(shù)f（x）=x（5—2x)2(0〈x<）的最大值。解析：f(x）=·4x·(5—2x）·（5—2x）≤(）3=.當(dāng)且僅當(dāng)4x=5—2x,即x=時等號成立?！喈?dāng)x=時,函數(shù)f（x)=x（5-2x）2(0<x〈)有最大值.溫馨提示在利用均值不等式求最值時,除了注意“一正"“二定”“三相等”之外，還應(yīng)掌握配項，湊系數(shù)等變形技巧.類題演練2求y=sinθcos2θ（0<θ〈）的最大值.解析：y2=sin2θcos4θ=sin2θ·(1—sin2θ）（1-sin2θ）=·2sin2θ（1—sin2θ）(1—sin2θ)≤·,∴y≤,當(dāng)且僅當(dāng)2sin2θ=1—sin2θ，即sin2θ=。又θ∈(0，）,∴sinθ=時,ymax=變式提升2求f（x）=x2+的最小值.解析:設(shè)t=,則t≥1，y=t2-1+=t2++-1≥3·—1=3·—1。當(dāng)且僅當(dāng)t2=，即t=，x=時,“=”成立.此時f（x)的最小值為3·-1。三、利用三個正數(shù)的算術(shù)——幾何平均不等式解決實際問題【例3】（1)設(shè)圓錐的母線長為1,試問圓錐的底面半徑為多少時,圓錐的體積最大?(2）圓錐內(nèi)有一半球，球面與圓錐側(cè)面相切,半球的底面在圓錐的底面上，已知半球半徑為r，圓錐的母線與底面所成的角為θ，求當(dāng)圓錐的體積V圓錐=f(θ)最小時,圓錐的高h的值.解析:（1)設(shè)母線與底面所成的角為θ,則底面半徑為cosθ,高h=sinθ?！鄨A錐的體積V=πcos2θsinθ=cos2θsinθ,記μ=cos2θsinθ,則μ2=cos4θsin2θ=［cos2θ·cos2θ·(2sin2θ）］≤（）3=,∴μ≤（當(dāng)且僅當(dāng)cos2θ=2sin2θ時,取“=”).∴V≤π，即V的最大值為π，當(dāng)V最大時，cos2θ=2sin2θ，∴cosθ=，即圓錐的底面半徑為.另解:設(shè)底面半徑為r，高為h，則r2+h2=1,圓錐的體積為V=πr2h，∴V2=r4h2=(r2·r2·2h2）≤。（)3=,即V≤（當(dāng)且僅當(dāng)r2=2h2，即r=時，取“=”)。（2）右圖是圓錐及其內(nèi)切半球的軸截面，則圓錐的底面半徑為R=，圓錐的高h=。∴f(θ）=πR2h=πr3·。由（1)的結(jié)論可知：當(dāng)cosθ=時,sin2θcosθ取得最大值,從而f（θ）取得最小值,即當(dāng)h=r時,f（θ）取得最小值.類題演練3有甲，乙兩個糧食經(jīng)銷商，每次在同一糧食生產(chǎn)基地以相同價格購進糧食。他們共購糧三次，各次的糧食價格不同.甲每次購糧10000千克，乙每次購糧10000元,三次統(tǒng)計，誰購的糧食平均價格低?為什么？解析：設(shè)三次糧食價格每千克分別為a，b,c元,則甲，乙購糧的平均價格分別為y甲=,y乙=，∴y甲=（a+b+c),y乙=。而=3，∴又a,b，c不相等，故“=”不成立，∴y甲〉y乙，即乙購糧平均價格低。變式提升3試研究（1）若長方體的容積已定,何時其表面積最小?（2）若長方體的表面積已定,何時其體積最大?解析:設(shè)長方體的長,寬，高分別為a,b,c，表面積為S，體積為V,則S=2（ab+bc+ca），V=abc.∵ab+bc+ca≥,即S≥6(當(dāng)且僅當(dāng)ab=bc=ca，