數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)平面的法向量與平面的向量表示

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、直線的方向向量【例1】如下圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點(diǎn).求證:EF⊥平面PAB.分析：此題是立體幾何的一個(gè)綜合題型，運(yùn)用全等三角形和三垂線定理也可以證明,但思路不易找出,作輔助線較多,容易在解題中受阻，而出錯(cuò)，甚至放棄，此題若用空間直角坐標(biāo)系和向量知識，很易解決。證明:以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的長為單位,建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)E（a,0,0)，其中a〉0，則C（2a，0,0)，A(0，1，0）,B(2a，1,0），P(0,0,1)，F(xiàn)(a,，）.=（0，,），=(2a，1，—1)，=（2a,0，0).·=0，所以⊥即⊥.·=0,所以⊥即EF⊥AB。又PB平面PAB,AB平面PAB，PB∩AB=B,所以EF⊥平面PAB，命題得證.溫馨提示坐標(biāo)運(yùn)算證明向量垂直的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并且正確的求出坐標(biāo)。二、平面的法向量【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：是平面ACD1的法向量。證明：不妨設(shè)正方體的棱長為1，建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,0,0）,C（0,1，0),D1（0,0,1）,B1(1，1,1）。所以=(1,1,1),=(—1，1,0）,=(-1，0，1）因?yàn)椤?1×(—1）+1×1+1×0=0,所以⊥。同理⊥。又AC∩AD1=A,所以⊥平面ACD1,從而是平面ACD1的法向量。溫馨提示利用平面法向量證垂直平行問題.三、直線、平面向量的應(yīng)用【例3】在正方體ABCD—A1B1C1D1中，P為DD1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心,求證:B1證明:建立如右圖所示坐標(biāo)系，不妨假定正方體每邊長為2,則A（2，0，0），P（0,0，1)，C（0，2，0)，B1（2，2，2）,O（1，1,0）。于是=(1，1,2),=(-2,2，0)，=（—2,0，1)。由于·=-2+2=0,及·=-2+2=0，∴OB1⊥AC，OB1⊥AP。∴OB1⊥平面PAC.溫馨提示立體幾何中的向量方法——“三步曲”.（1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中所涉及的點(diǎn)、線、面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.（2）通過向量運(yùn)算,研究點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系。（3）根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題。各個(gè)擊破類題演練1如右圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為2，側(cè)棱長為4,E、F分別為棱AB、BC的中點(diǎn)。（1)求證:平面B1EF⊥平面BDD1B1；（2）求點(diǎn)D1到平面B1EF的距離。答案：(1）證明:建立題圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0，0)，B(2,2,0），E(2，，0）,F（,2,0），D1（0，0,4），B1(2,2,4）.=（—,，0）,=(2，2，0），=(0,0，4）,∴·=0，·=0.∴EF⊥DB,EF⊥DD1,∴EF⊥平面BDD1B1.∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.(2）解：設(shè)平面B1EF的法向量n=(x，y,z）,則n⊥,n⊥。又=（0,,4)，∴n·=-+y=0,n·=y+4z=0。∴x=y，z=y,取y=1,得n=（1,1，)。又=（2，2，0)，∴點(diǎn)D1到平面B1EF的距離為d=。變式提升1已知棱錐P—ABCＤ的底面是菱形,∠BCD=60°，PD⊥AD,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)。求證:AD⊥平面PDE。證明：連結(jié)BD.如右圖；∵底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，∴△BCD是正三角形.∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),∴DE⊥BC。∵AD∥BC，∴AD⊥DE。∵PD⊥AD,PD∩DE=D，∴AD⊥平面PDE。類題演練2在長方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是AE、CD1的中點(diǎn)，AD=AA1=a,AB=2a求證：MN∥面ADD1A1證明:建立如右圖的坐標(biāo)系，則=(,0，）。取n=(0,1,0),顯然n⊥面ADD1A1?！=0，∴⊥n。又MN面ADD1A1，∴MN∥面ADD1A1變式提升2若直線l的方向向量為a=（1,0，2）,平面α的法向量為u=(—2,0，—4），則（）A。l∥αB.l⊥αC。lαD。l與α斜交答案：B類題演練3如右圖，ABC—A1B1C1是各條棱長均為a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC1求證:平面AB1D⊥平面ABB1A1證明：取AB1的中點(diǎn)M，則=++.又=++,兩式相加得2=+=+.由于2·=（+)·=0,2·=(+)·(—）=｜|2-｜｜2=0，∴DM⊥AA1,DM⊥AB。∴DM⊥平面ABB1A1而DM平面AB1D,∴平面AB1D⊥平面