自動(dòng)控制原理-控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2-1線性微分方程的建立與求解2-2傳遞函數(shù)

2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換2-4自動(dòng)控制系統(tǒng)例題

2學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.掌握典型元件的傳遞函數(shù)2.根據(jù)系統(tǒng)原理圖或系統(tǒng)方框圖能建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖3.熟練掌握采用結(jié)構(gòu)圖變換方法求閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)4.熟練掌握采用梅遜公式計(jì)算系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)3引言要對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行定量地分析和設(shè)計(jì)，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際物理系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)抽象描述方法：微分方程、傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、信號(hào)流圖頻率特性以及狀態(tài)空間描述同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學(xué)模型的類型時(shí)域模型微分方程頻域模型頻率特性方框圖=原理圖＋數(shù)學(xué)模型復(fù)（S）域模型傳遞函數(shù)41.建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法:

---分析法、實(shí)驗(yàn)法2-1系統(tǒng)線性微分方程的建立與求解◆實(shí)驗(yàn)法（黑箱法、辨識(shí)法）：

人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄基本輸出響應(yīng)，根據(jù)輸入輸出響應(yīng)辨識(shí)出數(shù)學(xué)模型或用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近。

黑匣子輸入（充分激勵(lì)）輸出（測(cè)量結(jié)果）◆分析法根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律(定律、經(jīng)驗(yàn)公式)和結(jié)構(gòu)參數(shù),推導(dǎo)系統(tǒng)輸入輸出之間數(shù)學(xué)關(guān)系。5設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：

c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，參數(shù)是常系數(shù)。2.線性系統(tǒng)的基本特征性質(zhì)：滿足疊加原理6第二步：聯(lián)立各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，消去中間變量,得到描述系統(tǒng)輸出、輸入關(guān)系的微分方程。第一步：將系統(tǒng)分成若干個(gè)環(huán)節(jié)，列寫各環(huán)節(jié)的輸出輸入的數(shù)學(xué)表達(dá)式。利用適當(dāng)物理定律—如牛頓定律、基爾霍夫定律、能量守恒定律等。3.系統(tǒng)微分方程的建立步驟7

例

如圖所示，寫出RLC電路的微分方程。------二階線性微分方程解：輸入量，輸出量第一步：環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)表達(dá)式第二步：消去中間變量8補(bǔ)充：拉普拉斯變換與反變換1、拉氏變換定義

設(shè)函數(shù)f(t)滿足

①t<0時(shí)f(t)=0

②t>0時(shí)，f(t)分段連續(xù)

則f(t)的拉氏變換存在，其表達(dá)式記作

控制工程上函數(shù)都滿足拉氏變換要求：能量有限92、拉氏變換基本定理1）線性定理：2）延遲定理：3）微分定理：零初始條件：函數(shù)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值都等于零零初始條件下，105）初值定理：

若函數(shù)f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，則函數(shù)f(t)

的初值為4）積分定理：6）終值定理：

若函數(shù)f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，sF(s)在包含虛軸的右半平面內(nèi)無極點(diǎn)，則函數(shù)f(t)

的終值為注意：在運(yùn)用終值定理前必須先判定條件是否滿足，比如在右半平面上有極點(diǎn)11f(t)F(s)單位脈沖1單位階躍1(t)單位速度t指數(shù)單位加速度正弦函數(shù)3、工程上典型函數(shù)的拉氏變換12F(s)化成下列因式分解形式：

4、拉氏反變換◆F(s)中具有單極點(diǎn)時(shí)，可展開為

ò￥+￥-=jjstjdsesFtfssp)()(21查表實(shí)現(xiàn)13例1求的原函數(shù)解：將F(s)的分母因式分解為拉氏反變換得14◆F(s)含有r重極點(diǎn)時(shí)，可展開為

15例2求的原函數(shù)解：164.線性微分方程的求解拉普拉斯變換法求解微分方程基本步驟：（1）考慮初始條件，對(duì)微分方程中的各項(xiàng)進(jìn)行拉式變換，變成變量s的代數(shù)方程。（2）由變量s的代數(shù)方程求出系統(tǒng)輸出量的拉式變換式。（3）對(duì)輸出量的拉式變換式進(jìn)行拉式反變換，得到系統(tǒng)微分方程的解。

17

例

設(shè)線性微分方程為式中，為單位階躍函數(shù)，初始條件為，，試求該微分方程的解。解：（1）對(duì)微分方程中的各項(xiàng)進(jìn)行拉式變換得（2）將初始條件代入上式，得18（3）對(duì)式（1）進(jìn)行分解：式中對(duì)Y（s）進(jìn)行拉式反變換（查表）19式中，為單位階躍函數(shù)，初始條件為零，試求

例

設(shè)線性微分方程為解：對(duì)微分方程中的各項(xiàng)進(jìn)行拉式變換得式中20若取某一平衡狀態(tài)為工作點(diǎn),如圖,A點(diǎn)附近有點(diǎn)，當(dāng)很小時(shí)，AB段可近似看作線性的。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化

對(duì)于非線性方程，可在工作點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開，取前面的線性項(xiàng)，得到等效的線性環(huán)節(jié)。設(shè)具有連續(xù)變化的非線性函數(shù):y=f(x)AByx05.非線性元件(環(huán)節(jié))微分方程的線性化經(jīng)典控制領(lǐng)域，主要研究線性定?？刂葡到y(tǒng)線性定常系統(tǒng)：描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)的微分方程。可以應(yīng)用疊加原理，即系統(tǒng)的總輸出可以由若干個(gè)輸入引起的輸出疊加得到。21若

很小，則

，即

式中，K為與工作點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)，顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性表示。設(shè)f(x)在

點(diǎn)連續(xù)可微，則將函數(shù)在該點(diǎn)展開為泰勒級(jí)數(shù)得：非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化AByx0為了保證近似的精度，只能在工作點(diǎn)附近展開。22設(shè)雙變量非線性方程為：，工作點(diǎn)為則可近似為：